Cách tìm m để hàm phân thức đơn điệu
Công thức xét đơn điệu hàm phân thức chứa tham số
Bài viết Cách tìm m để hàm phân thức đơn điệu sẽ trình bày hệ thống phương pháp giải khoa học cho hàm phân thức chứa tham số, giúp người học hiểu rõ bản chất và tránh những lỗi sai thường gặp.
A. Phương pháp xét đơn điệu hàm phân thức chứa tham số
Bài toán 1: Tìm tham số m để hàm số nhất biến 
\(y = \frac{ax + b}{cx + d}\) đơn điệu trên tập xác định của nó.
Cách giải:
Bước 1. Tập xác định: \(D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ - \frac{d}{c} \right\} \cdot\) Tính đạo hàm \(y' = \frac{a.d - b.c}{(cx + d)^{2}}
\cdot\)
Bước 2. Ghi điều kiện để hàm đơn điệu. Chẳng hạn:
-
Để
\(f(x)\) đồng biến trên \(D \Rightarrow y' > 0,\ \forall x \in D
\Leftrightarrow a.d - b.c > 0 \Rightarrow m\ ?\) -
Để
\(f(x)\) nghịch biến trên \(D \Rightarrow y' < 0,\ \forall x \in
D \Leftrightarrow ad - bc < 0 \Rightarrow m\ ?\)
Bài toán 2: Tìm tham số m để hàm số nhất biến \(y = \frac{ax + b}{cx + d}\) đồng biến, nghịch biến trên miền cho trước.
Cách giải:
Tìm tập xác định: \(D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ - \frac{d}{c} \right\} \cdot\)và tính \(y' = \frac{a.d - b.c}{(cx + d)^{2}}
\cdot\)
-
Hàm số đồng biến trên
\((x_{0}; +
\infty) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
ad - bc > 0 \\
- \frac{d}{c} \leq x_{0}
\end{matrix} \right.\), trên \(( -
\infty;x_{0}) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
ad - bc > 0 \\
- \frac{d}{c} \geq x_{0}
\end{matrix} \right.\) -
Hàm số nghịch biến trên
\((x_{0}; +
\infty) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
ad - bc < 0 \\
- \frac{d}{c} \leq x_{0}
\end{matrix} \right.\), trên \(( -
\infty;x_{0}) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
ad - bc < 0 \\
- \frac{d}{c} \geq x_{0}
\end{matrix} \right.\) -
Hàm số tăng trên
\((\alpha;\beta)\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
y' > 0 \\
x \neq - \frac{d}{c} \\
x \in (\alpha;\beta)
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
ad - cb > 0 \\
- \frac{d}{c} \notin (\alpha;\beta)
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
ad - cb > 0 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
- \frac{d}{c} \leq \alpha \\
- \frac{d}{c} \geq \beta
\end{matrix} \right.\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow m.\) -
Hàm số giảm trên
\((\alpha;\beta)\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
y' < 0 \\
x \neq - \frac{d}{c} \\
x \in (\alpha;\beta)
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
ad - cb < 0 \\
- \frac{d}{c} \notin (\alpha;\beta)
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
ad - cb < 0 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
- \frac{d}{c} \leq \alpha \\
- \frac{d}{c} \geq \beta
\end{matrix} \right.\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow m.\)
Lưu ý: Khi đặt ẩn phụ cần xét tính đơn điệu của ẩn đặt trên khoảng đang xét.
B. Bài tập minh họa xét sự đơn điệu hàm phân thức chứa tham số
Ví dụ 1: Cho hàm số \(y = \frac{m\cos x +
1}{\cos x - m}\) với m là tham số. Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( \frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}
\right)\).
Hướng dẫn giải
Đặt\(t = \cos x\), với\(x \in \left( \frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2} \right)
\Rightarrow t \in \left( 0;\frac{1}{2} \right)\).
Do hàm số \(y = \cos x\) trên khoảng \(\left( \frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}
\right)\) là hàm số nghịch biến, khi đó bài toán trở thành tìm m để hàm số \(y = f(t) = \frac{mt -
1}{t - m}\) nghịch biến trên khoảng\(\left( 0;\frac{1}{2} \right)\).
Ví dụ 2. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số \(y = \frac{mx - 3}{2x - m}\) đồng biến trên từng khoảng xác định.
A. \(\left( - \sqrt{6};6
\right\rbrack\). B. \(\lbrack -
6;6\rbrack\). C. \(\left\lbrack -
\sqrt{6};\sqrt{6} \right)\). D. \(\left( - \sqrt{6};\sqrt{6} \right)\).
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có:
\(y = \frac{mx - 3}{2x - m} \Rightarrow
y' = \frac{- m^{2} + 6}{(2x - m)^{2}}\).
Theo yêu cầu bài toán: \(y' >
0,\forall x \in D \Leftrightarrow - m^{2} + 6 > 0 \Leftrightarrow -
\sqrt{6} < m < \sqrt{6}\).
Ví dụ 3. Giá trị của m để hàm số \(y = \frac{3x + 4}{x + m}\) nghịch biến trên \(( - \infty;1)\) là.
A. \(- 2 < m \leq - 1\). B. \(- 2 < m < 2\). C. \(- 2 \leq m \leq 2\). D. \(- 2 \leq m \leq 1\).
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có: \(y = \frac{3x + 4}{x + m}
\Rightarrow y' = \frac{m^{2} - 4}{(x + m)^{2}};(x \neq -
m)\)
Hàm số nghịch biến trên \(( - \infty;\
1)\) ⇔ \(y' < 0,\ \forall \in (
- \infty;\ 1)\) ⇔ \(\left\{
\begin{matrix}
m^{2} - 4 < 0 \\
1 \leq - m
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - 2 < m \leq - 1\).
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu!
---------------------------------------------
Việc nắm vững cách tìm tham số m để hàm phân thức đơn điệu sẽ giúp học sinh tự tin xử lý các bài toán từ mức độ cơ bản đến nâng cao. Thông qua quá trình xét tập xác định, tính đạo hàm và phân tích dấu, người học sẽ hình thành tư duy giải toán logic và chính xác.
