Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Sử dụng tính chất A^2 ≥ 0 để chứng minh đẳng thức

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập chứng minh đẳng thức bằng A bình phương không âm

Trong quá trình ôn thi vào lớp 10, bất đẳng thức A²≥ 0 là công cụ quan trọng giúp giải nhanh nhiều dạng toán chứng minh. Bài viết này sẽ hướng dẫn cách sử dụng tính chất này để chứng minh đẳng thức một cách hiệu quả và dễ hiểu.

A. Kiến thức cần nhớ

Một số bất đẳng thức cơ bản cần nhớ

+ $A^{2} \geq 0$ với $\forall A$ .

+ $A^{2k} \geq 0$ với $\forall A$ và là số tự nhiên.

Một số kỹ thuật cơ bản

+ Kỹ thuật xét hiệu hai biểu thức.

+ Kỹ thuật sử dụng các hằng đẳng thức.

+ Kỹ thuật thêm bớt một hằng số, một biểu thức.

+ Kỹ thuật đặt biến phụ.

B. Bài tập minh họa ví dụ sử dụng tính chất bình phương họa chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 1. Cho là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 \geq 2(a + b + c)$ .

Hướng dẫn giải

Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức ta có biểu thức:

$\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 \right) - 2(a + b + c)$

$= a^{2} - 2a + 1 + b^{2} - 2b + 1 + c^{2} - 2c + 1$

$= (a - 1)^{2} + (b - 1)^{2} + (c - 1)^{2} \geq 0$

Suy ra $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 \geq 2(a + b + c)$ .

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

Ví dụ 2. Cho là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2} \geq a(b + c + d + e)$ .

Hướng dẫn giải

Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức ta có biểu thức:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2} - a(b + c + d + e)$

$= \frac{4\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2} \right) - 4(ab + ac + ad + ae)}{4}$

$= \frac{\left( a^{2} - 4ab + 4b^{2} \right) + \left( a^{2} - 4ac + 4c^{2} \right) + \left( a^{2} - 4ad + 4d^{2} \right) + \left( a^{2} - 4ae + 4e^{2} \right)}{4}$

$= \frac{(a - 2b)^{2} + (a - 2c)^{2} + (a - 2d)^{2} + (a - 2e)^{2}}{4} \geq 0$ .

Suy ra $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2} \geq a(b + c + d + e)$ .

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

Ví dụ 3. Cho là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: $a^{4} + b^{4} + c^{4} \geq abc(a + b + c)$ .

Hướng dẫn giải

Để chứng minh bất đẳng thức đã cho ta chứng minh bất đẳng thức:

$a^{4} + b^{4} + c^{4} - a^{2}bc - b^{2}ac - c^{2}ab \geq 0$ hay $2a^{4} + 2b^{4} + 2c^{4} - 2a^{2}bc - 2b^{2}ac - 2c^{2}ab \geq 0$ .

Thật vậy ta có:

$2a^{4} + 2b^{4} + 2c^{4} - 2a^{2}bc - 2b^{2}ac - 2c^{2}ab$

$= \left( a^{2} - b^{2} \right)^{2} + 2a^{2}b^{2} + \left( b^{2} - c^{2} \right)^{2}$

$+ 2b^{2}c^{2} + \left( c^{2} - a^{2} \right)^{2} + 2a^{2}c^{2}\ - 2a^{2}bc - 2b^{2}ac - 2c^{2}ab$

$= \left( a^{2} - b^{2} \right)^{2} + \left( b^{2} - c^{2} \right)^{2} + \left( c^{2} - a^{2} \right)^{2}$

$+ (ab - bc)^{2} + (bc - ac)^{2} + (ab - ac)^{2} \geq 0$

Suy ra $a^{4} + b^{4} + c^{4} \geq abc(a + b + c)$ .

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn đáp án chi tiết

Bài tập 1. Cho là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3} \geq \left( \frac{a + b + c}{3} \right)^{2}$ .

Bài tập 2. Cho là các các số thực khác Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P = \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}} - \frac{2a}{b} - \frac{2b}{a} - 1.$

Bài tập 3. Cho là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

$\left( a^{10} + b^{10} \right)\left( a^{2} + b^{2} \right) \geq \left( a^{8} + b^{8} \right)\left( a^{4} + b^{4} \right)$ .

Bài tập 4. Cho là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}$ .

🔍 Để thuận tiện cho việc học tập và lưu trữ, mời bạn tải tài liệu tham khảo bên dưới.

--------------------------------------------------

Nắm vững kỹ thuật sử dụng A²≥ 0 không chỉ giúp bạn giải nhanh bài toán mà còn nâng cao tư duy biến đổi đại số. Đây là dạng toán trọng tâm thường gặp trong đề thi vào 10 mà bạn không nên bỏ qua.

Tải về

Chọn file muốn tải về: