Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm để chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Phương pháp làm trội làm giảm chứng minh bất đẳng thức

Trong các dạng toán bất đẳng thức lớp 9, phương pháp làm trội – làm giảm là kỹ thuật hiệu quả giúp đơn giản hóa biểu thức và đưa bài toán về dạng quen thuộc. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách áp dụng phương pháp này một cách dễ hiểu và chính xác.

A. Phương pháp làm trội, làm giảm chứng minh bất đẳng thức

Giả sử cần chứng minh $A \leq B$ , khi đó ta cần làm trội biểu thức A thành $A \leq M$ rồi chứng minh $M \leq B$ . Cũng có thể làm giảm B thành $M \leq B$ rồi chứng minh $A \leq M$ .

Phương pháp làm trội, làm giảm thường được áp dụng cho bất đẳng thức về tổng hoặc tích của một dãy số. Khi đó dùng các tính chất bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.

+ Ý tưởng chung cho bất đẳng thức dạng tổng của dãy số là:

Giả sử ta cần chứng minh $A\left( x_{1} \right) + A\left( x_{2} \right) + A\left( x_{3} \right) + ... + A\left( x_{n} \right) \leq M$ , khi đó ta thực hiện làm trội $A\left( x_{i} \right) \leq B\left( y_{i + 1} \right) - B\left( y_{i} \right)$ để thu được

$A\left( x_{1} \right) + A\left( x_{2} \right) + A\left( x_{3} \right) + ... + A\left( x_{n} \right) \leq B\left( y_{n} \right) - B\left( y_{1} \right)$

Sau đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức $B\left( y_{n} \right) - B\left( y_{1} \right) \leq M$ .

+ Ý tưởng chung cho bất đẳng thức dạng tích của dãy số là:

Giả sử ta cần chứng minh $A\left( x_{1} \right).A\left( x_{2} \right).A\left( x_{3} \right)...A\left( x_{n} \right) \leq M$ , khi đó ta thực hiện làm trội $A\left( x_{i} \right) \leq \frac{B\left( y_{i + 1} \right)}{B\left( y_{i} \right)}$ để thu được $A\left( x_{1} \right).A\left( x_{2} \right).A\left( x_{3} \right)...A\left( x_{n} \right) \leq \frac{B\left( y_{n} \right)}{B\left( y_{1} \right)}$

Sau đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức $\frac{B\left( y_{n} \right)}{B\left( y_{1} \right)} \leq M$ .

+ Một số tổng sai phân hay dùng

$\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1};\$ . $\frac{a}{n(n + a)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + a};$ .

$\frac{2a}{n(n + a)(n + 2a)} = \frac{1}{n(n + a)} - \frac{1}{(n + a)(n + 2a)};$

$\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n(n + 1)} = 1 - \frac{1}{n};$

$\frac{1}{n(n + a)} + \frac{1}{(n + a)(n + 2a)} + ... + \frac{1}{\left\lbrack n + (k - 1)a \right\rbrack(n + ka)} = \frac{k}{x(n + ka)};$

$\frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{1}{2}\left\lbrack \frac{1}{1.2.3} - \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)} \right\rbrack$ .

Chú ý:

Ta cần áp dụng làm trội, làm giảm sao cho bất đẳng thức cuối cùng cần chứng minh phải càng đơn giản càng tốt.

Thông thường ta tìm quy luật viết các số hạng của dãy rồi đưa ra cách viết tổng quát, từ đó ta mới làm trội cho số hạng tổng quát và áp dụng cho các số hạng cụ thể.

B. Bài tập ví dụ minh họa dùng phương pháp làm trội, làm giảm

Ví dụ 1. Với mọi số tự nhiên . Chứng minh rằng: $\frac{1}{2} < \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{n + n}$ .

Hướng dẫn giải

Nhận thấy tổng trên có số hạng, do đó ta làm trội bằng cách thay mẫu với $k = 1,\ \ 2,\ \ 3,\ \ ...,n - 1$ bằng .

Tức là ta có:

$\frac{1}{n + k} > \frac{1}{n + n} = \frac{1}{2n}$ với $k = 1,\ \ 2,\ \ 3,\ \ ...,n - 1$

Khi đó ta được:

$\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + ... + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2n} + ... + \frac{1}{2n} = \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng với là số nguyên dương, ta luôn có: $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + .... + \frac{1}{n^{2}} < 2$ .

Hướng dẫn giải

Để chứng minh bất đẳng thức trên ta cần làm trội mỗi phân số bằng các thay mẫu số bằng một số nhỏ hơn.

Để ý đến đánh giá $k^{2} > k(k - 1)$ , khi đó ta thu được các đánh giá có dạng $\frac{1}{k^{2}} < \frac{1}{k(k - 1)} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}$ , cho $k = \ 2,\ \ 3,\ \ \ ...,\ \ n$ ta thì ta được một bất đẳng thức $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + .... + \frac{1}{n^{2}} < 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$ .

Bây giờ ta cần kiểm tra xem $1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n} < 2$ có đúng không. Dễ thấy bất đẳng thức trên đúng, do đó ta trình bày lại lời giải như sau:

Ta có:

$\frac{1}{k^{2}} < \frac{1}{k(k - 1)} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k},\ \ \forall k$ là số nguyên dương.

Cho $k = \ 2,\ \ 3,\ \ \ ...,\ \ n$ ta có:

$\frac{1}{2^{2}} < 1 - \frac{1}{2};$

$\frac{1}{3^{2}} < \frac{1}{2} - \frac{1}{3};$

$.\ \ \ \ .\ \ \ \ .$

$\frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được: $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + .... + \frac{1}{n^{2}} < 1$ .

Suy ra $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + .... + \frac{1}{n^{2}} < 2$ .

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn giải

Bài 1. Chứng minh rằng: $\frac{1}{65} < \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{6^{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2014^{3}} < \frac{1}{40}$ .

Bài 2. Chứng minh rằng: $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + .... + \frac{1}{2015^{2}} < \frac{2014}{2015}$ .

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , ta luôn có:

$\frac{1}{5} + \frac{1}{13} + \frac{1}{25} + ... + \frac{1}{n^{2} + (n + 1)^{2}} < \frac{9}{20}$ .

🔍 Để thuận tiện cho việc học tập và lưu trữ, mời bạn tải tài liệu tham khảo bên dưới.

-------------------------------------------------

Việc nắm chắc phương pháp làm trội, làm giảm sẽ giúp bạn linh hoạt hơn khi xử lý các bài toán bất đẳng thức khó. Đây là dạng toán quan trọng thường xuất hiện trong đề thi vào lớp 10 mà bạn nên luyện tập thường xuyên.

Tải về

Chọn file muốn tải về: