Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa một biến

Bài tập Toán 9 ôn thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của biểu thức một biến

Trong bài viết Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa một biến, bạn sẽ được hệ thống đầy đủ các phương pháp giải phổ biến, mẹo nhận dạng dạng toán, ví dụ minh họa cùng bộ bài tập có đáp án chi tiết. Đây là tài liệu hữu ích giúp học sinh củng cố kiến thức, nâng cao kỹ năng giải toán và tự tin chinh phục các câu hỏi phân loại trong đề thi vào lớp 10.

Dạng 1. Tam thức bậc hai

Bài toán: Cho tam thức bậc hai $P = a{x^2} + bx + c$ $P = a{x^2} + bx + c$

Tìm GTNN của P nếu $a > 0$.

Tìm GTLN của P nếu $a < 0$.

Phương pháp giải

Ta có:

$P = a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x} \right) + c$ $P = a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x} \right) + c$ $= a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} + c - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}$ $= a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} + c - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}$

Đặt $c - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = k$ $c - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = k$.

Do ${\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} \ge 0$ ${\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} \ge 0$ nên:

- Nếu $a > 0$ thì $a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} \ge 0$ $a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} \ge 0$, do đó $P \ge k$ $P \ge k$. $\min P = k$ $\min P = k$ khi và chỉ khi $x = - \frac{b}{{2a}}$ $x = - \frac{b}{{2a}}$

- Nếu $a < 0$ thì $a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} \le 0$ $a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} \le 0$ do đó $P \le k$ $P \le k$. $\max P = k$ $\max P = k$ khi và chỉ khi $x = - \frac{b}{{2a}}$ $x = - \frac{b}{{2a}}$

Dạng 2. Đa thức bậc cao hơn hai

Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai

Ví dụ: Tìm GTNN của $A{\rm{ }}\; = {\rm{ }}\;x\left( {{\rm{ }}x - 3} \right)\left( {x{\rm{ }}--{\rm{ }}4} \right)\left( {{\rm{ }}x{\rm{ }}--{\rm{ }}7} \right)$ $A{\rm{ }}\; = {\rm{ }}\;x\left( {{\rm{ }}x - 3} \right)\left( {x{\rm{ }}--{\rm{ }}4} \right)\left( {{\rm{ }}x{\rm{ }}--{\rm{ }}7} \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có: $A{\rm{ }}\; = {\rm{ }}\;x\left( {{\rm{ }}x - 3} \right)\left( {x{\rm{ }}--{\rm{ }}4} \right)\left( {{\rm{ }}x{\rm{ }}--{\rm{ }}7} \right)$ $A{\rm{ }}\; = {\rm{ }}\;x\left( {{\rm{ }}x - 3} \right)\left( {x{\rm{ }}--{\rm{ }}4} \right)\left( {{\rm{ }}x{\rm{ }}--{\rm{ }}7} \right)$

Đặt ${x^2} + 7x + 6 = y$ ${x^2} + 7x + 6 = y$ thì $A = \left( {y - 6} \right)\left( {y + 6} \right) = {y^2} - 36 \ge - 36$ $A = \left( {y - 6} \right)\left( {y + 6} \right) = {y^2} - 36 \ge - 36$

$\min A = - 36 \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 6 = 0$ $\min A = - 36 \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 6 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 6 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 6 \end{array} \right.$

Dạng 3. Biểu thức là một phân thức

a) Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:

Ví dụ: Tìm GTNN của $A = \frac{2}{{6x - 5 - 9{x^2}}}$ $A = \frac{2}{{6x - 5 - 9{x^2}}}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $A = \frac{2}{{6x - 5 - 9{x^2}}} = \frac{{ - 2}}{{9{x^2} - 6x + 5}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2} + 4}}$ $A = \frac{2}{{6x - 5 - 9{x^2}}} = \frac{{ - 2}}{{9{x^2} - 6x + 5}} = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2} + 4}}$

Ta thấy ${\left( {3x - 1} \right)^2} \ge 0$ ${\left( {3x - 1} \right)^2} \ge 0$ nên ${\left( {3x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4$ ${\left( {3x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4$ do đó $\frac{1}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2} + 4}} \le \frac{1}{4}$ $\frac{1}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2} + 4}} \le \frac{1}{4}$ theo tính chất $a \ge b$ $a \ge b$ thì $\frac{1}{a} \le \frac{1}{b}$ $\frac{1}{a} \le \frac{1}{b}$ với a, b cùng dấu).

Do đó $\frac{{ - 2}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2} + 4}} \ge \frac{{ - 2}}{4}$ $\frac{{ - 2}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2} + 4}} \ge \frac{{ - 2}}{4}$=> $A \ge - \frac{1}{2}$ $A \ge - \frac{1}{2}$

$\min A = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow 3x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$ $\min A = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow 3x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}$

Dạng 4. Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức

Ví dụ : Tìm GTNN của $A = \frac{{3{x^2} - 8x + 6}}{{{x^2} - 2x + 1}}$ $A = \frac{{3{x^2} - 8x + 6}}{{{x^2} - 2x + 1}}$.

Hướng dẫn giải

Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm

$A = \frac{{3{x^2} - 8x + 6}}{{{x^2} - 2x + 1}} = \frac{{2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}}{{{x^2} - 2x + 1}}$ $A = \frac{{3{x^2} - 8x + 6}}{{{x^2} - 2x + 1}} = \frac{{2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}}{{{x^2} - 2x + 1}}$ $= 2 + \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \ge 2$ $= 2 + \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \ge 2$

$\min A = 2$ $\min A = 2$ khi và chi khi x = 2.

Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có:

$\frac{{3{{(y + 1)}^2} - 8(y + 1) + 6}}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2} - 2\left( {y + 1} \right) + 1}}$ $\frac{{3{{(y + 1)}^2} - 8(y + 1) + 6}}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2} - 2\left( {y + 1} \right) + 1}}$ $= \frac{{3{y^2} + 6y + 3 - 8y - 8 + 6}}{{{y^2} + 2y + 1 - 2y - 2 + 1}} = \frac{{3{y^2} - 2y + 1}}{{{y^2}}}$ $= \frac{{3{y^2} + 6y + 3 - 8y - 8 + 6}}{{{y^2} + 2y + 1 - 2y - 2 + 1}} = \frac{{3{y^2} - 2y + 1}}{{{y^2}}}$

$A = 3 - \frac{2}{y} + \frac{1}{{{y^2}}} = {\left( {\frac{1}{y} - 1} \right)^2} + 2$ $A = 3 - \frac{2}{y} + \frac{1}{{{y^2}}} = {\left( {\frac{1}{y} - 1} \right)^2} + 2$

minA = 2 kìa chỉ khi $y{\rm{ }}\; = {\rm{ }}\;1\; \Leftrightarrow x{\rm{ }}--{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}1\; \Leftrightarrow x{\rm{ }} = {\rm{ }}2$ $y{\rm{ }}\; = {\rm{ }}\;1\; \Leftrightarrow x{\rm{ }}--{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}1\; \Leftrightarrow x{\rm{ }} = {\rm{ }}2$

Ví dụ: Tìm các số a, b, c, d thỏa mãn: ${a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = a\left( {b + c + d} \right)$ ${a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = a\left( {b + c + d} \right)$ (*)

Ta có:

$\begin{array}{l} {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = ab\left( {a + b + c} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} - a\left( {b + c + d} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} - ab - ac - ad = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} - ab - ac - ad} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - 4ab + 4{b^2} + {a^2} - 4ac + 4{c^2} + {a^2} - 4ad + 4{d^2} + {a^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 2b} \right)^2} + {\left( {a - 2c} \right)^2} + {\left( {a - 2d} \right)^2} + {a^2} = 0 \end{array}$ $\begin{array}{l} {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} = ab\left( {a + b + c} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} - a\left( {b + c + d} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} - ab - ac - ad = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} - ab - ac - ad} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - 4ab + 4{b^2} + {a^2} - 4ac + 4{c^2} + {a^2} - 4ad + 4{d^2} + {a^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 2b} \right)^2} + {\left( {a - 2c} \right)^2} + {\left( {a - 2d} \right)^2} + {a^2} = 0 \end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi: $a = 2b = 2c = 2d = 0 \Leftrightarrow a = b = c = d = 0$ $a = 2b = 2c = 2d = 0 \Leftrightarrow a = b = c = d = 0$

------------------------------------------

Để giải thành thạo bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa một biến, học sinh cần kết hợp linh hoạt các phương pháp biến đổi đại số, khai thác điều kiện của biến và sử dụng các bất đẳng thức phù hợp. Việc luyện tập theo từng mức độ từ cơ bản đến nâng cao sẽ giúp nâng cao tư duy, tăng tốc độ làm bài và cải thiện khả năng xử lý các bài toán cực trị.

Tải về

Chọn file muốn tải về: