Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm tập hợp điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Bài tập Quỹ tích Toán 9 ôn thi vào 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập quỹ tích tâm đường tròn nội tiếp Toán 9

Trong các chuyên đề hình học Toán 9 ôn thi vào lớp 10, bài toán tìm tập hợp điểm luôn là dạng toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện tư duy suy luận và kỹ năng chứng minh hình học. Đặc biệt, các bài toán liên quan đến tâm đường tròn nội tiếp tam giác thường xuất hiện trong đề thi với nhiều mức độ khác nhau. Bài viết dưới đây tổng hợp phương pháp giải, kiến thức trọng tâm và các bài tập tìm tập hợp điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác có đáp án chi tiết, giúp học sinh ôn luyện hiệu quả và nâng cao điểm số.

Ví dụ 1. Cho đường tròn (O;R) hai đường kính AB và CD vuông góc. M là điểm di động trên cung $CAD$. H là hình chiếu của M trên AB. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác HMO. Tìm tập hợp các điểm I.

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa:

a) Phần thuận:

Xét tam giác HMO có

$\widehat H = {90^0} \Rightarrow \widehat {HMO} + \widehat {HOM} = {90^0}$ $\widehat H = {90^0} \Rightarrow \widehat {HMO} + \widehat {HOM} = {90^0}$

Do đó $\widehat {IMO} + \widehat {IOM} = \frac{1}{2}\widehat {HOM} = {45^0}$ $\widehat {IMO} + \widehat {IOM} = \frac{1}{2}\widehat {HOM} = {45^0}$

Xét tam giác IMO có $\widehat {OIM} = {180^0} - \left( {\widehat {IMO} + \widehat {IOM}} \right) = {135^0}$ $\widehat {OIM} = {180^0} - \left( {\widehat {IMO} + \widehat {IOM}} \right) = {135^0}$.

Xét tam giác IMO và tam giác IAO có OI (chung); $OM = OA\left( { = R} \right);\widehat {IOM} = \widehat {IOA}$ $OM = OA\left( { = R} \right);\widehat {IOM} = \widehat {IOA}$ (I là tâm đường tròn nội tiếp ).

Do đó $\Delta IMO = \Delta IAO$ $\Delta IMO = \Delta IAO$ (c.g.c) $\Rightarrow \widehat {IOM} = \widehat {OIA}$ $\Rightarrow \widehat {IOM} = \widehat {OIA}$, $\widehat {OIA} = {135^0}$ $\widehat {OIA} = {135^0}$, OA cố định. Do đó I thuộc cung chứa góc 135⁰ dựng trên đoạn thẳng OA.

b) Giới hạn:

$M \to A$ $M \to A$ thì $I \to A$ $I \to A$. Khi $M \to C$ $M \to C$ thì $I \to O$ $I \to O$. Khi $M \to D$ $M \to D$ thì $I \to O$ $I \to O$.

Vậy M chuyển động trên hai cung chứa góc 135⁰ dựng trên đoạn thẳng OA.

c) Phần đảo: Lấy điểm Ibất kỳ trên cung chứa góc 135⁰dựng trên đoạn $OA \Rightarrow \widehat {OIA} = {135^0}$ $OA \Rightarrow \widehat {OIA} = {135^0}$. Vẽ tia $OM,M \in \left( O \right)$ $OM,M \in \left( O \right)$ sao cho OI là tia phân giác của $\widehat {AOM}$ $\widehat {AOM}$.

Xét tam giác IMO và tam giác IAO có $OM = OA = R,\widehat {IOM} = \widehat {IOA}$ $OM = OA = R,\widehat {IOM} = \widehat {IOA}$, (cạnh chung).

Do đó $\Delta IMO = \Delta IAO$ $\Delta IMO = \Delta IAO$ (c.g.c), suy ra $\widehat {OIM} = \widehat {OIA} = {135^0}$ $\widehat {OIM} = \widehat {OIA} = {135^0}$.

Xét tam giác IMO có $\widehat {IMO} + \widehat {IOM} = {180^0} - \widehat {OIM} = {45^0}$ $\widehat {IMO} + \widehat {IOM} = {180^0} - \widehat {OIM} = {45^0}$ $\Rightarrow \widehat {HOM} + 2.\widehat {IOM} = {90^0}$ $\Rightarrow \widehat {HOM} + 2.\widehat {IOM} = {90^0}$

$\widehat {HOM} + \widehat {HMO} = {90^0}$ $\widehat {HOM} + \widehat {HMO} = {90^0}$. Do đó $\widehat {HMO} = 2\widehat {IMO}$ $\widehat {HMO} = 2\widehat {IMO}$, suy ra MI là phân giác $\widehat {HMO}$ $\widehat {HMO}$.

Do đó I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác HMO.

Kết luận:

Tập hợp các tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác HMO là cung chứa góc 135⁰ vẽ trên đoạn thẳng OA (trừ hai điểm A và O).

Ví dụ 2. Cho điểm A chuyển động trên cung lớn BC cố định của đường tròn (O; R). Tìm tập hợp các tâm I đường tròn nội tiếp trong tam giác ABC.

Hướng dẫn:

Hình vẽ minh họa:

Cách 1. a) Phần thuận:

Cung BC cố định, đặt sđBC = α (không đổi)

${\rm{sd}}\widehat {BAC} = \frac{1}{2}{\rm{sd}}BC = \frac{1}{2}\alpha$ ${\rm{sd}}\widehat {BAC} = \frac{1}{2}{\rm{sd}}BC = \frac{1}{2}\alpha$

(BI là phân giác của $\widehat {ABC}$ $\widehat {ABC}$); $\widehat {IBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}$ $\widehat {IBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}$

(CI là phân giác của $\widehat {ACB}$ $\widehat {ACB}$);

$\widehat {BIC} = {180^0} - \left( {\widehat {IBC} + \widehat {ICB}} \right) = {180^0} - \frac{1}{2}\left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right)$ $\widehat {BIC} = {180^0} - \left( {\widehat {IBC} + \widehat {ICB}} \right) = {180^0} - \frac{1}{2}\left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right)$

$= {90^0} + \frac{1}{2}\widehat {BAC} = {90^0} + \frac{1}{2}\alpha ,$ $= {90^0} + \frac{1}{2}\widehat {BAC} = {90^0} + \frac{1}{2}\alpha ,$BC cố định. Do đó I thuộc cung chứa góc ${90^0} + \frac{1}{2}\alpha$ ${90^0} + \frac{1}{2}\alpha$ dựng trên đoạn thẳng BC.

b) Giới hạn:

Khi $A \equiv B$ $A \equiv B$ thì $I \equiv B$ $I \equiv B$. Khi $A \equiv C$ $A \equiv C$ thì $I \equiv C$ $I \equiv C$.

Vậy I chuyển động trên cung chứa góc ${90^0} + \frac{1}{2}\alpha$ ${90^0} + \frac{1}{2}\alpha$ dựng trên đoạn thẳng BC nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm O.

c) Phần đảo: Lấy điểm Ibất kỳ thuộc cung của cung BC chứa góc ${90^0} + \frac{1}{2}\alpha$ ${90^0} + \frac{1}{2}\alpha$ dựng trên đoạn thẳng BC. Vẽ điểm A trên cung lớn BC của đường tròn (O; R) sao cho BI là phân giác của góc ABC.

$\widehat {BIC} = {90^0} + \frac{1}{2}\alpha ;\widehat {IBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}$ $\widehat {BIC} = {90^0} + \frac{1}{2}\alpha ;\widehat {IBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}$

$\widehat {ICB} = {180^0} - \left( {\widehat {BIC} + \widehat {IBC}} \right)$ $\widehat {ICB} = {180^0} - \left( {\widehat {BIC} + \widehat {IBC}} \right)$ $= {90^0} - \frac{1}{2}\left( {\widehat {BAC} + \widehat {ABC}} \right) = \frac{1}{2}\widehat {ACB} \Rightarrow CI$ $= {90^0} - \frac{1}{2}\left( {\widehat {BAC} + \widehat {ABC}} \right) = \frac{1}{2}\widehat {ACB} \Rightarrow CI$ là phân giác của $\widehat {ACB}$ $\widehat {ACB}$.

Xét tam giác ABC có BI và CI là phân giác => I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

d) Kết luận: Tập hợp các tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là cung chứa góc ${90^0} + \frac{1}{2}\alpha$ ${90^0} + \frac{1}{2}\alpha$ dựng trên đoạn thẳng BC nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm O.

Cách 2.

a) Phần thuận: AIcắt (O)tại D, ta có $\widehat {BAD} = \widehat {DAC}$ $\widehat {BAD} = \widehat {DAC}$ suy ra cung DB = cung CD $\Rightarrow DB = DC$ $\Rightarrow DB = DC$ (không đổi).

$\widehat {BID} = \widehat {ABI} + \widehat {BAI}$ $\widehat {BID} = \widehat {ABI} + \widehat {BAI}$ ( $\widehat {BID}$ $\widehat {BID}$ là góc ngoài của tam giác ABI).

$\widehat {IBD} = \widehat {IBC} + \widehat {CBD};\widehat {BAI} = \widehat {CBD}$ $\widehat {IBD} = \widehat {IBC} + \widehat {CBD};\widehat {BAI} = \widehat {CBD}$ (cung DB = cung DC)

$\widehat {ABI} = \widehat {IBC}$ $\widehat {ABI} = \widehat {IBC}$ (I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC)

Suy ra $\widehat {IBD} = \widehat {BID} \Rightarrow DB = DI$ $\widehat {IBD} = \widehat {BID} \Rightarrow DB = DI$

$DI = DB$ không đổi. D cố định.

Vậy I thuộc đường tròn (D; DB).

b) Giới hạn:

Khi $A \equiv B$ $A \equiv B$ thì $I \equiv B$ $I \equiv B$, Khi $A \equiv C$ $A \equiv C$ thì $I \equiv C$ $I \equiv C$.

Vậy I chuyển động trên cung BC của đường tròn (D; DB).

c) Phần đảo: Lấy điểm I bất kỳ thuộc cung BC của đường tròn (D; DB), ta có

$DI = DB = DC$. $DB = DI \Rightarrow \widehat {IBD} = \widehat {BID}$ $DB = DI \Rightarrow \widehat {IBD} = \widehat {BID}$; DI cắt đường tròn tại $A\left( {A \ne D} \right) \Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {DAC}$ $A\left( {A \ne D} \right) \Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {DAC}$, $\widehat {CBD} = \widehat {DAC}$ $\widehat {CBD} = \widehat {DAC}$. Do đó: $\widehat {BAI} = \widehat {CBD}$ $\widehat {BAI} = \widehat {CBD}$

$\widehat {BID} = \widehat {ABI} + \widehat {BAI};\widehat {IBD} = \widehat {IBC} + \widehat {CBD}$ $\widehat {BID} = \widehat {ABI} + \widehat {BAI};\widehat {IBD} = \widehat {IBC} + \widehat {CBD}$. Suy ra $\widehat {ABI} = \widehat {IBC}$ $\widehat {ABI} = \widehat {IBC}$.

Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

c) Kết luận: Tập hợp các điểm I là cung BC của đường tròn (D; DB) nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm O.

-----------------------------------------------------

Dạng toán tìm tập hợp điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức về quỹ tích mà còn phát triển khả năng phân tích và chứng minh hình học. Việc luyện tập thường xuyên các bài tập từ cơ bản đến nâng cao sẽ giúp các em tự tin xử lý những câu hỏi quỹ tích trong đề thi vào lớp 10 và đạt kết quả cao trong các kỳ thi quan trọng.

Tải về

Chọn file muốn tải về: