Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm các giá trị của x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất

Bài tập Toán 9 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập tìm GTNN biểu thức lớp 9 ôn thi vào lớp 10

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là dạng toán quan trọng trong chương trình Toán 9, thường xuất hiện trong đề thi vào lớp 10. Bài viết giúp bạn nắm vững phương pháp và luyện tập qua hệ thống bài tập có đáp án.

Ví dụ 1: Cho biểu thức P = $\frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0;\ x \neq 1$ . Tìm tất cả các giá trị của x để P đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

+ Với $x \geq 0;\ x \neq 1$ , ta có P = $\frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1}$ = 2 - $\frac{5}{\sqrt{x} + 1}$

Vì x ≥ 0 => $\sqrt{x} \geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} + 1 \geq 1 \Leftrightarrow \frac{5}{\sqrt{x} + 1} \leq 5 \Leftrightarrow - \frac{5}{\sqrt{x} + 1} \geq - 5$

$\Leftrightarrow 2 - \frac{5}{\sqrt{x} + 1} \geq 2 - 5.\ \ Hay\ \ P \geq - 3$ , dấu “ =” xảy ra khi x = 0 (tm).

Vậy min P = -3 khi x = 0.

Ví dụ 2: Cho biểu thức P = $\frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$ với x > 0. Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Với x > 0, ta có P = $\frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$ = $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + 1$

Áp dụng bđt côsi cho hai số dương $\sqrt{x};\ \ \ \ \ \frac{1}{\sqrt{x}}$ , ta được:

$\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 2\sqrt{\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}} = 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + 1 \geq 3.\ Hay\ P \geq 3$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow x = 1$ (tm). Vậy min P = 3 khi x = 1.

Ví dụ 3. Cho biểu thức P = $\frac{x + 16}{\sqrt{x} + 3}$ với $x \geq 0,x \neq 9,x \neq 25$ . Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Với $x \geq 0,x \neq 9,x \neq 25$ , ta có:

P = $\frac{x + 16}{\sqrt{x} + 3} = \sqrt{x} - 3 + \frac{25}{\sqrt{x} + 3} = \sqrt{x} + 3 + \frac{25}{\sqrt{x} + 3} - 6$

Áp dụng bđt côsi cho hai số dương $\sqrt{x} + 3;\ \ \ \ \ \frac{25}{\sqrt{x} + 3}$ , ta được:

$\sqrt{x} + 3 + \frac{25}{\sqrt{x} + 3} \geq 2\sqrt{(\sqrt{x} + 3).\frac{25}{\sqrt{x} + 3}} = 10$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} + 3 + \frac{25}{\sqrt{x} + 3} - 6 \geq 10 - 6.\ \ Hay\ \ P \geq 4$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x} + 3 = \frac{25}{\sqrt{x} + 3} \Rightarrow (\sqrt{x} + 3)^{2} = 25 \Rightarrow \sqrt{x} + 3 = 5(do\ \sqrt{x} + 3 > 0)$

⇔ x = 4 (tm). Vậy min P = 4 khi x = 4.

Ví dụ 4. Cho biểu thức A = $\frac{1}{2\sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{1}{A} + 4A$ .

Hướng dẫn giải

Với $x \geq 1$ , ta có P = $2\sqrt{x} + 1 + \frac{4}{2\sqrt{x} + 1}$

* Chú ý sai lầm HS thường mắc phải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $2\sqrt{x} + 1;\ \ \ \ \ \frac{4}{2\sqrt{x} + 1}$ ta được:

$2\sqrt{x} + 1 + \frac{4}{2\sqrt{x} + 1} \geq 2\sqrt{(2\sqrt{x} + 1).\frac{4}{2\sqrt{x} + 1}} = 4$

Dấu “=” xảy ra khi $2\sqrt{x} + 1 = \frac{4}{2\sqrt{x} + 1}$

$\Rightarrow (2\sqrt{x} + 1)^{2} = 4 \Rightarrow 2\sqrt{x} + 1 = 2(do\ 2\sqrt{x} + 1 > 0)$

⇔ x = $\frac{1}{4}$ => Kết luận….

- Lời Hướng dẫn giải trên cho kết quả không đúng, vì x = $\frac{1}{4}$ không thỏa mãn đk $x \geq 1$ .

Hướng dẫn giải đúng:

- Chú ý vì $x \geq 1 \Leftrightarrow 2\sqrt{x} + 1 \geq 3$ . Do đó nếu áp dụng bất đẳng thức côsi thì có thể dấu “ =” xảy ra khi $2\sqrt{x} + 1 = 3$ . Do đó phải phân tích biểu thức P tiếp theo đk dấu “=” xảy ra khi $2\sqrt{x} + 1 = 3$ .

Ta có P = $2\sqrt{x} + 1 + \frac{4}{2\sqrt{x} + 1} = \frac{4(2\sqrt{x} + 1)}{9} + \frac{5(2\sqrt{x} + 1)}{9} + \frac{4}{2\sqrt{x} + 1}$

+ Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương $\frac{4(2\sqrt{x} + 1)}{9};\ \ \ \ \frac{4}{2\sqrt{x} + 1}$ , ta được:

$\frac{4(2\sqrt{x} + 1)}{9} + \ \ \ \frac{4}{2\sqrt{x} + 1} \geq 2\sqrt{\frac{4(2\sqrt{x} + 1)}{9}.\ \frac{4}{2\sqrt{x} + 1}} = \frac{8}{3}$

Dấu “ =’’ xảy ra khi $\frac{4(2\sqrt{x} + 1)}{9} = \frac{4}{2\sqrt{x} + 1} \Rightarrow 2\sqrt{x} + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 1(tm)$

+ Vì $x \geq 1 \Leftrightarrow 2\sqrt{x} + 1 \geq 3 \Rightarrow \frac{5(2\sqrt{x} + 1)}{9} \geq \frac{5}{3}$ . Dấu “=” xảy ra khi x = 1(tm)

=> P $\geq \frac{8}{3} + \frac{5}{3} = \frac{13}{3}$ . Dấu “=” xảy ra khi x = 1.

* Hoặc ta giữ nguyên $2\sqrt{x} + 1$ ,tách $\ \ \frac{4}{2\sqrt{x} + 1} = \frac{9}{2\sqrt{x} + 1} - \frac{5}{2\sqrt{x} + 1}$

=> P = $\ \ 2\sqrt{x + 1} + \frac{9}{2\sqrt{x} + 1} - \frac{5}{2\sqrt{x} + 1} \geq 2.3 - \frac{5}{3} = \frac{13}{3}$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{matrix} \ \ 2\sqrt{x} + 1 = \frac{9}{2\sqrt{x} + 1} \\ 2\sqrt{x} + 1 = 3 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = 1$

---------------------------------------

Thành thạo kỹ năng tìm giá trị nhỏ nhất sẽ giúp bạn giải nhanh các bài toán bất đẳng thức và tối ưu điểm số trong kỳ thi vào lớp 10.

Tải về

Chọn file muốn tải về: