Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm các giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất

Bài tập Toán 9 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tìm giá trị lớn nhất của biểu thức toán 9 có lời giải chi tiết

Tìm các giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán 9, thường xuất hiện ở các đề kiểm tra, đề thi học sinh giỏi và đặc biệt là đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để giải nhanh và chính xác, học sinh cần biết cách rút gọn biểu thức, xác định điều kiện xác định, kết hợp các bất đẳng thức và kỹ thuật biến đổi đại số phù hợp. Trong bài viết này, bạn sẽ được hệ thống đầy đủ phương pháp giải, các dạng bài tập điển hình, mẹo làm nhanh và bài tập Toán 9 có đáp án chi tiết, giúp nâng cao kỹ năng và tự tin đạt điểm cao.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P là dạng toán quan trọng trong Toán 9, thường xuất hiện trong đề thi vào lớp 10. Bài viết cung cấp phương pháp giải nhanh cùng hệ thống bài tập có đáp án chi tiết.

Bài tập tìm GTLN biểu thức lớp 9 ôn thi vào lớp 10

Ví dụ 1. Cho biểu thức P = $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2}$ với $x \geq 0;\ x \neq 1$ . Tìm tất cả các giá trị của x để P đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Với $x \geq 0;\ x \neq 1$ , ta có P = $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2}$ = $1 + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$

Vì x ≥ 0 nên $\sqrt{x} + 2 \geq 2 \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \leq 1 + \frac{1}{2}$ . Hay P $\leq \frac{3}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Vậy max P = $\frac{3}{2}$ khi x = 0.

Ví dụ 2. Cho biểu thức A = $\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$ với $x > 0;\ x \neq 1$ . Tìm giá trị của x để P = A - $9\sqrt{x}$ đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Với $x > 0;\ x \neq 1$ , ta có P = $\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$ - $9\sqrt{x}$ = $\frac{\sqrt{x} - 1 - 9x}{\sqrt{x}}$

$= \frac{- 9x + 6\sqrt{x} - 1 - 5\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{- (3\sqrt{x} - 1)^{2}}{\sqrt{x}} - 5$

Vì $\sqrt{x} > 0;\ \ - (3\sqrt{x} - 1)^{2} \leq 0$ , nên suy ra P $\leq$ -5

Dấu “=” xảy ra khi $\ (3\sqrt{x} - 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}(tm)$

Cách 2: Dùng BĐT Cauchy

Với $x > 0;\ x \neq 1$ , ta có P = $\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$ - $9\sqrt{x}$ = $1 - \frac{1}{\sqrt{x}} - 9\sqrt{x} = 1 - \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + 9\sqrt{x} \right)$

Áp dung bất đẳng thức côsi cho hai số dương $\frac{1}{\sqrt{x}};\ \ \ 9\sqrt{x}$ ta được:

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \ 9\sqrt{x} \geq 2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}}.\ 9\sqrt{x}} = 6$

$\Leftrightarrow 1 - \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \ 9\sqrt{x} \right) \leq - 5.\ \ \ Hay\ P \leq - 5$

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{1}{\sqrt{x}} = \ \ 9\sqrt{x} \Rightarrow 9x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}(tm)$

Cách 3: Dùng đk có nghiệm của pt bậc hai.

+ Với $x > 0;\ x \neq 1$ , ta có P = $\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$ - $9\sqrt{x}$ = $1 - \frac{1}{\sqrt{x}} - 9\sqrt{x} < 1\ \ \ \ ( do\ \sqrt{x} > 0)$

+ Từ P = $\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$ - $9\sqrt{x}$ => $P\sqrt{x} = \sqrt{x} - 1 - 9x \Leftrightarrow 9x + (P - 1)\sqrt{x} + 1 = 0\ \ \ (*)$

Coi phương trình (*) là phương trình bậc hai của $\sqrt{x}$ , ta có:

∆ = (P- 1)² -36

Để tồn tại giá trị của P thì pt * phải có nghiệm => ∆ ≥ 0

<=> (P- 1)² -36 ≥ 0 $|P - 1| \geq 6 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} P - 1 \geq 6 \\ P - 1 \leq - 6 \end{matrix} \right.$

Vì P < 1 nên P – 1 ≤ - 6 <=> P ≤ - 5

Dấu “ =” xảy ra khi $\sqrt{x} = \frac{- (P - 1)}{2.9} = \frac{- ( - 5 - 1)}{2.9} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{9}(tm)$

Vậy max P = -5 khi $x = \frac{1}{9}$ .

Ví dụ 3. Cho biểu thức P = $\frac{2}{x - \sqrt{x} + 3}$ với $x \geq 0$ . Tìm tất cả các giá trị của x để P đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Ta có $x - \sqrt{x} + 3 = \left( \sqrt{x} - \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{11}{4} \geq \frac{11}{4} \Rightarrow \frac{2}{x - \sqrt{x} + 3} \leq \frac{8}{11}$

Hay P $\leq \frac{8}{11}$ dấu “=” xảy ra khi $\left( \sqrt{x} - \frac{1}{2} \right)^{2}$ ≥ 0 => x = $\frac{1}{4}$ (tm)

Vậy max P = $\frac{8}{11}$ khi x = $\frac{1}{4}$ .

Cách 2: Sử dụng điều kiện có nghiệm của pt bậc hai.

Ví dụ 4. Cho biểu thức P = $\frac{\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{x} + 9}$ với $x \geq 0$ . Tìm giá trị của x để P đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Ta có $x - 2\sqrt{x} + 9 = \left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2} + 8 > 0$ và $x \geq 0$ , nên suy ra B ≥ 0

+ Khi x = 0 thì P = 0 (1)

+ Khi x > 0 thì P > 0, ta có $\frac{1}{P} = \frac{x - 2\sqrt{x} + 9}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{9}{\sqrt{x}} - 2$

Áp dung bất đẳng thức côsi cho hai số dương $\sqrt{x};\ \ \ \frac{9}{\sqrt{x}}$ ta được:

$\sqrt{x} + \ \ \frac{9}{\sqrt{x}} \geq 2\sqrt{\sqrt{x}.\ \frac{9}{\sqrt{x}}} = 6$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} + \frac{9}{\sqrt{x}} - 2 \geq 4.\ \ Hay\ \frac{1}{P} \geq 4 \Leftrightarrow P \leq \frac{1}{4}$ (2)

Dấu bằng xảy ra khi $\sqrt{x} = \ \frac{9}{\sqrt{x}} \Rightarrow x = 9$

+ Từ (1) và (2) suy ra max P = $\frac{1}{4}$ khi x = 9.

Cách 2: Sử dụng điều kiện có nghiệm của pt bậc hai.

* Chú ý 1: Học sinh thường mắc sai lầm khi đưa vể $\frac{1}{P}$ mà không xét trường hợp x = 0 ( biểu thức $\frac{1}{P}$ chỉ xác định khi x > 0).

* Chú ý 2. Khi tìm cực trị của biểu thức, nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị.

Như: - P lớn nhất <=> P nhỏ nhất.

$\frac{1}{P}$ lớn nhất <=> khi P nhỏ nhất với P > 0.

P lớn nhất <=> P² lớn nhất với P > 0.

📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.

-------------------------------------------------

FAQ

1. Tìm các giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất là dạng toán gì?

Đây là dạng toán yêu cầu xác định giá trị của biến x để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất (GTLN) trong điều kiện xác định của bài toán. Dạng bài này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi biểu thức, vận dụng bất đẳng thức và tư duy tối ưu hóa trong đại số.

2. Muốn tìm giá trị của x để P đạt GTLN cần thực hiện những bước nào?

Quy trình giải thường gồm:

Xác định điều kiện xác định của biểu thức.
Rút gọn hoặc biến đổi biểu thức P về dạng thuận lợi.
Áp dụng bất đẳng thức hoặc các tính chất đại số phù hợp.
Tìm giá trị lớn nhất của P.
Xác định giá trị của x để dấu bằng xảy ra và kiểm tra lại điều kiện.

Thực hiện đúng trình tự sẽ giúp lời giải đầy đủ và chính xác.

3. Những phương pháp nào thường được sử dụng để tìm GTLN của biểu thức P?

Tùy từng bài toán, có thể sử dụng:

Rút gọn biểu thức.
Hoàn thành bình phương.
Bất đẳng thức AM-GM.
Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz (ở các bài phù hợp).
Đặt ẩn phụ.
Đánh giá biểu thức thông qua điều kiện xác định.

Việc lựa chọn đúng phương pháp sẽ giúp giải nhanh hơn trong phòng thi.

4. Vì sao cần xác định điều kiện xác định trước khi tìm GTLN của biểu thức?

Điều kiện xác định giúp xác định miền giá trị hợp lệ của x. Nếu bỏ qua bước này, học sinh có thể tìm được giá trị lớn nhất của biểu thức tại một giá trị x không thỏa mãn điều kiện, dẫn đến kết luận sai.

5. Khi nào nên sử dụng bất đẳng thức để giải bài toán tìm GTLN?

Bất đẳng thức thường được áp dụng khi:

Biểu thức gồm tổng hoặc tích các số không âm.
Có căn thức hoặc phân thức.
Biểu thức có thể đưa về dạng quen thuộc.
Đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất mà không cần đạo hàm.

Đây là phương pháp phổ biến trong chương trình Toán 9.

-------------------------------------------------------------

Chuyên đề Tìm các giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất là nội dung quan trọng trong Toán 9 và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Khi nắm vững điều kiện xác định, kỹ năng biến đổi biểu thức và phương pháp áp dụng các bất đẳng thức, học sinh sẽ giải bài nhanh, chính xác và đạt điểm tối đa ở dạng toán này. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập Toán 9 có đáp án, tổng hợp các phương pháp giải theo từng dạng và thường xuyên ôn tập để củng cố kiến thức, nâng cao tư duy đại số và sẵn sàng chinh phục các kỳ thi quan trọng.

Tải về

Chọn file muốn tải về: