Tìm điểm cố định đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi tham số m
Bài tập tìm điểm cố định đồ thị hàm số lớp 9 có đáp án
Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số là dạng toán vận dụng thường gặp trong chương trình Toán 9 và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Dạng bài này yêu cầu học sinh khai thác mối quan hệ giữa tham số và đồ thị hàm số để xác định điểm mà mọi đường biểu diễn đều đi qua. Bộ bài tập dưới đây được tuyển chọn theo nhiều mức độ kèm đáp án chi tiết, giúp học sinh rèn luyện tư duy phân tích và nâng cao kỹ năng giải toán.
A. Cách tìm điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m
- Bước 1: Giả sử
\(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b\) luôn đi qua. - Bước 2: Đặt điều kiện \({y_0} = a{x_0} + b\left( * \right)\) đúng với mọi m.
- Bước 3: Biến đổi (*) về dạng \(Am + B = 0\,\,\,\forall m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0
\end{array} \right.\)
- Bước 4: Kết luận.
B. Ví dụ minh họa tìm điểm cố định
Ví dụ 1: Cho đường thẳng: \(\left( {m - 1} \right)x + \left( {m - 2} \right)y = 1\)(với m là tham số). Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
Hướng dẫn giải chi tiết
Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định thuộc đường thẳng đã cho. Ta có:
\(\left( {m - 1} \right){x_0} + \left( {m - 2} \right){y_0} = 1\) với mọi m \(\Leftrightarrow m\left( {{x_0} + {y_0}} \right) - \left( {{x_0} + 2{y_0} + 1} \right) = 0\) với mọi m
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} + {y_0} = 0\\
{x_0} + 2{y_0} + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y_0} = - 1\\
{x_0} = 1
\end{array} \right.\)
Vậy đường thẳng đã cho luôn đi qua điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) với mọi m.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng:
\(\left( {{d_1}} \right):y = - mx + m + 1,\left( {{d_2}} \right):y = \frac{1}{m}x - 1 - \frac{5}{m}\) (với m là tham số khác 0).
Tìm điểm cố định mà đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) luôn đi qua. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng luôn thuộc một đường cố định.
Hướng dẫn giải chi tiết
Giả sử \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) luôn đi qua. Ta có:
\({y_M} = - m{x_M} + m + 1\)với mọi m \(\Leftrightarrow m\left( {1 - {x_M}} \right) + \left( {1 - {y_M}} \right) = 0\) với mọi m
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 - {x_M} = 0\\
1 - {y_M} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = 1\\
{y_M} = 1
\end{array} \right.\)
Vậy đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) luôn đi qua điểm \(M\left( {1;1} \right)\) cố định.
Giả sử \(N\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là giao điểm \(\left( {{d_1}} \right)\) của và \(\left( {{d_2}} \right)\). Khi đó:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{y_0} = - m{x_0} + m + 1\\
{y_0} = \frac{1}{m}{x_0} - 1 - \frac{5}{m}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{y_0} - 1 = m\left( {1 - {x_0}} \right)\,\,\,\,(1)\\
{y_0} + 1 = \frac{1}{m}\left( {{x_0} - 5} \right)\,\,\,\,(2)
\end{array} \right.\)
Nhân theo vế của (1) và (2) ta được:
\(\begin{array}{l}
\left( {{y_0} + 1} \right)\left( {{y_0} - 1} \right) = \left( {1 - {x_0}} \right)\left( {{x_0} - 5} \right)\\
\Leftrightarrow y_0^2 - 1 = - x_0^2 + 6{x_0} - 5\\
\Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 3} \right)^2} + y_0^2 = 5
\end{array}\)
Giả sử \(I\left( {3;0} \right)\) thuộc mặt phẳng tọa độ. Ta có \(IN = \sqrt {{{\left( {{x_0} - 3} \right)}^2} + y_0^2} = \sqrt 5\) không đổi.
Vậy N thuộc đường tròn tâm I bán kính \(\sqrt 5\).
-----------------------
FAQ
1. Điểm cố định của đồ thị hàm số là gì?
2. Dạng toán tìm điểm cố định có xuất hiện trong đề thi vào lớp 10 không?
3. Làm thế nào để tìm điểm cố định của đồ thị hàm số?
4. Chuyên đề này thuộc phần kiến thức nào của Toán 9?
-------------------------
Việc nắm vững phương pháp tìm điểm cố định của đồ thị hàm số sẽ giúp học sinh xử lý hiệu quả các bài toán chứa tham số trong chương trình Toán 9. Thường xuyên luyện tập với nhiều dạng bài khác nhau là cách tốt nhất để củng cố kiến thức và tự tin bước vào kỳ thi vào lớp 10.
