Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm các giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất

Bài tập Toán 9 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tìm giá trị lớn nhất của biểu thức toán 9 có lời giải chi tiết

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P là dạng toán quan trọng trong Toán 9, thường xuất hiện trong đề thi vào lớp 10. Bài viết cung cấp phương pháp giải nhanh cùng hệ thống bài tập có đáp án chi tiết.

Bài tập tìm GTLN biểu thức lớp 9 ôn thi vào lớp 10

Ví dụ 1. Cho biểu thức P = $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2}$ với $x \geq 0;\ x \neq 1$ . Tìm tất cả các giá trị của x để P đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Với $x \geq 0;\ x \neq 1$ , ta có P = $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2}$ = $1 + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$

Vì x ≥ 0 nên $\sqrt{x} + 2 \geq 2 \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \leq 1 + \frac{1}{2}$ . Hay P $\leq \frac{3}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Vậy max P = $\frac{3}{2}$ khi x = 0.

Ví dụ 2. Cho biểu thức A = $\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$ với $x > 0;\ x \neq 1$ . Tìm giá trị của x để P = A - $9\sqrt{x}$ đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Với $x > 0;\ x \neq 1$ , ta có P = $\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$ - $9\sqrt{x}$ = $\frac{\sqrt{x} - 1 - 9x}{\sqrt{x}}$

$= \frac{- 9x + 6\sqrt{x} - 1 - 5\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{- (3\sqrt{x} - 1)^{2}}{\sqrt{x}} - 5$

Vì $\sqrt{x} > 0;\ \ - (3\sqrt{x} - 1)^{2} \leq 0$ , nên suy ra P $\leq$ -5

Dấu “=” xảy ra khi $\ (3\sqrt{x} - 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}(tm)$

Cách 2: Dùng BĐT Cauchy

Với $x > 0;\ x \neq 1$ , ta có P = $\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$ - $9\sqrt{x}$ = $1 - \frac{1}{\sqrt{x}} - 9\sqrt{x} = 1 - \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + 9\sqrt{x} \right)$

Áp dung bất đẳng thức côsi cho hai số dương $\frac{1}{\sqrt{x}};\ \ \ 9\sqrt{x}$ ta được:

$\frac{1}{\sqrt{x}} + \ 9\sqrt{x} \geq 2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}}.\ 9\sqrt{x}} = 6$

$\Leftrightarrow 1 - \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \ 9\sqrt{x} \right) \leq - 5.\ \ \ Hay\ P \leq - 5$

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{1}{\sqrt{x}} = \ \ 9\sqrt{x} \Rightarrow 9x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}(tm)$

Cách 3: Dùng đk có nghiệm của pt bậc hai.

+ Với $x > 0;\ x \neq 1$ , ta có P = $\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$ - $9\sqrt{x}$ = $1 - \frac{1}{\sqrt{x}} - 9\sqrt{x} < 1\ \ \ \ ( do\ \sqrt{x} > 0)$

+ Từ P = $\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$ - $9\sqrt{x}$ => $P\sqrt{x} = \sqrt{x} - 1 - 9x \Leftrightarrow 9x + (P - 1)\sqrt{x} + 1 = 0\ \ \ (*)$

Coi phương trình (*) là phương trình bậc hai của $\sqrt{x}$ , ta có:

∆ = (P- 1)² -36

Để tồn tại giá trị của P thì pt * phải có nghiệm => ∆ ≥ 0

<=> (P- 1)² -36 ≥ 0 $|P - 1| \geq 6 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} P - 1 \geq 6 \\ P - 1 \leq - 6 \end{matrix} \right.$

Vì P < 1 nên P – 1 ≤ - 6 <=> P ≤ - 5

Dấu “ =” xảy ra khi $\sqrt{x} = \frac{- (P - 1)}{2.9} = \frac{- ( - 5 - 1)}{2.9} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{9}(tm)$

Vậy max P = -5 khi $x = \frac{1}{9}$ .

Ví dụ 3. Cho biểu thức P = $\frac{2}{x - \sqrt{x} + 3}$ với $x \geq 0$ . Tìm tất cả các giá trị của x để P đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Ta có $x - \sqrt{x} + 3 = \left( \sqrt{x} - \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{11}{4} \geq \frac{11}{4} \Rightarrow \frac{2}{x - \sqrt{x} + 3} \leq \frac{8}{11}$

Hay P $\leq \frac{8}{11}$ dấu “=” xảy ra khi $\left( \sqrt{x} - \frac{1}{2} \right)^{2}$ ≥ 0 => x = $\frac{1}{4}$ (tm)

Vậy max P = $\frac{8}{11}$ khi x = $\frac{1}{4}$ .

Cách 2: Sử dụng đk có nghiệm của pt bậc hai.

Ví dụ 4. Cho biểu thức P = $\frac{\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{x} + 9}$ với $x \geq 0$ . Tìm giá trị của x để P đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Ta có $x - 2\sqrt{x} + 9 = \left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2} + 8 > 0$ và $x \geq 0$ , nên suy ra B ≥ 0

+ Khi x = 0 thì P = 0 (1)

+ Khi x > 0 thì P > 0, ta có $\frac{1}{P} = \frac{x - 2\sqrt{x} + 9}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{9}{\sqrt{x}} - 2$

Áp dung bất đẳng thức côsi cho hai số dương $\sqrt{x};\ \ \ \frac{9}{\sqrt{x}}$ ta được:

$\sqrt{x} + \ \ \frac{9}{\sqrt{x}} \geq 2\sqrt{\sqrt{x}.\ \frac{9}{\sqrt{x}}} = 6$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} + \frac{9}{\sqrt{x}} - 2 \geq 4.\ \ Hay\ \frac{1}{P} \geq 4 \Leftrightarrow P \leq \frac{1}{4}$ (2)

Dấu bằng xảy ra khi $\sqrt{x} = \ \frac{9}{\sqrt{x}} \Rightarrow x = 9$

+ Từ (1) và (2) suy ra max P = $\frac{1}{4}$ khi x = 9.

Cách 2: Sử dụng đk có nghiệm của pt bậc hai.

* Chú ý 1: HS thường mắc sai lầm khi đưa vể $\frac{1}{P}$ mà không xét trường hợp x = 0 ( biểu thức $\frac{1}{P}$ chỉ xác định khi x > 0).

* Chú ý 2. Khi tìm cực trị của biểu thức, nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị.

Như: - P lớn nhất <=> P nhỏ nhất.

$\frac{1}{P}$ lớn nhất <=> khi P nhỏ nhất với P > 0.

P lớn nhất <=> P² lớn nhất với P > 0.

📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.

-------------------------------------------------

Nắm vững kỹ năng tìm giá trị lớn nhất sẽ giúp bạn giải nhanh các bài toán bất đẳng thức và tự tin đạt điểm cao trong kỳ thi vào lớp 10.

Tải về

Chọn file muốn tải về: