Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm min, max của biểu thức nghiệm

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm là một dạng toán thường gặp trong các bài kiểm tra môn Toán lớp 9 cũng như đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để giúp các em học sinh nắm chắc kiến thức phần này, VnDoc gửi tới các bạn chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm. Tài liệu cung cấp lý thuyết kèm bài tập liên quan.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

* Cách làm bài toán như sau:

+ Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x₁ và x₂ (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)

+ Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho theo m

Hệ thức Viète

Phương trình bậc hai tổng quát $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$ .

Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ thì

$\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a} \\ P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\ \end{matrix} \right.$

Đảo lại

Nếu hai số $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} \\ P = x_{1}.x_{2} \\ \end{matrix} \right.$ thì $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^{2} - S.x + P = 0$ (điều kiện $S^{2} - 4P \geq 0$ )

Các hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm

${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2}$
${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{3} - 3x_{1}.x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right)$
${x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} = \left({x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} \right)^{2} - 2{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}$ $=\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}\right\rbrack^{2} - 2{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}$
$\left| x_{1} - x_{2} \right| = \sqrt{\left( x_{1} - x_{2} \right)^{2}} = \sqrt{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}.x_{2}}$
$\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{x_{1}.x_{2}}$ với $x_{1};x_{2} \neq 0$
$\frac{1}{{x_{1}}^{2}} + \frac{1}{{x_{2}}^{2}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}}$ với $x_{1};x_{2} \neq 0$
$\left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}x_{2}$

+ Một số bất đẳng thức thường dùng:

- Với mọi $A \ge 0:{A^2} \ge 0;\sqrt A \ge 0$

- Bất đẳng thức Cauchy (Cô - Si): với a, b là các số dương ta có: $a + b \ge 2\sqrt {ab}$

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Bài 1: Cho phương trình bậc hai x² + 2 (m+1) x + m² - m + 1 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất của $A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

∆' = b'² - ac = (m + 1)² - (m² - m + 1) = m² - 2m + 1 - m² + m - 1 = -m

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ ⇔ - m > 0 ⇔ m < 0

Vậy với m < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = - 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - m + 1\end{array} \right.$

Có $A = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2}$ $= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1}{x_2}$ $= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2}$

Thay các giá trị của hệ thức Viète vào biểu thức A đã biến đổi ta được:

A = [-2 (m + 1)]² - (m² - m + 1)

A = 4 (m + 1)² - m² + m - 1

A = 4m² + 8m + 4 - m² + m - 1

A = 3m² + 9m + 3

A = (m² + 3m + 1)

Có ${m^2} + 3m + 1 = {m^2} + 2.\frac{3}{2}.m + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} + 1$

$= {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4}$

Vì ${\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m < 0$ $\Leftrightarrow {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4} \ge \frac{{ - 5}}{4}\forall m < 0$

$\Leftrightarrow 3\left[ {{{\left( {m + \frac{3}{2}} \right)}^2} - \frac{5}{4}} \right] \ge \frac{{ - 15}}{4}\forall m < 0$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow m + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}\left( {tm} \right)$

Vậy min $A = \frac{{ - 15}}{4} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 3}}{2}$

Bài 2. Gọi $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $2x^{2} + 2mx + m^{2} - 2 = 0$ với là tham số. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \left| 2x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} - 4 \right|$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\Delta' = m^{2} - 2\left( m^{2} - 2 \right) = - m^{2} + 4$

Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi $\Delta' \geq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2(*)$

Theo định lí Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - m \\ x_{1}.x_{2} = \dfrac{m^{2} - 2}{2} \\ \end{matrix} \right.$

Khi đó:

$P = \left| 2x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} - 4 \right| = \left| m^{2} - m - 6 \right|$

$= \left| (m + 2)(m - 3) \right| = - (m + 2)(m - 3)$

$= - m^{2} + m + 6 = - \left( m - \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{25}{4} \leq \frac{25}{4}$ (do $- 2 \leq m \leq 2$ )

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m = \frac{1}{2}$ thỏa mãn (*)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đó là: $P_{\max} = \frac{25}{4}$ .

Bài 3. Cho phương trình $x^{2} - (m - 1)x - m^{2} + m - 2 = 0$ với là tham số. Gọi $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Xác định giá trị của tham số m để biểu thức $A = \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{3} - \left( \frac{x_{2}}{x_{3}} \right)^{3}$ đạt giá trị lớn nhất?

Hướng dẫn giải

Xét $ac= - m^{2} + m - 2 = - \left( m - \frac{1}{2} \right)^{2} - \frac{3}{4} < 0,\forall m \in \mathbb{R}$

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi .

Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là $x_{1},x_{2}$ .

Theo câu a) thì $x_{1}x_{2} \neq 0$ , do đó được xác định với mọi $x_{1},x_{2}$ .
Do $x_{1},x_{2}$ trái dấu nên $\left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{3} = - t$ với , suy ra $\left( \frac{x_{2}}{x_{1}} \right)^{3} < 0$ , suy ra
Đặt $\left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{3} = - t$ , với , suy ra $\left( \frac{x_{2}}{x_{1}} \right)^{3} = - \frac{1}{t}$ .

Khi đó $A = - t - \frac{1}{t}$ mang giá trị âm và đạt giá trị lớn nhất khi có giá trị nhỏ nhất.

Ta có $- A = t + \frac{1}{t} \geq 2$ , suy ra $A \leq - 2$ .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $t = \frac{1}{t} \Leftrightarrow t^{2} = 1 \Rightarrow t = 1$ .

Với , ta có:
$\left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{3} = - 1 \Leftrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}} = - 1$

$\Leftrightarrow x_{1} = - x_{2} \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 0$

$\Leftrightarrow - (m - 1) = 0 \Leftrightarrow m = 1$ .

Vậy với thì biểu thức đạt giá trị lớn nhất là -2 .

Bài 4: Cho phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + {m^2} - 8 = 0$ (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức $B = {x_1} + {x_2} - 3{x_1}{x_2}$ đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\Delta ' = {b^{'2}} - ac = {\left( {m + 4} \right)^2} - \left( {{m^2} - 8} \right)$

$= {m^2} + 8m + 16 - {m^2} + 8 = 8m + 24$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 8m + 24 > 0 \Leftrightarrow m > - 3$

Vậy với m > - 3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 4} \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = {m^2} - 8\end{array} \right.$

Có B = x₁ + x₂ - 3x₁x₂ = 2 (m + 4) - 3 (m² - 8)

$= - 3{m^2} + 2m + 32$ $= - 3\left( {{m^2} + 2.\frac{1}{3}.m + \frac{1}{9}} \right) + \frac{{97}}{3}$

$= - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{97}}{3}$

Vì ${\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} \ge 0\forall m > - 3$ $\Leftrightarrow - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} \le 0\forall m > - 3$

$\Leftrightarrow - 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{97}}{3} \le \frac{{97}}{3}\forall m > - 3$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow m + \frac{1}{3} = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{3}$

Vậy max $B = \frac{{97}}{3} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{3}$

Bài 5: Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x² - 2 (m + 1)x + m - 4 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = |x₁ - x₂|.

Hướng dẫn giải

Có ∆' = (m + 1)² - (m - 4) = m² + 2m + 1 + m + 4 = m² + 3m + 5

$= \left( {{m^2} + 2.\frac{3}{2}.m + \frac{9}{4}} \right) + \frac{{11}}{4}$ $= {\left( {m + \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4} > 0\forall m$

Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 2\left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = m - 4\end{array} \right.$

Có $M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|$ $\Rightarrow {M^2} = {\left( {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|} \right)^2} = x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}$

M2 = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = [2(m + 1)]² - 4 (m - 4)

= 4(m² + 2m + 1) - 4m + 16

= 4m² + 8m + 4 - 4m + 16

= 4m² + 4m + 20 = 4 (m² + m + 5)

Có ${m^2} + m + 5 = \left( {{m^2} + 2.\frac{1}{2}.m + \frac{1}{4}} \right) - \frac{1}{4} + 5$ $= {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4}$

Vì ${\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall m$ $\Leftrightarrow {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{19}}{4} \ge \dfrac{{19}}{4}\forall m$

$\Leftrightarrow 4\left[ {{{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{{19}}{4}} \right] \ge 19\forall m$

$M = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \Rightarrow M \ge \sqrt {19}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $m + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2}$

Vậy min $M = \sqrt {19} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2}$ .

Bài 6. Cho phương trình x² – (2m-1)x + m – 1 = 0, với m là tham số.

a. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức của $\left| x_{1} - x_{2} \right|$ .

c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ${x_{1}}^{2}\left( 1 - {x_{2}}^{2} \right) + {x_{2}}^{2}\left( 1 - 4{x_{1}}^{2} \right)$ .

Hướng dẫn giải

a. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1; b = 2m - 1; c = m – 1

$\Delta = (2m - 1)^{2} - 4.1.(m - 1)$ $=4m^{2} - 4m + 1 = (2m - 1)^{2} + 1$

Vì $(2m - 1)^{2} \geq 0;\forall m$ $(2m - 1)^{2} + 1 \geq 1;\forall m$ .

Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Vậy ta có điều cần chứng minh.

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức của $\left| x_{1} - x_{2} \right|$ .

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1; b = 2m - 1; c = m - 1

$\Delta = (2m - 1)^{2} - 4.1.(m - 1)$ $=4m^{2} - 4m + 1 = (2m - 1)^{2} + 1$

Vì $(2m - 1)^{2} \geq 0;\forall m$ $(2m - 1)^{2} + 1 \geq 1;\forall m$ .

Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo định lí Viet ta có : $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m - 1\ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = m - 1\ \ \ \ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$

Đặt $A = \left| x_{1} - x_{2} \right| \geq 0 \Rightarrow A^{2} = \left| x_{1} - x_{2} \right|^{2} = \left( x_{1} - x_{2} \right)^{2}$

$= {x_{1}}^{2} - 2x_{1}.x_{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}.x_{2}$

Thay (1) và (2) vào ta có

$A^{2} = (2m - 1)^{2} - 4(m - 1) = (2m - 2)^{2} + 1 \geq 1$ với mọi m (3)

Mà $A \geq 0 \Rightarrow A \geq 1;\forall m$

Dấu bằng xảy ra khi (2m - 2)² = 0 $\Leftrightarrow m = 1$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\left| x_{1} - x_{2} \right|$ là 1 xảy ra khi m = 1.

c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ${x_{1}}^{2}\left( 1 - {x_{2}}^{2} \right) + {x_{2}}^{2}\left( 1 - 4{x_{1}}^{2} \right)$

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1; b = 2m - 1; c = m - 1

$\Delta = (2m - 1)^{2} - 4.1.(m - 1)$ $=4m^{2} - 4m + 1 = (2m - 1)^{2} + 1$

Vì $(2m - 1)^{2} \geq 0;\forall m$ $(2m - 1)^{2} + 1 \geq 1;\forall m$ . Khi đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo định lí Viet ta có : $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m - 1\ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = m - 1\ \ \ \ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$

Ta có $A = {x_{1}}^{2}\left( 1 - {x_{2}}^{2} \right) + {x_{2}}^{2}\left( 1 - 4{x_{1}}^{2} \right)$

$= {x_{1}}^{2} - 5{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2} + {x_{2}}^{2}$ $= \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2} - 5\left( x_{1}.x_{2} \right)^{2}$ (3)

Thay (1) và (2) vào (3) ta được :

$A = (2m - 1)^{2} - 5(m - 1)^{2} - 2(m - 1)$

$= 4m^{2} - 4m + 1 - 5m^{2} + 10m - 5 - 2m + 2$

$= - m^{2} + 4m - 2 = 2 - \left( m^{2} - 4m + 4 \right)$

$= 2 - (m - 2)^{2}$

Vì $(m - 2)^{2} \geq 0;\forall m \Rightarrow A = 2 - (m - 2)^{2} \leq 2;\forall m$

Dấu bằng xảy ra khi (m – 2)² = 0 hay m = 2

Vậy GTLN của ${x_{1}}^{2}\left( 1 - {x_{2}}^{2} \right) + {x_{2}}^{2}\left( 1 - 4{x_{1}}^{2} \right)$ là 2 khi m = 2.

Bài 7. Cho phương trình $x^{2} - (m + 1)x + m = 0$ với m là tham số. Gọi $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của tham số m để biểu thức $A = {x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}.{x_{2}}^{2} + 2007$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\Delta = \left\lbrack - (m + 1) \right\rbrack^{2} - 4m = m^{2} - 2m + 1 = (m - 1)^{2}$

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta > 0 \Leftrightarrow (m - 1)^{2} > 0 \Rightarrow m \neq 1$

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m + 1 \\ x_{1}.x_{2} = m \end{matrix} \right.$

Ta có:

$A = {x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}.{x_{2}}^{2} + 2007 = x_{1}.x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right) + 2007$

$= m(m + 1) + 2007 = m^{2} + m + 2007$

$= m^{2} + 2.m.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + 2006 + \frac{3}{4}$

$= \left( m + \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{8027}{4} \geq 0;\forall m$

Dấu “=” xảy ra $m + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng $\frac{8027}{4}$ với $m = - \frac{1}{2}$ .

Bài 8. Cho phương trình $x^{2} - mx + m - 1 = 0$ (với m là tham số).

a. Gọi hai nghiệm của phương trình là $x_{1};x_{2}$ . Tính giá trị của biểu thức $M = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1}{{x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}{x_{2}}^{2}}$ . Từ đó tìm giá trị của tham số m để .

b. Tìm giá trị của tham số m để biểu thức $P = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

a. Ta có: $\Delta = m^{2} - 4(m - 1) = m^{2} - 4m + 4 = (m - 2)^{2} \geq 0\forall m$ . Khi đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm.

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1}.x_{2} = m - 1 \end{matrix} \right.$ .

Ta có:

$M = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1}{{x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}{x_{2}}^{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} - 1}{x_{1}x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right)}$

$= \frac{m^{2} - 2(m - 1) - 1}{(m - 1)m} = \frac{m^{2} - 2m + 1}{(m - 1)m} = \frac{(m - 1)^{2}}{(m - 1)m}$

Để $M > 0 \Leftrightarrow \frac{(m - 1)^{2}}{(m - 1)m} > 0 \Leftrightarrow (m - 1)m > 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m > 0 \\ m - 1 > 0 \end{matrix} \right.\ \\ \left\lbrack \begin{matrix} m < 0 \\ m - 1 < 0 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 1 \\ m < 0 \end{matrix} \right.$

b. Ta có: $P = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1 = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} - 1$

$= m^{2} - 2(m - 1) - 1 = m^{2} - 2m + 1 = (m - 1)^{2} \geq 0;\forall m$

Do đó $P_{\min} = 0$ và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$

Vậy $P_{\min} = 0$ với m = 1.

Bài 9. Cho phương trình $x^{2} + 2mx + 2m - 1 = 0$ với m là tham số. Gọi $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của tham số m để biểu thức $A = {x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}{x_{2}}^{2}$ đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\Delta = (2m)^{2} - 4.1.(2m - 1) = 4m^{2} - 8m + 4 = 4(m - 1)^{2}$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Delta > 0 \Leftrightarrow (m - 1)^{2} > 0 \Rightarrow m \neq 1$

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - 2m \\ x_{1}.x_{2} = 2m - 1 \end{matrix} \right.$

Ta có:

$A = {x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}{x_{2}}^{2} = x_{1}x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right)$

$= (2m - 1)( - 2m) = - 4m^{2} + 2m$

$= - 4\left( m^{2} - \frac{1}{2}m \right) = - 4\left( m^{2} - 2.m.\frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{16} \right)$

$= - 4\left( m - \frac{1}{4} \right)^{2} + \frac{1}{4} \leq \frac{1}{4};\forall m$

Dấu “=” xảy ra $m - \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}$

Vậy biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất khi $m = \frac{1}{4}$ .

Tải về

Chọn file muốn tải về: