Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Ứng dụng hệ thức Viète

Bài tập Toán 9 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập Viète ôn thi vào lớp 10 có đáp án đầy đủ

Hệ thức Viète là công cụ quan trọng giúp giải nhanh nhiều dạng toán phương trình bậc hai trong Toán 9. Bài viết tổng hợp các dạng bài ứng dụng tiêu biểu kèm lời giải chi tiết, phù hợp ôn thi vào lớp 10.

1. Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm số

+ Định lý Viet: nếu $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình: $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$ thì tổng và tích của hai nghiệm là: $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \\ P = x_{1}.x_{2} = \frac{c}{a} \end{matrix} \right.$

2. Giải phương trình bằng phương pháp tính nhẩm nghiệm

Phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ có các hệ số thoả mãn:

+ Trường hợp: thì phương trình có nghiệm $x_{1} = 1;x_{2} = \frac{c}{a}$

+ Trường hợp: thì phương trình có nghiệm $x_{1} = - 1;x_{2} = - \frac{c}{a}$

3. Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm $x_{1};x_{2}$ của phương trình

Để làm dạng toán này các em cần nhớ một số biểu thức sau:

${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2} = S^{2} - 2P$

$\left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}.x_{2} = S^{2} - 4P$

${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{3} - 3x_{1}.x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right) = S^{3} - 3SP$

${x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} = \left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} \right)^{2} - 2{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2} = \left( S^{2} - 2P \right)^{2} - 2P^{2}$

$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{S}{P}$

$\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{S^{2} - 2P}{P}$

4. Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích của hai nghiệm phương trình:

Nếu u và v là hai số cần tìm có $\left\{ \begin{matrix} u + v = S \\ u.v = P \end{matrix} \right.$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình $X^{2} - SX + P = 0$

(Điều kiện để có hai số đó là $S^{2} - 4P \geq 0$ )

5. Bài tập ví dụ minh họa ứng dụng hệ thức Viète

Ví dụ minh hoạ 1: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét hãy tính tổng và tích các nghiệm của mỗi phương trình sau:

a. $3x^{2} - 11x + 4 = 0$ b. $x^{2} - 3\sqrt{7}x + 2\sqrt{3} = 0$

Hướng dẫn giải:

a. Phương trình $3x^{2} - 11x + 4 = 0$ có $\Delta = ( - 11)^{2} - 4.3.4 = 121 - 48 = 73 > 0$ .

Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ .

Theo hệ thức VI ét ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{11}{3} \\ x_{1}.x_{2} = \frac{4}{3} \end{matrix} \right.$ .

b. Phương trình $x^{2} - 3\sqrt{7}x + 2\sqrt{3} = 0$ có $\Delta = \left( - 3\sqrt{7} \right)^{2} - 4.1.2\sqrt{3} = 63 - 8\sqrt{3} > 0$ .

Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ .

Theo hệ thức vi ét ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 3\sqrt{7} \\ x_{1}.x_{2} = 2\sqrt{3} \end{matrix} \right.$ .

Ví dụ minh hoạ 2: a. Chứng tỏ rằng phương trình $7x^{2} - 3x - 54 = 0$ có một nghiệm là 3. Tìm nghiệm còn lại.

b. Cho phương trình $4x^{2} + 3x + m^{2} - 5 = 0$ . Biết phương trình có nghiệm , hãy dùng hệ thức Vi ét để tìm nghiệm còn lại của phương trình, từ đó tính giá trị của m.

Hướng dẫn giải:

a. Thay x = 3 vào phương trình $7x^{2} - 3x - 54 = 0$ được:

$7.3^{2} - 3.3 - 54 = 63 - 9 - 54 = 0$ nên $x_{1} = 3$ là một nghiệm của phương trình.

Theo định lý Vi ét, ta có: $x_{1} + x_{2} = \frac{3}{7} \Rightarrow 3 + x_{2} = \frac{3}{7} \Rightarrow x_{2} = - \frac{18}{7}$ .

b. Phương trình $4x^{2} + 3x + m^{2} - 5 = 0$ có nghiệm .

Áp dụng hệ thức Vi ét ta có:

$x_{1} + x_{2} = \frac{- 3}{4} \Rightarrow - 1 + x_{2} = \frac{- 3}{4} \Rightarrow x_{2} = \frac{1}{4}$

Cũng theo hệ thức Vi ét: $x_{1}.x_{2} = \frac{m^{2} - 5}{4}$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow \frac{1}{4}.( - 1) = \frac{m^{2} - 5}{4} \Leftrightarrow - 1 = m^{2} - 5 \\ \Leftrightarrow m^{2} = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2 \end{matrix}$

Vậy, với hoặc thì phương trình đã cho có nghiệm

Ví dụ minh hoạ 3: Cho phương trình: $3x^{2} + 5x - 6 = 0$ có nghiệm $x_{1};x_{2}$ .

Không tính giá trị của $x_{1};x_{2}$ , hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là u và v. Biết $u = x_{1} + \frac{1}{x_{2}}$ và $v = x_{2} + \frac{1}{x_{1}}$ .

Hướng dẫn giải:

Phương trình: $3x^{2} + 5x - 6 = 0$ có hệ số . Do đó tích nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo Định lý vi ét, ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{5}{3} \\ x_{1}.x_{2} = - 2 \end{matrix} \right.$ . Khi đó:

$\begin{matrix} u + v = x_{1} + \frac{1}{x_{2}} + x_{2} + \frac{1}{x_{1}} \\ = \left( x_{1} + x_{2} \right) + \left( \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} \right) \\ = \left( x_{1} + x_{2} \right) + \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}.x_{2}} = - \frac{5}{3} + \frac{5}{6} = \frac{- 5}{6} \end{matrix}$

$\begin{matrix} u.v = \left( x_{1} + \frac{1}{x_{2}} \right).\left( x_{2} + \frac{1}{x_{1}} \right) = x_{1}.x_{2} + \frac{1}{x_{1}.x_{2}} + 2 \\ = - 2 + \frac{1}{- 2} + 2 = - \frac{1}{2} \end{matrix}$

Vậy, u và v là nghiệm của phương trình: $X^{2} + \frac{5}{6}X - \frac{1}{2} = 0$ .

6. Bài tập vận dụng có hướng dẫn giải chi tiết

Bài 1: Không giải phương trình, hãy dùng hệ thức Vi ét, tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình sau:

a. $2x^{2} + 5x + 3 = 0$ b. $3x^{2} - 11x + 4 = 0$

c. $x^{2} + 2\left( 1 + \sqrt{3} \right)x + \sqrt{3} = 0$ d. $\left( \sqrt{7} - \sqrt{3} \right)x^{2} + 2x + \sqrt{7} + \sqrt{3} = 0$

Bài 2: Dùng điều kiện , hoặc để nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a. $3x^{2} - 4x + 1 = 0$ b. $- 4x^{2} - 3x + 7 = 0$

c. $x^{2} + \left( 1 + \sqrt{5} \right)x + \sqrt{5} = 0$ d. $3x^{2} - \left( 3 + \sqrt{5} \right)x + \sqrt{5} = 0$

e. $\left( \sqrt{3} - 2 \right)x^{2} + 2\sqrt{3}x + \sqrt{3} + 2 = 0$ f. $\left( \sqrt{5} - 2 \right)x^{2} - 10x + 5 + \sqrt{2} = 0$

Bài 3: a. Cho phương trình $2x^{2} + 5x + 2 = 0$ . Biết phương trình có một nghiệm . Sử dụng định lý Vi ét để tìm nghiệm còn lại.

b. Cho phương trình $- 3x^{2} + 5x + 12 = 0$ . Chứng tỏ phương trình có một nghiệm . Sử dụng định lý Vi ét để tìm nghiệm còn lại.

🔍 Để thuận tiện cho việc học tập và lưu trữ, mời bạn tải tài liệu tham khảo bên dưới.

------------------------

Nắm vững ứng dụng hệ thức Viète sẽ giúp bạn xử lý linh hoạt các bài toán phương trình và nâng cao điểm số trong kỳ thi vào lớp 10.

Tải về

Chọn file muốn tải về: