Tìm quỹ tích trung điểm M của AB
Cách tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB
Trong chuyên đề quỹ tích hình học Toán 9, các bài toán liên quan đến trung điểm của đoạn thẳng là dạng toán xuất hiện thường xuyên trong các đề kiểm tra và đề thi vào lớp 10. Việc xác định quỹ tích trung điểm M của AB đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt các kiến thức về đường thẳng, đường tròn, đoạn thẳng và phép biến đổi hình học. Bài viết này tổng hợp phương pháp giải, các dạng bài tiêu biểu cùng hệ thống bài tập tìm quỹ tích trung điểm M của AB có đáp án chi tiết, giúp học sinh ôn tập hiệu quả và nâng cao kỹ năng giải toán.
Ví dụ 1: Cho góc 
\(xOy\) cố định và điểm A cố định nằm trên tia Ox. B là điểm chuyển động trên tia Oy, Tìm tập hợp trung điểm \(M\) của AB.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Phần thuận:
+ Xét tam giác vuông OAB ta có:
\(OM = MA = MB\) nên tam giác OAM cân tại M. Mặt khác OA cố định
Suy ra M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng OA.
Giới hạn:
+ Khi B trùng với O thì \(M \equiv {M_1}\) là trung điểm OA
+ Khi B chạy xa vô tận trên tia OB thì M chạy xa vô tận trên tia M1z
Phần đảo.
Lấy M bất kỳ thuộc tia M1z, AM cắt Oy tại B. Suy ra \(MO = MA \Rightarrow \widehat {MAO} = \widehat {MOA}\).
Mặt khác \(\widehat {OBM} = \widehat {BOM}\) (cùng phụ với góc \(\widehat {MAO} = \widehat {MOA}\))\(=> MO = MB.\)
Suy ra \(MO = MA = MB\). Hay M là trung điểm của AB.
Kết luận:
Tập hợp các trung điểm M của AB là đường trung trực của đoạn OA.
Ví dụ 2. Tam giác ABC cân tại A cố định nội tiếp trong đường tròn (O; R). Điểm M di động trên cạnh BC. Gọi D là tâm đường tròn đi qua và tiếp xúc với AB tại B. Gọi E là tâm đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AC tại C. Tìm tập hợp các điểm I là trung điểm của DE.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
a) Phần thuận:
Vẽ đường kính AF của đường tròn (O);
\(\widehat {ABF} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn);
\(\widehat {ABD} = {90^0}\) (AB tiếp xúc với (D) tại B).
Suy ra B,D,F thẳng hàng.
Tương tự C;E;F thẳng hàng.
Xét tam giác ABC cân tại \(A \Rightarrow AF \bot BC\) \(\Rightarrow cungBF=cungCF\Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\)
\(BD = DM \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {DMB};EM = EC \Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {EMC}\)
Suy ra \(\widehat {{B_1}} = \widehat {DMB} = \widehat {EMC} = \widehat {{C_1}}\).
\(\widehat {{B_1}} = \widehat {EMC} \Rightarrow BF//ME;\)
\(\widehat {{C_1}} = \widehat {DMB} \Rightarrow MD//CF\)
\(\left\{ \begin{array}{l}
BF//ME\\
MD//CF
\end{array} \right. \Rightarrow DMEF\) là hình bình hành mà là I trung điểm của DE => I là trung điểm của MF.
Vẽ \(IK \bot BC\).
Xét tam giác FMH có \(IK//FH\left( {IK \bot BC,FH \bot BC} \right);\) I là trung điểm của MF => IK là đường trung bình của \(\Delta FMH \Rightarrow IK = \frac{1}{2}FH\) (không đổi).
Vậy I thuộc đường thẳng (d) song song với BC cách BC một khoảng bằng 1/2FH.
b) Giới hạn:
Khi \(M \equiv B\) thì \(I = {I_1}\) (\({I_1}\) là trung điểm của BF);
Khi \(M \equiv C\) thì \(I = {I_2}\) (\({I_2}\) là trung điểm của CF).
Do đó I chuyển động trên đoạn thẳng \({I_1}{I_2}\).
c) Phần đảo:
Lấy điểm I bất kỳ thuộc đoạn thẳng \({I_1}{I_2}\), FI cắt BC tại M.
Vẽ \(MD//CF\left( {D \in BF} \right),ME//BF\left( {E \in CF} \right)\) => DMEF là hình bình hành mà I là trung điểm của MF => I là trung điểm của DE.
Dễ dàng chứng minh được DB = DM và EM = EC.
Do đó AB tiếp xúc với (D); AC tiếp xúc với (E).
d) Kết luận:
Tập hợp các điểm Ilà đường trung bình của tam giác FBC(với F là trung điểm của cung BC).
📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.
