Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Sử dụng tính chất tỉ số để chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách sử dụng tính chất tỉ số chứng minh bất đẳng thức lớp 9

Trong các bài toán ôn thi vào lớp 10, phương pháp sử dụng tính chất tỉ số là một kỹ thuật quan trọng giúp chứng minh bất đẳng thức nhanh và chính xác. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững cách áp dụng linh hoạt dạng toán này.

A. Phương pháp giải toán

Một số tính chất của tỉ số

+ Với các số thực dương , bất kì, ta luôn có $a \geq b$ thì $\frac{1}{a} \leq \frac{1}{b}.$

+ Với các số thực dương , , , bất kì, ta có: O10-2024-GV154

Nếu $\frac{a}{b} < 1$ thì $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}$ .

Nếu $\frac{a}{b} > 1$ thì $\frac{a}{b} > \frac{a + c}{b + c}$ .

Nếu $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ thì $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d}$ .

B. Bài tập minh họa chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp tỉ số

Ví dụ 1. Cho là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: $\frac{a}{2a + b} + \frac{b}{a + 2b} < 1$ .

Hướng dẫn giải

Do là các số dương nên ta có .

Từ đó suy ra $\frac{a}{2a + b} < \frac{a}{a + b};\ \ \ \frac{b}{2b + a} < \frac{b}{a + b}.$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được $\frac{a}{2a + b} + \frac{b}{2b + a} < \frac{a}{a + b} + \frac{b}{a + b} = \frac{a + b}{a + b} = 1$ .

Vậy bài toán được chứng minh.

Ví dụ 2. Cho là các số thực dương thỏa mãn $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ . Chứng minh rằng: $\frac{a}{b} < \frac{ab + cd}{b^{2} + d^{2}} < \frac{c}{d}$ .

Hướng dẫn giải

Từ $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$ suy ra $\frac{ab}{b^{2}} < \frac{cd}{d^{2}}$ , theo tính chất tỉ số ta được $\frac{ab}{b^{2}} < \frac{ab + cd}{b^{2} + d^{2}} < \frac{cd}{d^{2}} = \frac{c}{d}$ .

Do đó ta có $\frac{a}{b} < \frac{ab + cd}{b^{2} + d^{2}} < \frac{c}{d}$ .

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 3. Cho là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^{3} + b^{3} + abc} + \frac{1}{b^{3} + c^{3} + abc} + \frac{1}{c^{3} + a^{3} + abc} \leq \frac{1}{abc}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$a^{3} + b^{3}\ - ab(a + b)$

$= (a + b)\left( a^{2} - ab + b^{2} \right) - ab(a + b)$

$= (a + b)\left( a^{2} - ab + b^{2} - ab \right)$

$= (a + b)\left( a^{2} - 2ab + b^{2} \right)$

$= (a + b)(a - b)^{2}\ \geq 0$ .

Suy ra $a^{3} + b^{3} \geq ab(a + b)$ hay $a^{3} + b^{3} + abc\ \geq ab(a + b) + abc$ .

Suy ra: $a^{3} + b^{3} + abc\ \geq ab(a + b + c)$ .

Từ đó ta được $\frac{1}{a^{3} + b^{3} + abc} \leq \frac{1}{ab(a + b + c)} = \frac{c}{abc(a + b + c)}$ .

Chứng minh tương tự ta có $\frac{1}{b^{3} + c^{3} + abc} \leq \frac{1}{bc(a + b + c)} = \frac{a}{abc(a + b + c)}$

$\frac{1}{c^{3} + a^{3} + abc} \leq \frac{1}{ac(a + b + c)} = \frac{b}{abc(a + b + c)}$

Cộng theo vế các bất đẳngthức trên ta được

$\frac{1}{a^{3} + b^{3} + abc} + \frac{1}{b^{3} + c^{3} + abc} + \frac{1}{c^{3} + a^{3} + abc} \leq \frac{1}{abc}$ .

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn giải chi tiết

Bài 1. Cho là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: $1 < \frac{a}{a + b} + \frac{b}{b + c} + \frac{c}{c + a} < 2$ .

Bài 2. Cho là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

$\sqrt{\frac{a}{b + c}} + \sqrt{\frac{b}{c + a}} + \sqrt{\frac{c}{a + b}} > 1$ .

Bài 3. Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^{2} + 2b^{2} + 3} + \frac{1}{b^{2} + 2c^{2} + 3} + \frac{1}{c^{2} + 2a^{2} + 3} \leq \frac{1}{2}$ .

📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.

----------------------------------------

Thành thạo tính chất tỉ số không chỉ giúp bạn xử lý tốt bài toán bất đẳng thức mà còn nâng cao khả năng biến đổi và lập luận logic. Đây là chìa khóa giúp bạn ghi điểm trong các bài toán nâng cao.

Tải về

Chọn file muốn tải về: