Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Vị trí tương đối của đường thẳng và parabol

Chuyên đề Hàm số ôn thi vào 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Các dạng bài hàm số thường gặp trong đề thi vào lớp 10

Vị trí tương đối của đường thẳng và parabol là dạng toán trọng tâm trong chuyên đề hàm số Toán 9. Bài viết giúp bạn nắm rõ điều kiện giao điểm và phương pháp giải nhanh qua các bài tập bám sát đề thi vào lớp 10.

A. Phương pháp giải

Tìm giao điểm của đường thẳng $y = ax + b(a \neq 0)$ và Parabol $y = Ax^{2}(A \neq 0)$

+ Phương trình hoành độ giao điểm $Ax^{2} = ax + b(*)$

+ Hoành độ giao điểm là nghiệm của .

Số giao điểm bằng số nghiệm của

+ d cắt $(P) \Leftrightarrow (*)$ có hai nghiệm phân biệt.

+ d tiếp xúc $(P) \Leftrightarrow (*)$ có nghiệm kép.

+ d không cắt $(P) \Leftrightarrow (*)$ vô nghiệm.

B. Bài tập minh họa vị trí tương đối của đường thẳng và parabol

Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của Parabol $(P):y = - x^{2}$ và đường thẳng .

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của và :

$- x^{2} = - 6x + 9 \Leftrightarrow x^{2} - 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = 3$

Thay vào phương trình đường thẳng ta được .

Vậy giao điểm của hai đồ thị là .

Ví dụ 2: Tìm tọa độ giao điểm A, B của đồ thị hai hàm số $y = x^{2}$ và . Gọi D, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên trục hoành. Tính diện tích tứ giác ABCD.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình:

$x^{2} = x + 2 \Leftrightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 2 \end{matrix} \right.$

Thay và vào phương trình ta lần lượt được và .

Vậy . Suy ra .

Tứ giác ABCD là hình thang vuông nên có diện tích là:

$S_{ABCD} = \frac{(AD + BC).DC}{2} = \frac{(1 + 4).3}{2} = \frac{15}{2}$

Ví dụ 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng và parabol $(P):y = x^{2}$ .

a) Tìm tọa độ các giao điểm của và .

b) Gọi A, B là hai giao điểm của và . Tính diện tích tam giác OAB.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm của và là: $x^{2} + x - 6 = 0$

$\Delta = 25 > 0$ suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Với thì , suy ra .

Vậy cắt tại 2 điểm phân biệt và .

b) Gọi A',B' lần lượt là hình chiếu của A và B xuống trục hoành.

Ta có:

$S_{\Delta OAB} = S_{AA'B'B} - S_{\Delta OAA'} - S_{\Delta OBB'}$

$A'B' = \left| x_{B'} - x_{A'} \right| = x_{A'} - x_{B'} = 5,AA' = y_{A} = 4,BB' = y_{B} = 9$

Ta có: $S_{AA'B'B} = \frac{AA' + BB'}{2}.A'B' = \frac{9 + 4}{2}.5 = \frac{65}{2}$ (đvdt)

$S_{\Delta OAA'} = \frac{1}{2}AA'.OA' = \frac{1}{2}.4.2 = 4$ (đvdt)

$S_{\Delta OBB'} = \frac{1}{2}BB'.OB' = \frac{1}{2}.9.3 = \frac{27}{2}$ (đvdt)

Vậy diện tích tam giác OAB là:

$S_{\Delta OAB} = S_{AA'B'B} - S_{\Delta OAA'} - S_{\Delta OBB'} = \frac{65}{2} - 4 - \frac{27}{2} = 15$ (đvdt).

Nhận xét:

Nếu tính diện tích tam giác OAB, bằng cách trực tiếp $S_{OAB} = \frac{1}{2}OB.AH$ , trong đó AH là đường cao kẻ từ đỉnh A. Dễ thấy có thể tính được độ dài đoạn OB, nhưng gặp khó khăn trong việc tính đường cao AH. Do vậy, ta nghĩ đến việc tính diện tích tam giác OAB bằng cách gián tiếp như trên.

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol $(P):y = x^{2}$ và đường thẳng

$(d):y = 2(m - 1)x - m^{2} + 3m$ .

a) Với , tìm tọa độ giao điểm của và .

b) Tìm m để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật có diện tích bằng $\frac{7}{4}$ .

Phân tích đề bài

a) Giải phương trình hoành độ giao điểm của và trong trường hợp , từ đó tìm được tọa độ giao điểm của và .

b) Ở câu này ta phải trả lời được hai câu hỏi:

+ Tìm m để cắt tại hai điểm phân biệt.

+ Hoành độ giao điểm lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật có diện tích bằng $\frac{7}{4}$ .

Giả sử cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_{1},x_{2}$ . Theo giả thiết $x_{1},x_{2}$ là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật có diện tích bằng $\frac{7}{4}$ nên $x_{1},x_{2}$ là các số dương và $x_{1}.x_{2} = \frac{7}{4}$ .

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của và :

$x^{2} = 2(m - 1)x - m^{2} + 3m \Leftrightarrow x^{2} - 2(m - 1)x + m^{2} - 3m = 0$ (1)

a) Với thì phương trình (1) trở thành: $x^{2} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 4 \end{matrix} \right.$

Thay lần lượt vào phương trình của parabol $(P):y = x^{2}$ ta được .

Vậy với thì và cắt nhau tại hai điểm phân biệt .

b) Để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật có diện tích bằng $\frac{7}{4}$ thì phương trình (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt $x_{1},x_{2}$ và thỏa mãn $x_{1}.x_{2} = \frac{7}{4}$ .

Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' > 0 \\ x_{1} + x_{2} > 0 \\ x_{1}x_{2} > 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (m - 1)^{2} - \left( m^{2} - 3m \right) > 0 \\ 2(m - 1) > 0 \\ m^{2} - 3m > 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m + 1 > 0 \\ m > 1 \\ m(m - 3) > 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 1 \\ m > 3 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m > 3(*)$

Ta có: $x_{1}.x_{2} = \frac{7}{4} \Leftrightarrow m^{2} - 3m = \frac{7}{4} \Leftrightarrow 4m^{2} - 12m - 7 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = \frac{7}{2}\left( tm(*) \right) \\ m = - \frac{1}{2}\left( ktm(*) \right) \end{matrix} \right.$

Vậy $m = \frac{7}{2}$ là giá trị cần tìm.

C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết

Câu 1: Xác định các hệ số a, b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm và .

Câu 2: Cho parabol $(P):y = x^{2}$ và đường thẳng .

a) Vẽ parabol và đường thẳng trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.

b) Tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng bằng phép tính.

Câu 3: Cho parabol $(P):y = ax^{2}$ . Tìm a biết rằng parabol đi qua điểm . Vẽ với a vừa tìm được.

Câu 4: Cho parabol $(P):y = - x^{2}$ và đường thẳng $(d):y = 2\sqrt{3}x + m + 1$ (m là tham số).

a) Vẽ đồ thị .

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để cắt tại hai điểm phân biệt.

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số k để đường thẳng $d_{1}:y = - x + 3$ cắt đường thẳng $d_{2}:y = x + 2 - k$ tại một điểm nằm trên trục hoành.

Câu 6: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số bậc nhất đồng biến trên.

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

------------------------------------------

Hiểu rõ cách xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và parabol sẽ giúp bạn giải nhanh các bài toán đồ thị và nâng cao điểm số trong kỳ thi vào lớp 10.

Tải về

Chọn file muốn tải về: