Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập Toán 12 Vecto trong không gian Mức độ VD - VDC

Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán - Có đáp án

Trắc nghiệm Toán 12: Vectơ trong không gian (Nâng cao) - Có đáp án

ạn đang tìm kiếm tài liệu luyện tập chuyên sâu phần Vectơ trong không gian lớp 12? Tài liệu Bài tập Toán 12 Vectơ trong không gian Mức độ VD - VDC chính là lựa chọn lý tưởng để bạn ôn luyện và nâng cao kỹ năng giải toán. Tổng hợp các dạng bài từ cơ bản đến vận dụng cao (VD - VDC), tài liệu giúp học sinh nắm chắc kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải đề nhanh, chính xác – đặc biệt quan trọng trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán.
Ngoài việc phân dạng chi tiết, mỗi bài tập đều có lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp học sinh tự học hiệu quả tại nhà. Tài liệu phù hợp cho học sinh lớp 12, học sinh ôn thi đại học và cả giáo viên tham khảo.

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 32 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 32 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Chọn phương án thích hợp

    Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới cùa một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA,EB,EC,ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60{^\circ}. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

    A screenshot of a computerDescription automatically generated

    Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng \overrightarrow{F_{1}},\ \overrightarrow{F_{2}},\ \overrightarrow{F_{3}},\ \overrightarrow{F_{4}} đều có cường độ là 4700N và trọng lượng của khung sắt là 3000N.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi A_{1},\ B_{1},\ C_{1},D_{1} lần lượt là các điểm sao cho \overrightarrow{EA_{1}} = \overrightarrow{F_{1}},\ \overrightarrow{EB_{1}} = \overrightarrow{F_{2}},\ \overrightarrow{EC_{1}} = \overrightarrow{F_{3}},\ \overrightarrow{ED_{1}} = \overrightarrow{F_{4}}.

    Vì EA,EB,EC,ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60^{o} nên EA_{1},EB_{1},EC_{1},ED_{1} có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \left( A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} \right) một góc bằng 60^{o}.

    Vì ABCD là hình chữ nhật nên A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} cũng là hình chữa nhật.

    Gọi O là tâm của hình chữ nhật A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Ta suy ra EO\bot\left( A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} \right).

    Do đó góc giữa đường thẳng EA_{1} và mặt phẳng \left( A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} \right) bằng góc \widehat{EA_{1}O} suy ra \widehat{EA_{1}O} = 60^{o}.

    Ta có \left| \overrightarrow{F_{1}} \right| = \left| \overrightarrow{F_{2}} \right| = \left| \overrightarrow{F_{3}} \right| = \left| \overrightarrow{F_{4}} \right| = 4700N nên EA_{1} = EB_{1} = EC_{1} = ED_{1} = 4700N.

    Tam giác EOA_{1} vuông tại O nên EO = EA_{1}.sin\widehat{EA_{1}O} = 4700.sin60{^\circ} = 2350\sqrt{3}.

    Ta có:

    \overrightarrow {{F_1}} + \,\overrightarrow {{F_2}} + \,\overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}}

    = \overrightarrow {E{A_1}} + \,\overrightarrow {E{B_1}} + \overrightarrow {E{C_1}} + \overrightarrow {E{D_1}}

    = 4\overrightarrow {EO} + \overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{C_1}} + \,\overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{D_1}} = 4\overrightarrow {EO}.

    Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên \overrightarrow{F_{1}} + \ \overrightarrow{F_{2}} + \ \overrightarrow{F_{3}} + \overrightarrow{F_{4}} = \overrightarrow{P}, với \overrightarrow{P} là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.

    Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là: \left| \overrightarrow{P} \right| = 4\left| \overrightarrow{EO} \right| = 4.2350\sqrt{3} = 9400\sqrt{3}N

    Vì trọng lượng của khung sắt là 3000N nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là: 9400\sqrt{3} - 3000 \approx 13281N.

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tính góc giữa hai vecto

    Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính góc \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right).

    Hướng dẫn:

    Gọi M là trung điểm CD.

    Khi đó, \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \left( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} \right).\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CD}

    Do tam giác ACD đều nên AM\bot CD \Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} = 0

    Và tam giác BCD đều nên BM\bot CD \Rightarrow \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{CD} = 0

    Vậy \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \left(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} \right).\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CD} = 0\Rightarrow\overrightarrow{AB}\bot\overrightarrow{CD}.

    Kết luận \left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right) = 90{^\circ}.

  • Câu 3: Vận dụng
    Chọn khẳng định sai

    Cho ba vectơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\overrightarrow{,c} không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Hướng dẫn:

    Các vectơ \overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z} đồng phẳng\Leftrightarrow \exists m,n:\overrightarrow{x} = m\overrightarrow{y} + n\overrightarrow{z}

    Mà : \overrightarrow{x} = m\overrightarrow{y} + n\overrightarrow{z}

    \Leftrightarrow \overrightarrow{a} -2\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c}= m\left( 3\overrightarrow{a}- 3\overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} \right) + n\left(2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} - 3\overrightarrow{c}\right)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3m + 2n = 1 \\ - 3m - 3n = - 2 \\ 2m - 3n = 4 \\ \end{matrix} \right. (hệ vô nghiệm)

    Vậy không tồn tại hai số m,n:\overrightarrow{x} = m\overrightarrow{y} + n\overrightarrow{z}

  • Câu 4: Vận dụng cao
    Tính tỉ số hai cạnh

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Xác định vị trí các điểm M,N lần lượt trên AC và DC' sao cho MN//BD'. Tính tỉ số \frac{MN}{BD'} bằng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{c}.

    Giả sử \overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AC},\overrightarrow{DN} = y\overrightarrow{DC'}.

    Dễ dàng có các biểu diễn \overrightarrow{BM} = (1 - x)\overrightarrow{a} + x\overrightarrow{b} và \overrightarrow{BN} = (1 - y)\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + y\overrightarrow{c}.

    Từ đó suy ra \overrightarrow{MN} = (x - y)\overrightarrow{a} + (1 - x)\overrightarrow{b} + y\overrightarrow{c}\ \ (1)

    Để MN//BD' thì \overrightarrow{MN} = z\overrightarrow{BD'} = z\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right)\ \ \ (2)

    Từ (1) và (2) ta có: (x - y)\overrightarrow{a} + (1 - x)\overrightarrow{b} + y\overrightarrow{c}\ \ = z\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right)

    \Leftrightarrow (x - y - z)\overrightarrow{a} + (1 - x - z)\overrightarrow{b} + (y - z)\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - y - z = 0 \\ 1 - x - z = 0 \\ y - z = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \frac{2}{3} \\ y = \frac{1}{3} \\ z = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} \right..

    Vậy các điểm M,N được xác định bởi \overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC},\overrightarrow{DN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{DC'}.

    Ta cũng có \overrightarrow{MN} = z\overrightarrow{BD'} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BD'} \Rightarrow \frac{MN}{BD'} = \frac{1}{3}.

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Chọn khẳng định đúng

    Cho tứ diện ABCD. Gọi E,F là các điểm thỏa nãm \overrightarrow{EA} = k\overrightarrow{EB},\overrightarrow{FD} = k\overrightarrow{FC} còn P,Q,R là các điểm xác định bởi \overrightarrow{PA} = l\overrightarrow{PD},\overrightarrow{QE} = l\overrightarrow{QF},\overrightarrow{RB} = l\overrightarrow{RC}. Chứng minh ba điểm P,Q,R thẳng hàng. Khẳng định nào sau đây là đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EQ}\ \ (1)

    \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PD} + \overrightarrow{DF} + \overrightarrow{FQ}\ \ (2)

    Từ (2) ta có l\overrightarrow{PQ} = l\overrightarrow{PD} + l\overrightarrow{DF} + l\overrightarrow{FQ}\ \ \ \ (3)

    Lấy (1) - (3) theo vế ta có

    (1 - l)\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AE} - l\overrightarrow{DF}

    \Rightarrow \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{1 - l}\overrightarrow{AE} - \frac{l}{1 - l}\overrightarrow{DF}

    Tương tự \overrightarrow{QR} = \frac{1}{1 - l}\overrightarrow{EB} - \frac{l}{1 - l}\overrightarrow{FC}

    Mặt khác \overrightarrow{EA} = k\overrightarrow{EB},\overrightarrow{FD} = k\overrightarrow{FC} nên

    \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{1 -l}\overrightarrow{AE} - \frac{l}{1 - l}\overrightarrow{DF}= \frac{-k}{1 - l}\overrightarrow{EB} - \frac{kl}{1 - l}\overrightarrow{FC} = -k\overrightarrow{QR}

    Vậy P,Q,R thẳng hàng.

  • Câu 6: Vận dụng
    Tính tỉ số hai cạnh

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Một đường thẳng \Delta cắt các đường thẳng AA',BC,C'D' lần lượt tại M,N,P sao cho \overrightarrow{NM} = 2\overrightarrow{NP}. Tính \frac{MA}{MA'}.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Đặt \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}.

    Vì M \in AA' nên \overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{AA'} = k\overrightarrow{c}

    N \in BC \Rightarrow \overrightarrow{BN} = l\overrightarrow{BC} = l\overrightarrow{a}, P \in C'D' \Rightarrow \overrightarrow{C'P} = m\overrightarrow{b}

    Ta có \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM} = - l\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + k\overrightarrow{c}

    \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{C'P} = (1 - l)\overrightarrow{a} + m\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}

    Do \overrightarrow{NM} = 2\overrightarrow{NP} \Rightarrow - l\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + k\overrightarrow{c} = 2\lbrack(1 - l)\overrightarrow{a} + m\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\rbrack

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - l = 2(1 - l) \\ - 1 = 2m \\ k = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow k = 2,m = - \frac{1}{2},l = 2.

    Vậy \frac{MA}{MA'} = 2.

  • Câu 7: Vận dụng
    Chọn khẳng định sai

    Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    “Nếu \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO} thì ABCD là hình thang » Đúng

    Vì \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO} và SC\bot(BIH).

    Vì O,A,C và BIH thẳng hàng nên đặt \overrightarrow{OA} = k\overrightarrow{OC};OB = m\overrightarrow{OD}

    \Rightarrow (k + 1)\overrightarrow{OC} + (m + 1)\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0}.

    Mà \overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD} không cùng phương nên k = - 2 và m = - 2

    \Rightarrow \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = 2 \Rightarrow AB//CD.

    “Nếu ABCD là hình bình hành thì \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO}.“. Đúng.

    Hs tự biến đổi bằng cách chêm điểm O vào vế trái.

    “Nếu ABCD là hình thang thì \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + 2\overrightarrow{SD} = 6\overrightarrow{SO}. ». Sai.

    Vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy là AD,BC thì sẽ sai.

    “Nếu \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO} thì ABCD là hình bình hành ». Đúng.

    Tương tự đáp án A với k = - 1,m = - 1 \Rightarrow O là trung điểm 2 đường chéo.

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Tìm k để các điểm đồng phẳng

    Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M,N,P,Q lần lượt thuộc AB,BC,CD,DA sao cho \overrightarrow{AM} =\frac{1}{3}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BN} =\frac{2}{3}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AQ} =\frac{1}{2}\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DP} =k\overrightarrow{DC}. Hãy xác định k để M,N,P,Q đồng phẳng.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Cách 1.

    Ta có \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BA} = - \frac{1}{3}\overrightarrow{BA}

    \Rightarrow \overrightarrow{BM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BA}.

    Lại có \overrightarrow{BN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} do đó MN//AC.

    Vậy nếu M,N,P,Q đồng phẳng thì (MNPQ) \cap (ACD) = PQ \parallel AC

    \Rightarrow \frac{PC}{PD} = \frac{QA}{QD} = 1 hay \overrightarrow{DP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} \Rightarrow k = \frac{1}{2}.

    Cách 2. Đặt \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{c} thì không khó khăn ta có các biểu diễn

    \overrightarrow{MN} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}, \overrightarrow{MP} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + k\overrightarrow{c}, \overrightarrow{MN} = - \frac{1}{6}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b}

    Các điểm M,N,P,Q đồng phẳng khi và chỉ khi các vec tơ \overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MQ} đồng phẳng \Leftrightarrow \exists x,y:\overrightarrow{MP} = x\overrightarrow{MN} + y\overrightarrow{MQ}

    \Leftrightarrow - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + k\overrightarrow{c} = x\left( - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{c} \right) + y\left( - \frac{1}{6}\overrightarrow{a} - \frac{1}{3}\overrightarrow{b} \right)

    Do các vec tơ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b,}\overrightarrow{c} không đồng phẳng nên điều này tương đương với

    \left\{ \begin{matrix} - \frac{2}{3}x - \frac{1}{6}y = - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{3}y = - \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3}x = k \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = \frac{3}{4},y = 1,k = \frac{1}{2}.

  • Câu 9: Thông hiểu
    Chọn đáp án thích hợp

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD. Khi đó \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} bằng

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB//CD

    Suy ra AM = CN và AM//CN suy ra \overrightarrow{CN} = - \overrightarrow{AM}.

    \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{CN} - \overrightarrow{AN}

    = \overrightarrow{SN} - \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{SN} + \overrightarrow{NA} = \overrightarrow{SA}

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

    Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a,CA = DB = b,AB = DC = c. Gọi S là diện tích toàn phần (tổng diện tích tất cả các mặt). Tính giá trị lớn nhất của \frac{1}{a^{2}b^{2}} + \frac{1}{b^{2}c^{2}} + \frac{1}{c^{2}a^{2}}.

    Hướng dẫn:

    Do tứ diện ABCD có BC = DA = a,CA = DB = b,AB = DC = c nên \Delta BCD = \Delta ADC = \Delta DAB = \Delta CBA.

    Gọi S' là diện tích và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp mỗi mặt đó thì S = 4S' = \frac{abc}{R}, nên bất đẳng thức cần chứng minh:

    \frac{1}{a^{2}b^{2}} + \frac{1}{b^{2}c^{2}} + \frac{1}{c^{2}a^{2}} \leq \frac{9}{S^{2}} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \leq 9R^{2}.

    Theo công thức Leibbnitz:

    Với điểm M bất kì và G là trọng tâm của tam giác ABC thì

    MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}

    = GA^{2} + GB^{2} +BC^{2} + 3MG^{2}

    = \frac{1}{3}\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} + 9MG^{2}\right)

    Cho M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta được:

    9R^{2} = aa^{2} + b^{2} + c^{2} + 9OG^{2} \geq a^{2} + b^{2} + c^{2}.

  • Câu 11: Vận dụng
    Chọn đẳng thức đúng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (\alpha) cắt các cạnh SA,SB,SC,SD lần lượt tại A',B',C',D'.Đẳng thức nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD thì \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = 2\overrightarrow{SO}

    \Leftrightarrow \frac{SA}{SA'}\overrightarrow{SA'} + \frac{SB}{SB'}\overrightarrow{SC'} = \frac{SB}{SB'}\overrightarrow{SB'} + \frac{SC}{SC'}\overrightarrow{SC'}

    Do A',B',C',D' đồng phẳng nên đẳng thức trên \Leftrightarrow \frac{SA}{SA'} + \frac{SC}{SC'} = \frac{SB}{SB'} + \frac{SD}{SD'}.

  • Câu 12: Vận dụng
    Tính diện tích thiết diện

    Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, \widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA} = \alpha. Gọi (\beta) là mặt phẳng đi qua A và các trung điểm của SB,SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (\beta).

    Hướng dẫn:

    Hinh vẽ minh họa

    Gọi B',C' lần lượt là trung điểm của SB,SC. Thiết diện là tam giác AB'C'.

    Theo bài tập 5 thì S_{AB'C'} = \frac{1}{2}\sqrt{AB'^{2}AC'^{2} - \left( \overrightarrow{AB'}.\overrightarrow{AC'} \right)^{2}}

    Ta có \overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{SB'} - \overrightarrow{SA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{SB} - \overrightarrow{SA}

    \Rightarrow AB'^{2} = \frac{1}{4}SB^{2} + SA^{2} - \overrightarrow{SA}\overrightarrow{SB}

    = \frac{a^{2}}{4}(5 - 4cos\alpha).

    Tính tương tự, ta có

    \overrightarrow{AB'}\overrightarrow{AC'} = \frac{a^{2}}{4}(4 - 3cos\alpha).

    Vậy S_{AB'C'} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{a^{4}}{16}(5 - 4cos\alpha)^{2} - \frac{a^{4}}{16}(4 - 3cos\alpha)^{2}}

    = \frac{a^{2}}{8}\sqrt{7cos^{2}\alpha - 16cos\alpha + 9}.

  • Câu 13: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Theo định luật II Newton: Gia tốc của một vật có cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật: \overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}, trong đó \overrightarrow{a} là vectơ gia tốc \left( m/s^{2} \right), \overrightarrow{F} là vectơ lực (N)tác dụng lên vật, m(kg) là khối lượng của vật. Muốn truyền cho quả bóng có khối lượng 0,5\ kg một gia tốc 20\ \ m/s^{2} thì cần một lực đá có độ lớn là bao nhiêu?

    A football ball on a fieldDescription automatically generated

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a} \Rightarrow \left| \overrightarrow{F} \right| = m\left| \overrightarrow{a} \right| = 0,5.20 = 10(N).

    Vậy muốn truyền cho quả bóng có khối lượng 0,5\ kg một gia tốc 20\ \ m/s^{2} thì cần một lực đá có độ lớn là 10(N).

  • Câu 14: Vận dụng
    Tính góc giữa hai đường thẳng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh đều bằng a và các góc \widehat{B'A'D'} = 60^{0},\widehat{B'A'A} = \widehat{D'A'A} = 120^{0}. Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A'D; AC' với B'D.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Đặt \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{A'D'} = \overrightarrow{c}

    Ta có \overrightarrow{A'D} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} nên

    \cos\left( \widehat{AB,A'D} \right) = \left| \cos\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'D} \right) \right|

    = \frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A'D} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|\left| \overrightarrow{A'D} \right|} = \frac{\left| \overrightarrow{a}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right) \right|}{\left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right|}.

    Để ý rằng \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right| = a, \overrightarrow{a}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right) = \frac{a^{2}}{2}.

    Từ đó \cos\left( \widehat{AB,A'D} \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat{(AB,A'D)} = 60^{0}

    Ta có \overrightarrow{AC'} = \overline{b} + \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a},\overrightarrow{B'D} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}, từ đó tính được:

    \overrightarrow{AC'}\overrightarrow{B'D} =\left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}\right)\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right) = 0\Rightarrow \widehat{(AC',B'D)} =90^{0}.

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Tính x; y theo k để ba điểm thẳng hàng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' và các điểm M,N,P xác định bởi

    \overrightarrow{MA} = k\overrightarrow{MB'}(k \neq 0),\overrightarrow{NB} = x\overrightarrow{NC'},\overrightarrow{PC} = y\overrightarrow{PD'}. Hãy tính x,y theo k để ba điểm M,N,P thẳng hàng.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Đặt \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{a},\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{c}.

    Từ giả thiết ta có :

    \overrightarrow{AM} = \frac{k}{k - 1}\left( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right)\ \ \ (1)

    \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{b}+ \frac{x}{x - 1}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \right) (2)

    \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} +\frac{y}{y - 1}\left( \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}\right)(3)

    Từ đó ta có

    \overrightarrow{MN} =\overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM}= \frac{x}{x -1}\overrightarrow{a} - \frac{1}{k - 1}\overrightarrow{b} + \left(\frac{x}{x - 1} - \frac{k}{k - 1} \right)\overrightarrow{c}

    + \left( \frac{x}{x - 1} - \frac{y}{y - 1} \right)\overrightarrow{c}.

    \overrightarrow{MP} =\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AM}= \overrightarrow{a} -(\frac{y}{y - 1} + \frac{1}{k - 1})\overrightarrow{b} + \left(\frac{y}{y - 1} - \frac{k}{k - 1} \right)\overrightarrow{c}

    Ba điểm M,N,P thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại \lambda sao cho \overrightarrow{MN} = \lambda\overrightarrow{MP}\ \ (*).

    Thay các vectơ \overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP} vào (*) và lưu ý \overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c} không đồng phẳng ta tính được x = \frac{1 + k}{1 - k},y = - \frac{1}{k}.

  • Câu 16: Vận dụng
    Chọn kết quả đúng

    Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D', trong đó mặt đáy là hình bình hành với \widehat{DAB} = 120{^\circ}. Biết độ dài các cạnh AB = 25cm,AD = 12cm và AA' = 12cm. Tính \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} \right|.

    Hướng dẫn:

    Theo quy tắc hình hộp, ta có \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'},

    Vậy \left| \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} \right| = \left| \overrightarrow{AC'} \right| = AC'

    Với AC' = \sqrt{AC^{2} + A{A'}^{2}}

    Trong đó: AA' = 12(cm)

    Do tổng hai góc kề của một hình bình hành là 180{^\circ} nên ta có góc \widehat{ABC} = 60{^\circ}

    Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:

    AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2AB.BC.cos\widehat{ABC}

    = 25^{2} + 12^{2} - 2.25.12.cos60{^0} = 469.

    Vậy AC' = \sqrt{AC^{2} + A{A'}^{2}} = \sqrt{469 + 144} = \sqrt{613}(cm).

  • Câu 17: Vận dụng
    Tìm giá trị của k

    Gọi M,\ N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: \overrightarrow{PI} = k\left( \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PD} \right).

    Hướng dẫn:

    Ta có \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PC} = 2\overrightarrow{PM}, \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PD} = 2\overrightarrow{PN}

    nên \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB}\overrightarrow{+ PC} + \overrightarrow{PD} = 2\overrightarrow{PM} + 2\overrightarrow{PN}

    = 2(\overrightarrow{PM} + \overrightarrow{PN}) = 2.2.\overrightarrow{PI} = 4\overrightarrow{PI}

    Vậy k = \frac{1}{4}

  • Câu 18: Vận dụng
    Tính giá trị của k

    Cho hình chóp S.ABC, mặt phẳng (\alpha) cắt các tia SA,SB,SC,SG( G là trọng tâm tam giác ABC) lần lượt tại các điểm A',B',C',G'.Ta có \frac{SA}{SA'} + \frac{SB}{SB'} + \frac{SC}{SC'} = k\frac{SG}{SG'}. Hỏi k bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Do G là trọng tâm của \Delta ABC nên \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}

    \Rightarrow3\overrightarrow{SG} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} +\overrightarrow{SC}

    \begin{matrix} \Leftrightarrow 3\frac{SG}{SG'}\overrightarrow{SG'} = \frac{SA}{SA'}\overrightarrow{SA'} + \frac{SB}{SB'}\overrightarrow{SB'} \\ + \frac{SC}{SC'}\overrightarrow{SC'} \\ \end{matrix}

    Mặt khác A',B',C',G' đồng phẳng nên

    \frac{SA}{SA'} + \frac{SB}{SB'} + \frac{SC}{SC'} = 3\frac{SG}{SG'}.

  • Câu 19: Vận dụng
    Xác định số khẳng định đúng

    Một em nhỏ cân nặng m = 25(kg) trượt trên cầu trượt dài 3,5(m) (như trong hình dưới đây). Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là 30{^\circ}. Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?

    + Với gia tốc rơi tự do \overrightarrow{g} có độ lớn là g = 9,8\left( m/s^{2} \right) thì độ lớn của trọng lực \overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g} tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là 245(N).

    + Góc giữa độ dịch chuyển \overrightarrow{d} so với trọng lực \overrightarrow{P} là 30{^\circ}.

    + Công A(J) sinh bởi một lực \overrightarrow{F} có độ dịch chuyển \overrightarrow{d} được tính bởi công thức A = \left| \overrightarrow{F} \right|.\left| \overrightarrow{d} \right|.cos\left( \overrightarrow{F};\overrightarrow{d} \right) thì công sinh bởi trọng lực \overrightarrow{P} khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là 428,75(J).

    A drawing of a child on a slideDescription automatically generated

    Hướng dẫn:

    » Với gia tốc rơi tự do \overrightarrow{g} có độ lớn là g = 9,8\left( m/s^{2} \right) thì độ lớn của trọng lực \overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g} tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là \left| \overrightarrow{P} \right| = m\left| \overrightarrow{g} \right| = 25.9,8 = 245(N).

    » Em nhỏ trượt từ điểm A tới điểm B nên khi đó góc giữa độ dịch chuyển \overrightarrow{d} so với trọng lực \overrightarrow{P} là \left( \overrightarrow{d,}\overrightarrow{P} \right) = \left( \overrightarrow{AB,}\overrightarrow{P} \right) = 60{^\circ}.

    » Ta có độ lớn của trọng lực \overrightarrow{P} = m\overrightarrow{g} tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là \left| \overrightarrow{P} \right| = m\left| \overrightarrow{g} \right| = 25.9,8 = 245(N) nên công sinh bởi trọng lực \overrightarrow{P} khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là A = \left| \overrightarrow{P} \right|.\left| \overrightarrow{d} \right|.cos\left( \overrightarrow{P,}\overrightarrow{d} \right) = 245.3,5.cos60{^\circ} = 428,75(J).

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

    Cho hình chóp S.ABC có SA = a,SB = b,SC = c. Một mặt phẳng (\alpha) luôn đi qua trọng tâm của tam giác ABC, cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại A',B',C'. Tìm giá trị nhỏ nhất của \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}}.

    Hướng dẫn:

    Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có 3\overrightarrow{SG} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}

    = \frac{SA}{SA'}\overrightarrow{SA'} + \frac{SB}{SB'}\overrightarrow{SB'} + \frac{SC}{SC'}\overrightarrow{SC'}.

    Mà G,A',B',C' đồng phẳng nên \frac{SA}{SA'} +\frac{SB}{SB'} + \frac{SC}{SC'} = 3\Leftrightarrow\frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} =3

    Theo BĐT Cauchy schwarz:

    Ta có \left( \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}} \right)\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) \geq \left( \frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} \right)^{2}

    \Leftrightarrow \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}} \geq \frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.

    Đẳng thức xảy ra khi

    \frac{1}{aSA'} = \frac{1}{bSB'} = \frac{1}{cSC'} kết hợp với \frac{a}{SA'} + \frac{b}{SB'} + \frac{c}{SC'} = 3 ta được;

    SA' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3a},SB' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3b},SC' = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3c}.

    Vậy GTNN của \frac{1}{SA'^{2}} + \frac{1}{SB'^{2}} + \frac{1}{SC'^{2}} là \frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.

  • Câu 21: Vận dụng
    Tìm khẳng định sai

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC'B'. Khẳng định nào sau đây sai ?

    Hướng dẫn:

    “Bốn điểm I, K, C, A đồng phẳng ». Đúng vì \overrightarrow{IK},\overrightarrow{AC} cùng thuộc (B'AC)

    “\overrightarrow{IK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{A'C'}”. Đúng vì \overrightarrow{IK} = \overrightarrow{IB'} +\overrightarrow{B'K}= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right) + \frac{1}{2}\left( - \overrightarrow{a} +\overrightarrow{c} \right)= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right)= \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} =\frac{1}{2}\overrightarrow{A'C'}.

    “Ba vectơ \overrightarrow{BD};\overrightarrow{IK};\overrightarrow{B'C'} không đồng phẳng ». Sai vì \overrightarrow{IK} = \overrightarrow{IB'} +\overrightarrow{B'K}= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} \right) + \frac{1}{2}\left( - \overrightarrow{a} +\overrightarrow{c} \right)= \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{b} +\overrightarrow{c} \right).

    \Rightarrow \overrightarrow{BD} + 2\overrightarrow{IK} = - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{B'C'} \Rightarrow Ba vectơ đồng phẳng.

    ”\overrightarrow{BD} + 2\overrightarrow{IK} = 2\overrightarrow{BC}”. Đúng vì theo câu trên\Rightarrow \overrightarrow{BD} + 2\overrightarrow{IK} = - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{B'C'} = 2\overrightarrow{BC}.

  • Câu 22: Vận dụng
    Tìm khẳng định sai

    Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M,Nsao cho AM = 3MD, BN = 3NC. Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    «Các vectơ \overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MN} đồng phẳng” . Sai vì

    \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \hfill \\ \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BN} \hfill \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \hfill \\ \overrightarrow {3MN} = \overrightarrow {3MD} + 3\overrightarrow {DB} + 3\overrightarrow {BN} \hfill \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow 4\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} - 3\overrightarrow {BD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \mathbf{\Rightarrow} \overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MN} không đồng phẳng.

    « Các vectơ \overrightarrow{MN},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ} đồng phẳng’. Đúng vì \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QN} \hfill \\ \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \hfill \\ \end{gathered} \right.

    \Rightarrow 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {DC} \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {DC} } \right)

    \mathbf{\Rightarrow}\overrightarrow{MN},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ}: đồng phẳng.

    “Các vectơ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{PQ} đồng phẳng”. Đúng. Bằng cách biểu diễn \overrightarrow{PQ} tương tự như trên ta có \overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} \right).

    « Các vectơ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{MN} đồng phẳng”. Đúng. Ta có \overrightarrow{MN} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{DC}.

  • Câu 23: Vận dụng
    Xác định mối liên hệ giữa các hệ số

    Cho hình chóp S.ABC Lấy các điểm A',B',C' lần lượt thuộc các tia SA,SB,SC sao cho SA = a.SA',\ SB = b.SB',\ SC = c.SC', trong đó a,b,c là các số thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa a,b,cđể mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC.

    Hướng dẫn:

    Nếu a = b = c = 1 thì SA = SA',SB = SB',SC = SC' nên (ABC) \equiv (A'B'C').

    Suy ra (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC

    =>a + b + c = 3 là đáp án đúng.

  • Câu 24: Vận dụng
    Chọn kết luận đúng

    Cho tứ diện ABCD, M là một điểm nằm trong tứ diện. Các đường thẳng AM,BM,CM,DM cắt các mặt (BCD),(CDA),(DAB),(ABC) lần lượt tại A',B',C',D'. Mặt phẳng (\alpha) đi qua M và song song với (BCD) lần lượt cắt A'B',A'C',A'D' tại các điểm B_{1},C_{1},D_{1}.Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. Chứng minh M là trọng tâm của tam giác B_{1}C_{1}D_{1}.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Vì M nằm trong tứ diện ABCD nên

    tồn tại x,y,z,t > 0 sao cho x\overrightarrow{MA} + y\overrightarrow{MB} + z\overrightarrow{MC} + t\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0}\ \ \ (1)

    Gọi (\alpha) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (BCD).

    Ta có \left\{ \begin{matrix} (\alpha)//(BCD) \\ (BB'A') \cap (\alpha) = MB_{1} \\ (BB'A') \cap (BCD) = BA' \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow MB_{1}//BA'.

    Do đó \frac{MB_{1}}{BA'} = \frac{MB'}{BB'} \Rightarrow \overrightarrow{MB_{1}} = \frac{MB'}{BB'}\overrightarrow{BA'}\ \ \ (2)

    Trong (1), chiếu các vec tơ lên đường thẳng BB' theo phương (ACD) ta được:

    x\overrightarrow{MB'} + y\overrightarrow{MB} + z\overrightarrow{MB'} + t\overrightarrow{MB'} = \overrightarrow{0} \Rightarrow (x + y + z)\overrightarrow{MB'} + y\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}

    \Rightarrow (x + y + z +t)\overrightarrow{MB'} = y\overrightarrow{BB'}\Rightarrow\frac{MB'}{BB'} = \frac{y}{x + y + z + t}

    Từ (2) suy ra \overrightarrow{MB_{1}} = \frac{y}{x + y + z + t}\overrightarrow{BA'}\ \ \ (3)

    Tương tự ta có \overrightarrow{MC_{1}} = \frac{z}{x + y + z + t}\overrightarrow{CA'}\ \ (4)

    \overrightarrow{MD_{1}} = \frac{z}{x + y + z + t}\overrightarrow{DA'}\ \ (5)

    Mặt khác chiếu các vec tơ trong (1) lên mặt phẳng (BCD) theo phương AA' tì thu được y\overrightarrow{A'B} + z\overrightarrow{A'C} + t\overrightarrow{A'D} = \overrightarrow{0}.

    Vậy từ (3),(4),(5) ta có \overrightarrow{MB_{1}} + \overrightarrow{MC_{1}}+ \overrightarrow{MD_{1}}= \frac{1}{x + y + z + t}\left(y\overrightarrow{BA'} + z\overrightarrow{CA'} +t\overrightarrow{DA'} \right) = \overrightarrow{0}, hay M là trọng tâm của tam giác B_{1}C_{1}D_{1}.

  • Câu 25: Vận dụng
    Tính góc giữa hai đường thẳng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh đều bằng a và các góc \widehat{B'A'D'} = 60^{0},\widehat{B'A'A} = \widehat{D'A'A} = 120^{0}. Tính diện tích các tứ giác A'B'CD và ACC'A'.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có: \overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c},\overrightarrow{B'D} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}

    \Rightarrow \overrightarrow{A'C}.\overrightarrow{B'D} = \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right)\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right) = 0

    \Rightarrow A'C\bot B'D nên S_{A'B'DC} = \frac{1}{2}A'C.B'D.

    Dễ dàng tính được A'C =a\sqrt{2},B'D = a\sqrt{2}

    \Rightarrow S_{A'B'CD} =\frac{1}{2}a\sqrt{2}a.\sqrt{2} = a^{2}

    S_{AA'C'C} = AA'AC\sin\left( \overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AC} \right), AA' = a,Ac = a\sqrt{3}.

    Tính được \sin\left( \overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AC} \right) = \sqrt{1 - cos^{2}\left( \overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AC} \right)} = \frac{\sqrt{6}}{3}

    Vậy S_{AA'C'C} = AA'AC\sin\left( \overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AC} \right) = a.a\sqrt{3}.\frac{\sqrt{6}}{3} = a^{2}\sqrt{2}.

  • Câu 26: Vận dụng
    Xác định vị trí điểm M

    Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của IJ). Xác định vị trí của M để \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} \right| nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} \right| = 4\left| \overrightarrow{MG} \right| nên \left| \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} \right| nhỏ nhất khi M \equiv G.

  • Câu 27: Vận dụng
    Chọn kết quả đúng nhất

    Cho tam giác ABC, thì công thức tính diện tích nào sau đây là đúng nhất.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    S_{ABC} = \frac{1}{2}ABAC\sin A = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AB^{2}sin^{2}A}

    = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AC^{2}\left( 1 - cos^{2}A \right)}

    = \frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}AC^{2} - \left( \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} \right)^{2}}.

  • Câu 28: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{u},\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{v}, \overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{x}, \overrightarrow{DB'} = \overrightarrow{y}. Khẳng định nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta phân tích:

    \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} =\overrightarrow{AC'} + \overrightarrow{CA'}= \left(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC'} \right) + \left(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AA'} \right) =2\overrightarrow{AA'}.

    \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} =\overrightarrow{BD'} + \overrightarrow{DB'}= \left(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DD'} \right) + \left(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BB'} \right) =2\overrightarrow{BB'} = 2\overrightarrow{AA'}.

    \Rightarrow \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} = 4\overrightarrow{AA'} = - 4\overrightarrow{A'A} = - 4.2\overrightarrow{OI}.

    \Rightarrow 2\overrightarrow{OI} = - \frac{1}{4}\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y} \right).

  • Câu 29: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hình hộp ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}. Chọn khẳng định đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    + \ M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,\ \ AA_{1},DD_{1},CD.

    Ta có CD_{1}//(MNPQ);\ \ AD//(MNPQ);\ \ A_{1}C//(MNPQ)

    \Rightarrow \overrightarrow{CD_{1}},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A_{1}C} đồng phẳng.

  • Câu 30: Thông hiểu
    Chọn đẳng thức đúng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tâm O. Gọi I là tâm hình bình hành ABCD. Đặt \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{u},\overrightarrow{CA'} = \overrightarrow{v}, \overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{x}, \overrightarrow{DB'} = \overrightarrow{y}. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    + Gọi J,\ K lần lượt là trung điểm của AB,\ CD.

    +Ta có: 2\overrightarrow{OI} =\overrightarrow{OJ} + \overrightarrow{OK}= \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA} + \ \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} +\overrightarrow{OD} \right)= - \frac{1}{4}(\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} + \ \overrightarrow{x} +\overrightarrow{y})

  • Câu 31: Vận dụng
    Tìm giá trị của k

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: \overrightarrow{MN} = k\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \right)

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left. \ \begin{matrix} \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} \\ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN} \\ \end{matrix} \right\}

    \Rightarrow 2\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}+ \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{DN} +\overrightarrow{CN}

    Mà M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên

    \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{BM} = - \overrightarrow{MB};\ \ \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{NC} = - \overrightarrow{CN}

    Do đó 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \Rightarrow \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \right).

  • Câu 32: Vận dụng
    Tính góc giữa hai đường thẳng

    Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh đều bằng a và các góc \widehat{B'A'D'} = 60^{0},\widehat{B'A'A} = \widehat{D'A'A} = 120^{0}. Tính góc giữa đường thẳng AC' với các đường thẳng AB,AD,AA'.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    \left( \widehat{AC',AB} \right) = \left( \widehat{AC',AD} \right) = \left( \widehat{AC',AA'} \right) = \arccos\frac{\sqrt{6}}{3}.

0/32
32 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (9%):
    2/3
  • Thông hiểu (69%):
    2/3
  • Vận dụng (22%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
1
99 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Chuyên đề Toán 12
Xem thêm