Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác lớn nhất, nhỏ nhất

Cách tìm vị trí điểm M để chu vi tam giác nhỏ nhất

Trong các dạng toán hình học nâng cao Toán 9, bài toán tìm vị trí điểm M để chu vi tam giác đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất là chuyên đề thường xuất hiện trong đề thi vào lớp 10. Dạng toán này đòi hỏi học sinh vận dụng linh hoạt kiến thức về bất đẳng thức hình học, đường gấp khúc và phương pháp phản xạ để tìm lời giải tối ưu. 

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Trên tia đối của AM lấy điểm N sao cho MN = MB. Khi đó chu vi tam giác MAB là p = MA + MB + AB = AN + AB.

Do AB không đổi nên chu vi tam giác MAB lớn nhất khi và chỉ khi AN lớn nhất. Tam giác BMN cân tại M và MH là phân giác của góc BMN đồng thời cũng là phân giác ngoài của góc AMB.

Phân giác trong của góc AMB là MI với I là trung điểm cung lớn AB. Suy ra MI⊥MH.

Do đó MH cắt đường tròn (O; R) tại điểm J và Ị là đường kính (O: R).

Tam giác MBN cân tại M và MJ là đường trung trực của BM. Từ đó ta có: JA = JB = JN. Hay điểm N thuộc đường tròn tâm J cố định bán kính JA. Vì AN là dây cung của đường tròn (J) nên AN lớn nhất khi và chỉ khi AN là đường kính (J) hay M≡J

Như vậy chu vi tam giác MAB lớn nhất khi và chỉ khi M trùng với điểm J của cung nhỏ AB.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Gọi E, F lần lượt là các điểm đối xứng của I qua AB, AC. Do tam giác ABC cố định nên E, F cố định.

Ta có:

Chu vi tam giác IMN là:

2p = IM + IN + MN = ME + MN + NF = EF

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi E, M, N, F thẳng hàng. Hay M, N là các giao điểm của EF với các cạnh AB, AC.

Hướng dẫn giải

Ta chứng minh kết quả phụ sau: Cho điểm M cố định. Khi chi vi tứ giác MNEF đạt giá trị nhỏ nhất ta có MNEF là hình bình hành có các cạnh song song với các đường chéo của hình chữ nhật ABCD.

Thật vậy, gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của MN, ME, EF ta có:

 \(IB = \frac{1}{2}MN;IJ = \frac{1}{2}NE;JK = \frac{1}{2}MF;DK = \frac{1}{2}EF\)(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Vậy chu vi tứ giác MNEF: 2p = 2(BI + IJ + JK + KD) ≥ 2BD. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi B, I, J, K, D theo thứ tự nằm trên một đường thẳng d: MF //NE // BD.

Tương tự ta có để chu vi MNEF đạt giá trị nhỏ nhất thì MNEF là hình bình hành có cạnh song song với đường chéo của hình chữ nhật ABCD (kết quả phụ được chứng minh).

Từ chứng minh trên ta thấy, nếu tứ giác MNEF có các cạnh song song với các đường chéo của hình chữ nhật ABCD thì chu vi của nó là p = 2BD = const, không phụ thuộc vào cách lấy điểm M trên cạnh AB.

Vậy chu vi tứ giác MNEF đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2BD khi MNEF là hình bình hành có các cạnh song song với các đường chéo của hình chữ nhật ABCD.

Ta có bài toán tổng quát sau:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Khi đó:

AB + BC + CD + DA ≥ 2(MP + NQ) (*)

Thật vậy: Dựng E đối xứng với B qua P thì tứ giác BCED là hình bình hành ên BC = DE

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

BC+ AD = DE + AD ≥ AE = 2MP

Tương tự AB + CD ≥ 2NQ

Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều ta suy ra điều phải chứng minh.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi AD // BC; AB // CD hay ABCD là hình bình hành.

📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.

-----------------------

FAQ

1. Làm thế nào để tìm vị trí điểm M để chu vi tam giác nhỏ nhất?

2. Khi nào nên áp dụng phương pháp phản xạ trong bài toán cực trị hình học?

3. Dạng toán tìm chu vi tam giác lớn nhất, nhỏ nhất có xuất hiện trong đề thi vào lớp 10 không?

------------------

Nắm chắc phương pháp tìm vị trí điểm M để chu vi tam giác lớn nhất, nhỏ nhất sẽ giúp học sinh xử lý hiệu quả nhiều bài toán cực trị hình học trong chương trình Toán 9 và kỳ thi vào lớp 10. Việc luyện tập thường xuyên các dạng bài nâng cao sẽ góp phần nâng cao tư duy hình học và kỹ năng chứng minh toán học.