Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Thi vào lớp 10 Đề thi vào 10 môn Toán

Các dạng toán rút gọn ôn thi vào lớp 10 có đáp án

Ôn thi vào lớp 10 THPT
Tải về
Lớp: Lớp 9
Môn: Toán
Loại File: Word + PDF
Phân loại: Tài liệu Tính phí

Các dạng toán rút gọn ôn thi vào lớp 10

Các dạng toán rút gọn ôn thi vào lớp 10 được VnDoc sưu tầm và đăng tải xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Các dạng toán rút gọn thường hay xuất hiện trong các đề thi Toán vào lớp 10, vì vậy các em học sinh cần nắm vững các dạng bài tập này. Thông qua tài liệu này sẽ giúp các em củng cố kiến thức, làm quen với các dạng đề thi môn Toán. Tài liệu gồm các bài tập từ cơ bản đến nâng cao, mỗi một câu hỏi sẽ kèm theo đáp án để các em tham khảo, so sánh đánh giá kết quả. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết.

Để chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 sắp tới, các em học sinh cần thực hành luyện đề để làm quen với nhiều dạng đề khác nhau cũng như nắm được cấu trúc đề thi. Chuyên mục Đề thi vào lớp 10 trên VnDoc tổng hợp đề thi của tất cả các môn, là tài liệu phong phú và hữu ích cho các em ôn tập và luyện đề. Mời thầy cô và các em tham khảo.

Bài tập rút gọn biểu thức Ôn thi vào 10

Câu 1: Cho biểu thức P = \left( \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right):\frac{\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{x} + 1}(với x > 0, x \neq1)

a. Rút gọn biểu thức P.

b. Tìm các giá trị của x để P > \frac{1}{2}.

Hướng dẫn giải

a) Thực hiện rút gọn biểu thức như sau:

P = \left( \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right):\frac{\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{x} + 1}

= \left( \frac{1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)} \right).\frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}}{\sqrt{x}}

= \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)}.\frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}}{\sqrt{x}} = \frac{\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)}{\sqrt{x}.\sqrt{x}} = \frac{x - 1}{x}

b) Với x > 0, x \neq1 thì \frac{x - 1}{x} > \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2(x - 1) > x \Leftrightarrow x\ > \ 2.

Vậy với x > 2 thì P > \frac{1}{2}.

Câu 2: Rút gọn biểu thức:

A = \left( \frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x + 4\sqrt{x} + 4} \right).\frac{x + 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}} ( với x > 0, x \neq 4 ).

B = \left( \frac{\sqrt{b}}{a - \sqrt{ab}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{ab} - b} \right).\left( a\sqrt{b} - b\sqrt{a} \right) ( với a > 0, b > 0, a \neqb)

Hướng dẫn giải

Thực hiện thu gọn biểu thức

A = \left( \frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x + 4\sqrt{x} + 4} \right).\frac{x + 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}

= \ \left( \frac{1}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right)} - \frac{1}{(\sqrt{x} + 2)^{2}} \right).\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}\ + \ 2)}{\sqrt{x}}

= \frac{1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{\left( \sqrt{x} + 2 \right) - \left( \sqrt{x} - 2 \right)}{x - 4} = \frac{4}{x - 4}

Ta có:

B = \ \left( \frac{\sqrt{b}}{a - \sqrt{ab}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{ab} - b} \right).\left( a\sqrt{b} - b\sqrt{a} \right)

= \left( \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right)} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right)} \right).\sqrt{ab}\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right)

= \frac{\sqrt{b}.\sqrt{ab}}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}.\sqrt{ab}}{\sqrt{b}} = b - a.\ (a > 0,\ b > 0,\ a \neq b)

Câu 3: Cho biểu thức A = \left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} - \frac{\sqrt{a}}{a - \sqrt{a}} \right):\frac{\sqrt{a} + 1}{a - 1} với a > 0, a \neq 1

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm các giá trị của a để A < 0.

Hướng dẫn giải

a. Thực hiện thu gọn biểu thức A:

\ A = \left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} \right):\frac{\sqrt{a} + 1}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)}

= \left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} - \frac{1}{(\sqrt{a} - 1)} \right).\left( \sqrt{a} - 1 \right) = \sqrt{a} - 1

b) Ta có: A < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a > 0,\ a \neq 1 \\ \sqrt{a} < 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow 0 < a < 1.

Câu 4: Rút gọn biểu thức:

A = \left( \frac{3\sqrt{x} + 6}{x - 4} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \right):\frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3} với x\ \geq \ 0,\ x\ \neq \ 4,\ x\ \neq \ 9.

\ B = \left( \frac{1 - a\sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}}\ + \ \sqrt{a} \right)\left( \frac{1 - \sqrt{a}}{1 - a} \right)^{2} với a ≥ 0 và a ≠ 1.

Hướng dẫn giải

Ta có: A = \left( \frac{3(\sqrt{x} + 2)}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right)} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \right):\frac{\left( \sqrt{x} - 3 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)}{\sqrt{x} - 3}

= \left( \frac{3 + \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \right).\frac{1}{\sqrt{x} + 3} = \frac{1}{\sqrt{x} - 2}, với x \geq 0,\ x \neq 4,\ x \neq 9.

Ta có: \ B\ = \left\lbrack \frac{\left( 1 - \sqrt{a} \right)\ \left( 1 + \sqrt{a} + a \right)}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a} \right\rbrack\left\lbrack \frac{1 - \sqrt{a}}{\left( 1 - \sqrt{a} \right)\ \left( 1 + \sqrt{a} \right)} \right\rbrack^{2}

= \left( 1 + 2\sqrt{a} + a \right).\frac{1}{\left( 1 + \sqrt{a} \right)^{2}} = \left( 1 + \sqrt{a} \right)^{2}.\frac{1}{\left( 1 + \sqrt{a} \right)^{2}} = 1.

Câu 5: Cho biểu thức: P = \left( \frac{a\sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}} - \frac{a\sqrt{a} + 1}{a + \sqrt{a}} \right):\frac{a + 2}{a - 2} với a > 0, a ≠ 1, a ≠ 2.

a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: a ≥ 0, a ≠ 1, a ≠ 2

Ta có: P = \left\lbrack \frac{\left( \sqrt{a} - 1 \right)\ \left( a + \sqrt{a} + 1 \right)}{\sqrt{a}\left( \sqrt{a} - 1 \right)} - \frac{\left( \sqrt{a} + 1 \right)\ \left( a - \sqrt{a} + 1 \right)}{\sqrt{a}\left( \sqrt{a} + 1 \right)} \right\rbrack:\frac{a + 2}{a - 2}

\ = \frac{a + \sqrt{a} + 1 - a + \sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}}:\frac{a + 2}{a - 2} = \frac{2(a - 2)}{a + 2}

b) Ta có: P = \frac{2a - 4}{a + 2} = \frac{2a + 4 - 8}{a + 2} = 2 - \frac{8}{a + 2}

P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi 8 \vdots (a + 2)

\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a + 2 = \pm 1 \\ a + 2 = \pm 2 \\ a + 2 = \pm 4 \\ a + 2 = \pm 8 \\ \end{matrix} \right.\ \ \Leftrightarrow \ \left\lbrack \begin{matrix} a = - \ 1;\ a = - 3 \\ a = 0;\ a = - 4 \\ a = 2;\ a = - 6 \\ a = 6;\ a = - 10 \\ \end{matrix} \right.

Câu 6: Cho biểu thức A = \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x^{2} - x}

a. Rút gọn biểu thức A.

b. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a. ĐK: x ≠ 0 và x ≠ 1

A=\frac{x - 1 + 2x\ + 1}{x(x - 1)}=\frac{3x}{x(x - 1)} = \frac{3}{x - 1} với x ≠ 0 và x ≠ 1

b. Để A có giá trị nguyên khi x – 1 là ước của 3.

\left\{ \begin{matrix} x - 1 = - 3 \Rightarrow x = - 2 \\ x–1 = - 1 \Rightarrow \ x = 0(L) \\ x–1 = 1\ \Rightarrow x = 2 \\ \ x–1 = 3\ \Rightarrow x\ = 4 \\ \end{matrix} \right.

Vậy biểu thức A có giá trị nguyên khi x = - 2; x = 2 hoặc x = 4

Câu 7: Cho M = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{x - \sqrt{x}} \right):\left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{x - 1} \right) với x > 0,\ \ x \neq 1.

a) Rút gọn M.

b) Tìm x sao cho M > 0.

Hướng dẫn giải

a) M = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{x - \sqrt{x}} \right):\left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{x - 1} \right)

= \left\lbrack \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} \right\rbrack:\left\lbrack \frac{\sqrt{x} - 1}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 1 \right)} + \frac{2}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 1 \right)} \right\rbrack

= \frac{x - 1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)}:\frac{\sqrt{x} + 1}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 1 \right)} = \frac{x - 1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)}.\frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 1 \right)}{\sqrt{x} + 1}

= \frac{x - 1}{\sqrt{x}}.

b) M > 0 \Leftrightarrow x - 1 > 0 (vì x > 0 nên \sqrt{x} > 0) \Leftrightarrow x > 1. (thoả mãn)

Câu 8: Cho biểu thức: K = \frac{x}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2x - \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}} với x >0 và x\neq1

Rút gọn biểu thức K

Tìm giá trị của biểu thức K tại x = 4 + 2\sqrt{3}

Hướng dẫn giải

a) K = \frac{x}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x}(2\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} = \frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \sqrt{x} - 1

b) Khi x = 4 + 2\sqrt{3}, ta có: K = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - 1 = \sqrt{\left( \sqrt{3} + 1 \right)^{2}} - 1 = \sqrt{3} + 1 - 1 = \sqrt{3}

Câu 9: Rút gọn biểu thức: B = \left( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right):\left( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} + \frac{1 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x}} \right) với x > 0,\ \ x \neq 1.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{matrix} B = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x }}:\dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) + 1 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}\hfill \\ = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x }} \cdot \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{x - 1 + 1 - \sqrt x }}{\text{ }} \hfill \\ \,\, = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x {\text{ }}}} \hfill \\ \end{matrix}

Câu 10: Cho biểu thức: P = \left( \frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{a}} \right)\left( \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} - \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} \right)với a > 0, a ≠ 1

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm a để P > - 2

Hướng dẫn giải

a) P = \frac{a - 1}{2\sqrt{a}}.\frac{\left( a - \sqrt{a} \right)\left( \sqrt{a} - 1 \right) - \left( a + \sqrt{a} \right)\left( \sqrt{a} + 1 \right)}{\left( \sqrt{a} + 1 \right)\left( \sqrt{a} - 1 \right)}

= \frac{(a - 1)\left( a\sqrt{a} - a - a + \sqrt{a} - a\sqrt{a} - a - a - \sqrt{a} \right)}{2\sqrt{a}(a - 1)} = \frac{- 4\sqrt{a}.\sqrt{a}}{2\sqrt{a}} = - 2\sqrt{a}.

Vậy P = - 2\sqrt{a}.

b) Ta có: P \geq - 2 \Leftrightarrow- 2\sqrt{a} > - 2 \Leftrightarrow \sqrt{a} < 1 \Leftrightarrow 0 < a < 1

Kết hợp với điều kiện để P có nghĩa, ta có: 0 < a < 1

Vậy P > -2 \sqrt{a} khi và chỉ khi 0 < a < 1.

Câu 11: Rút gọn biểu thức B = \left( 1 + \frac{x + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} \right)\left( 1 + \frac{x - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}} \right) với 0 \leq x \neq 1.

Đáp án

Ta có:

B = \left( 1 + \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 1 \right)}{1 + \sqrt{x}} \right)\left( 1 + \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)}{1 - \sqrt{x}} \right)

= \left( 1 + \sqrt{x} \right)\left( 1 - \sqrt{x} \right) = 1 - x.

Câu 12: Cho biểu thức A = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{x - \sqrt{x}} \right):\left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{x - 1} \right) với a > 0, a ≠ 1

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của A khi x = 2\sqrt{2} + 3.

Đáp án:

a) Ta có A = \left( \frac{x - 1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)} \right):\left( \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} \right) = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}.\frac{x - 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{x - 1}{\sqrt{x}}.

b) Biến đổi: x = 2\sqrt{2} + 3 \Leftrightarrow x = \left( \sqrt{2} + 1 \right)^{2}

\Leftrightarrow \sqrt{x} = \sqrt{2} + 1 nên A = \frac{2\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2} + 1} = 2.

Câu 13: Cho biểu thức P = \left( \frac{1}{x + \sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \right):\frac{\sqrt{x}}{x + 2\sqrt{x} + 1} với x > 0.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm các giá trị của x để P > \frac{1}{2}.

Đáp án:

a) Ta có:

\ P = \left( \frac{1}{x + \sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \right):\frac{\sqrt{x}}{x + 2\sqrt{x} + 1}

= \left( \frac{1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 1 \right)} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 1 \right)} \right).\frac{\left( \sqrt{x} + 1 \right)^{2}}{\sqrt{x}}

= \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 1 \right)}.\frac{\left( \sqrt{x} + 1 \right)^{2}}{\sqrt{x}} = \frac{\left( 1 - \sqrt{x} \right)\left( \sqrt{x} + 1 \right)}{\sqrt{x}.\sqrt{x}} = \frac{1 - x\ }{x}.

b) Với x > 0 thì \frac{1\ - \ x}{x} > \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2(1\ - \ x) > x \Leftrightarrow - 3x\ > \ - \ 2 \Leftrightarrow x\ < \ \frac{2}{3}.

Vậy với 0 < x\ < \ \frac{2}{3} thì P > \frac{1}{2}.

Câu 14: Cho biểu thức A = \left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a}}{a + \sqrt{a}} \right):\frac{\sqrt{a} - 1}{a - 1} với a > 0, a \neq 1.

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm các giá trị của a để A < 0.

Đáp án:

a) Ta có:

\ A = \left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)} \right):\frac{\sqrt{a} - 1}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)} = \left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} - \frac{1}{\sqrt{a} + 1} \right).\left( \sqrt{a} + 1 \right) = \sqrt{a} - 1

b) A < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a > 0,\ a \neq 1 \\ \sqrt{a} < 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow 0 < a < 1.

Câu 15: Cho biểu thức P = \left( \frac{1}{\sqrt{a} - 3} + \frac{1}{\sqrt{a} + 3} \right)\left( 1 - \frac{3}{\sqrt{a}} \right) với a > 0 và a \neq 9.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm các giá trị của a để P > \frac{1}{2}.

Đáp án:

a) Ta có:

P = \left( \frac{1}{\sqrt{a} - 3} + \frac{1}{\sqrt{a} + 3} \right).\left( 1 - \frac{3}{\sqrt{a}} \right) = \frac{\sqrt{a} + 3 + \sqrt{a} - 3}{\left( \sqrt{a} - 3 \right)\left( \sqrt{a} + 3 \right)}.\frac{\sqrt{a} - 3}{\sqrt{a}}.

= \frac{2\sqrt{a}.(\sqrt{a} - 3)}{(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3).\sqrt{a}} = \frac{2}{\sqrt{a} + 3}.

Vậy P = \frac{2}{\sqrt{a} + 3}.

b) Ta có: \frac{2}{\sqrt{a} + 3} > \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt{a} + 3 < 4 \Leftrightarrow \sqrt{a} < 1 \Leftrightarrow 0 < a < 1..

Vậy P > \frac{1}{2} khi và chỉ khi 0 < a < 1.

Câu 16: Cho biểu thức A =\left( 1 - \frac{2\sqrt{a}}{a + 1} \right):\left( \frac{1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{2\sqrt{a}}{a\sqrt{a} + \sqrt{a} + a + 1} \right)với a > 0, a ≠ 1

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của A khi a = 2017 - 2\sqrt{2016}.

Đáp án:

a) A = \left( \frac{a + 1 - 2\sqrt{a}}{a + 1} \right):\left\lbrack \frac{1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a + 1) + (a + 1)} \right\rbrack

= \frac{(\sqrt{a} - 1)^{2}}{a + 1}:\left\lbrack \frac{1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{2\sqrt{a}}{(a + 1)(\sqrt{a} + 1)} \right\rbrack = \frac{(\sqrt{a} - 1)^{2}}{a + 1}:\frac{(\sqrt{a} - 1)^{2}}{(\sqrt{a} + 1)(a + 1)}.

= \frac{(\sqrt{a} - 1)^{2}}{a + 1}.\frac{(a + 1)(\sqrt{a} + 1)}{(\sqrt{a} - 1)^{2}} = \sqrt{a} + 1.

b) a = 2017 - 2\sqrt{2016} = (\sqrt{2016} - 1)^{2} \Rightarrow \sqrt{a} = \sqrt{2016} - 1

Vậy A = \sqrt{2016} =12\sqrt{14}

Câu 17: Cho biểu thức: Q = \left( \frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}} \right)^{2}\left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} \right).

a) Tìm tất cả các giá trị của x để Q có nghĩa. Rút gọn biểu thức Q.

b) Tìm tất cả các giá trị của x để Q = - 3\sqrt{x}- 3.

Đáp án:

ĐKXĐ: x > 0; x \neq 1.

a) Ta có:

Q = \frac{(x - 1)^{2}}{4x}.\frac{(\sqrt{x} + 1)^{2} - (\sqrt{x} - 1)^{2}}{x - 1} = \frac{(x - 1)^{2}.4\sqrt{x}}{4x.(x - 1)} = \frac{x - 1}{\sqrt{x}}.

b) Q = - 3\sqrt{x} - 3 => 4x + 3\sqrt{x} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sqrt{x} = - 1\ \ (loai) \\ \sqrt{x} = \frac{1}{4} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{16} (thỏa mãn)

Câu 18: Cho biểu thức: P = \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 3} + \frac{3 + 7\sqrt{a}}{9 - a} với a > 0, a \neq 9.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm a để P < 1.

Đáp án:

a) Ta có:

P = \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 3} + \frac{- 7\sqrt{a} - 3}{(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)}

= \frac{2\sqrt{a}(\sqrt{a} - 3) +(\sqrt{a} + 1)(\sqrt{a} + 3) - 7\sqrt{a} - 3}{(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} +3)}

= \frac{2a - 6\sqrt{a} + a + 4\sqrt{a} + 3 - 7\sqrt{a} -3}{(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)}

= \frac{3a - 9\sqrt{a}}{(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)} = \frac{3\sqrt{a}(\sqrt{a} - 3)}{(\sqrt{a} - 3)(\sqrt{a} + 3)} = \frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3}

Vậy P = \frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3}.

b) P < 1 \Leftrightarrow \frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} < 1 \Leftrightarrow 3\sqrt{a} < \sqrt{a} + 3

\Leftrightarrow \sqrt{a} < \frac{3}{2} \Leftrightarrow 0 \leq a < \frac{9}{4}.

Câu 19: Cho biểu thức: M = \frac{x^{2} - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{x^{2} + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} + x + 1

Rút gọn biểu thức M với x \geq 0.

Hướng dẫn giải

Ta có:

M = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x^{3}} - 1)}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x^{3}} + 1)}{x - \sqrt{x} + 1}+ x + 1

= \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1)}{x - \sqrt{x} + 1} + x + 1

= \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) - \sqrt{x}(\sqrt{x} + 1) + x + 1

{= x - \sqrt{x} - x - \sqrt{x} + x + 1 }{= x - 2\sqrt{x} + 1 = \left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}}

Câu 20: Cho biểu thức: P = \frac{x^{2} + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} + 1 - \frac{2x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} với x > 0.

a) Rút gọi biểu thức P.

b) Tìm x để P = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

P = \frac{x^{2} + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} + 1 - \frac{2x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}}

= \frac{\sqrt{x}(x\sqrt{x} + 1)}{x - \sqrt{x} + 1} + 1 - \frac{\sqrt{x}\left( 2\sqrt{x} + 1 \right)}{\sqrt{x}}

\begin{matrix} = \sqrt{x}(\sqrt{x} + 1) + 1 - \left( 2\sqrt{x} + 1 \right) \\ = x + \sqrt{x} + 1 - 2\sqrt{x} - 1 = x - \sqrt{x} \end{matrix}

Vậy P = x - \sqrt{x}.

b) P = 0 \Leftrightarrow x - \sqrt{x} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0\ (loai) \\ x = 1\ (tm) \end{matrix} \right.

Vậy x = 1 thì P = 0.

Câu 21: Rút gọn biểu thức: P= \left( \frac{1}{1 - \sqrt{x}} - \frac{1}{1 + \sqrt{x}} \right).\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) với x\neq1 và x >0

Hướng dẫn giải

Ta có:

P = \left( \frac{1}{1 - \sqrt{x}} - \frac{1}{1 + \sqrt{x}} \right).\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} \right)

= \left( \frac{1 + \sqrt{x} - 1 + \sqrt{x}}{1 - x} \right)\left( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} \right) =\frac{2\sqrt{x}}{1 - x}.\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} = \frac{- 2}{1 + \sqrt{x}}

Câu 22: Rút gọn biểu thức: P = \frac{x\sqrt{x} - 3}{x - 2\sqrt{x} - 3} - \frac{2(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} + 1} + \frac{\sqrt{x} + 3}{3 - \sqrt{x}}.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \mathbf{x \geq}\mathbf{0;\ }\mathbf{x \neq}\mathbf{9}

Ta có:

\mathbf{P =}\frac{\mathbf{x}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{x -}\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}\left( \sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3} \right)}{\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{1}}\mathbf{+}\frac{\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{3}}{\mathbf{3}\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{x}}}

\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{x -}\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{2(}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3)}}{\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{1}}\mathbf{-}\frac{\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{3}}{\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3}}

\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3}}{\left( \sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3} \right)\left( \sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{1} \right)}\mathbf{-}\frac{\mathbf{2(}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}}{\left( \sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3} \right)\left( \sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{1} \right)}\mathbf{-}\frac{\left( \sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{3} \right)\left( \sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{1} \right)}{\left( \sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3} \right)\left( \sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{1} \right)}

\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{2(}\mathbf{x -}\mathbf{6}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{9)}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{x +}\mathbf{4}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{3)}}{\left( \sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3} \right)\left( \sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{1} \right)}

\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{x +}\mathbf{12}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{18}\mathbf{- x -}\mathbf{4}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3}}{\left( \sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3} \right)\left( \sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{1} \right)}

\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{x +}\mathbf{8}\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{24}}{\left( \sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3} \right)\left( \sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{1} \right)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}\left( \sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3} \right)\mathbf{+}\mathbf{8}\left( \sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3} \right)}{\left( \sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{-}\mathbf{3} \right)\left( \sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{1} \right)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x +}\mathbf{8}}{\sqrt{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathbf{1}}

Câu 23: Rút gọn biểu thức A= \left( \frac{x\sqrt{x} + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} \right):\left( \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \right) với x > 0 và x ≠ 1

a) Rút gọn A.

b) Tìm giá trị của x để A = 3.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: A = \left( \frac{x\sqrt{x} + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} \right):\left( \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \right)

= \left( \frac{(\sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} - \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} \right):\left( \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \right)

= \left( \frac{x - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} \right):\left( \frac{x - \sqrt{x} + \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \right)

= \frac{x - \sqrt{x} + 1 - x + 1}{\sqrt{x} - 1}:\frac{x}{\sqrt{x} - 1}= \frac{- \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1}:\frac{x}{\sqrt{x} - 1} = \frac{- \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1} \cdot \frac{\sqrt{x} - 1}{x}= \frac{2 - \sqrt{x}}{x}

b) Để A = 3\Leftrightarrow \frac{2 - \sqrt{x}}{x} = 3

\Leftrightarrow 3x + \sqrt{x} - 2 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = \frac{4}{9}

Câu 24: Cho P = \frac{x + 2}{x\sqrt{x} - 1}+ \frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1}

a. Rút gọn P.

b. Chứng minh: P < \frac{1}{3} với x \geq 0 và x \neq1.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: x \geq 0 và x \neq1

P = \frac{x + 2}{x\sqrt{x} - 1}+ \frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}

= \frac{x + 2}{(\sqrt{x})^{3} - 1} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1}

= \frac{x + 2 + (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1) - (x + \sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}

= \frac{x - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1}

b. Với x \geq 0 và x \neq1 . Ta có: P < \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} < \frac{1}{3}

\Leftrightarrow 3\sqrt{x} < x + \sqrt{x} + 1 ; ( v× x + \sqrt{x} + 1 > 0 )

\Leftrightarrow x - 2\sqrt{x} + 1 > 0

\Leftrightarrow (\sqrt{x} - 1)2 > 0. (đúng với x \geq 0 và x \neq1).

Đáp án chi tiết nằm trong file tải, mời bạn đọc tải tài liệu của chúng tôi!

-------------------------------------------------------------

❓ FAQ

1. Rút gọn biểu thức là gì?

Rút gọn biểu thức là quá trình: 👉 Biến đổi biểu thức về dạng đơn giản hơn để dễ tính toán và giải toán.

2. Vì sao dạng toán rút gọn quan trọng trong Toán 9?

Đây là chuyên đề xuất hiện rất nhiều trong:

  • Đề thi vào lớp 10
  • Bài kiểm tra học kỳ
  • Các đề ôn luyện nâng cao

3. Những dạng toán rút gọn thường gặp là gì?

  • Rút gọn căn thức
  • Trục căn thức ở mẫu
  • Phân tích nhân tử
  • Quy đồng biểu thức chứa căn

4. Điều kiện xác định của biểu thức chứa căn là gì?

Biểu thức có căn xác định khi: A ≥ 0 với A là biểu thức dưới dấu căn.

5. Trục căn thức ở mẫu để làm gì?

Giúp:

  • Khử căn ở mẫu số
  • Đưa biểu thức về dạng đơn giản hơn

6. Sai lầm phổ biến khi rút gọn biểu thức là gì?

  • Quên điều kiện xác định
  • Khai căn sai
  • Quy đồng nhầm mẫu

7. Làm sao học tốt chuyên đề rút gọn biểu thức?

  • Nắm chắc hằng đẳng thức
  • Thành thạo biến đổi căn thức
  • Luyện nhiều dạng bài từ cơ bản đến nâng cao

-----------------------------------------

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Các dạng toán rút gọn ôn thi vào lớp 10. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập nhé. Các em có thể tham khảo thêm tài liệu liên quan đến môn Toán: Toán lớp 9, Giải bài tập Toán lớp 9, hoặc các dạng đề Thi vào lớp 10 được cập nhật liên tục trên VnDoc.

Chọn file muốn tải về:

Các dạng toán rút gọn ôn thi vào lớp 10 có đáp án

481,5 KB

  • Tải Các dạng toán rút gọn ôn thi vào lớp 10. doc

    1,2 MB
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
30 lượt tải tài liệu
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
81
64.970 Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
1 Bình luận
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
  • Hai Son
    Hai Son

    hi
    Thích Phản hồi 07/04/23
Tìm bài trong mục này