VnDoc.com

Chuyên đề Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập bất phương trình bậc nhất một ẩn

A. Bất phương trình bậc nhất một ẩn
- 1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn
- 2. Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
B. Các dạng bài tập bất phương trình
C. Bài tập tự rèn luyện

Chuyên đề bất phương trình bậc nhất một ẩn là nội dung quan trọng trong chương trình Toán học lớp 9 và các kỳ thi học sinh giỏi. Việc hiểu rõ khái niệm, giải pháp cứng rắn và biết các dạng bài tập thường gặp sẽ giúp học sinh học hiệu quả và đạt điểm cao. Bài viết này sẽ tổng hợp đầy đủ kiến thức lý thuyết, công thức, cách giải nhanh ví dụ minh họa chi tiết để bạn dễ dàng tiếp cận và ôn luyện.

A. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

1. Khái niệm bất phương trình bậc nhất một ẩn

a. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình dạng $ax + b < 0$ (hoặc $ax + b > 0\ ;\ ax + b \leq 0;\ ax + b \geq 0$ $ax + b > 0\ ;\ ax + b \leq 0;\ ax + b \geq 0$) trong đó $a,b$ là hai số đã cho, $a \neq 0$ $a \neq 0$ được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$.

b. Nghiệm của bất phương trình

Số $x_{0}$ $x_{0}$ là một nghiệm của bất phương trình $A(x) < B(x)$ nếu $A(x_{0}) < B(x_{0})$ $A(x_{0}) < B(x_{0})$ là khẳng định đúng

Giải một bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình đó

2. Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình bậc nhất một ẩn $ax + b < 0$ được giải như sau:

$\begin{matrix} ax + b < 0\ \\ ax < - b \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} ax + b < 0\ \\ ax < - b \\ \end{matrix}$

Nếu $a > 0$ thì $x < - \frac{b}{a}$ $x < - \frac{b}{a}$
Nếu $a < 0$ thì $x > - \frac{b}{a}$ $x > - \frac{b}{a}$

– Các bất phương trình $ax + b > 0,\ ax + b \leq 0,\ ax + b \geq 0$ $ax + b > 0,\ ax + b \leq 0,\ ax + b \geq 0$ được giải tương tự-

- Ta cũng có thể giải được các bất phương trình một ẩn đưa được về dạng $ax + b < 0$, $ax + b > 0,\ ax + b \leq 0,\ ax + b \geq 0$ $ax + b > 0,\ ax + b \leq 0,\ ax + b \geq 0$

B. Các dạng bài tập bất phương trình

Dạng 1: Nhận biết bất phương trình bậc nhất, nghiệm của bất phương trình

Ví dụ 1: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

a) $0x < 0$ b) $3x<0$ c) $x^{3} + 1 \geq 0$ $x^{3} + 1 \geq 0$ d) $- x + 1 \leq 0$ $- x + 1 \leq 0$

e) $a + 2023 > 0$ f) $0x-5<0$ g) $5x - 7 \leq 0$ $5x - 7 \leq 0$ h) $x^{2} + 1 \leq 0$ $x^{2} + 1 \leq 0$

Hướng dẫn giải

Hai bất phương trình $0x < 0$ và $x^{3} + 1 \geq 0$ $x^{3} + 1 \geq 0$ không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình $3x < 0$ có dạng $ax + b < 0$ với $a = 3 \neq 0$ $a = 3 \neq 0$ và $b = 0$ nên nó là bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình $- x + 1 \leq 0$ $- x + 1 \leq 0$ có dạng $ax + b \leq 0$ $ax + b \leq 0$ với $a = - 1 \neq 0$ $a = - 1 \neq 0$ và $b = 1$ nên nó là bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình $a + 2023 > 0$ có dạng $ax + b > 0$ với $a = 1 \neq 0$ $a = 1 \neq 0$ và $b = 2023$, nên nó là bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình $5x - 7 \leq 0$ $5x - 7 \leq 0$ có dạng $ax + b \leq 0$ $ax + b \leq 0$ với $a = 5$ và $b = - 7$, nên nó là bất phương trình bậc nhất một ẩn

Hai bất phương trình $0x - 5 < 0$ và $x^{2} + 1 \leq 0$ $x^{2} + 1 \leq 0$ không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ví dụ 2: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

a) $3x + 16 \leq 0$ $3x + 16 \leq 0$ b) $- 5x + 5 > 0$ c) $x^{2} - 4 > 0$ $x^{2} - 4 > 0$ d) $- 3x < 0$

e) $- 3x + 7 \leq 0$ $- 3x + 7 \leq 0$ f) $4x - \frac{3}{2} > 0$ $4x - \frac{3}{2} > 0$ g) $x^{3} > 0$ $x^{3} > 0$ h) $2x^{2} - 19 \leq 0$ $2x^{2} - 19 \leq 0$

Hướng dẫn giải

a), b), d), e), f) là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$

c), h) không là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$ vì $x^{2} - 4,\ 2x^{2} - 19$ $x^{2} - 4,\ 2x^{2} - 19$ là các đa thức bậc hai.

g) không là là bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$ vì $x^{3}$ $x^{3}$ là một đa thức bậc ba.

Ví dụ 3: Kiểm tra xem giá trị $x = 5$ có phải là nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất sau đây không?

a) $6x - 29 > 0$ b) $11x - 52 > 0$ c) $x - 2 \leq 0$ $x - 2 \leq 0$

Hướng dẫn giải

a) Thay $x = 5$, ta có $6.5 - 29 > 0$ là khẳng định đúng.

Vậy $x = 5$ là nghiệm của bất phương trình $6x - 29 > 0$

b) Thay $x = 5$,ta có $11.5 - 52 > 0$ là khẳng định đúng.

Vậy $x = 5$ là nghiệm của bất phương trình $11x - 52 > 0$

c) Thay $x = 5$, ta có $5 - 2 \leq 0$ $5 - 2 \leq 0$ là khẳng định không đúng

Vậy $x = 5$ là nghiệm của bất phương trình $x - 2 \leq 0$ $x - 2 \leq 0$

Ví dụ 4: Trong hai giá trị $x = 1$ và $x = 2$, giá trị nào là nghiệm của bất phương trình $3x - 4 \leq 0$ $3x - 4 \leq 0$

Hướng dẫn giải

a) Thay $x = 1$ vào bất phương trình, ta được $3.1 - 4 \leq 0$ $3.1 - 4 \leq 0$ là khẳng định đúng.

Vậy $x = 1$là một nghiệm của bất phương trình đã cho

b) Thay $x = 2$ vào bất phương trình, ta được $3.2 - 4 \leq 0$ $3.2 - 4 \leq 0$ là khẳng định sai.

Vậy $x = 2$ không là nghiệm của bất phương trình đã cho

Ví dụ 5: Tìm một số là nghiệm và một số không phải là nghiệm của bất phương trình $4x + 5 > 0$

Hướng dẫn giải

a) Lâý $x = 0$ thay vào bất phương trình đã cho, ta thấy $0.4 + 5 > 0$ là khẳng định đúng.

Vậy $x = 0$ là một nghiệm của bất phương trình đã cho

b) Lấy $x = - 2$ thay vào bất phương trình đã cho, ta thấy $4.( - 2) + 5 > 0$ là khẳng định sai.

Vậy $x = - 2$ không phải là một nghiệm của bất phương trình đã cho

Dạng 2: Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:

a) $- 2x - 4 > 0$ b) $2x + 1 > 0$

d) $- 2x + 3 \leq 0$ $- 2x + 3 \leq 0$ e) $5x - 3 < 0$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $- 2x - 4 > 0$

$- 2x > 0 + 4$ (Công cả hai vế của bất phương trình với $4$)

$x < 4.\left( - \frac{1}{2} \right)$ $x < 4.\left( - \frac{1}{2} \right)$ (Nhân cả hai vế với số âm $- \frac{1}{2}$ $- \frac{1}{2}$ và đổi chiều bất đẳng thức)

$x < - 2$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < - 2$

b) Ta có: $2x + 1 > 0$

$2x > - 1$ (Cộng hai vế với $- 1$)

$2x.\frac{1}{2} > ( - 1).\frac{1}{2}$ $2x.\frac{1}{2} > ( - 1).\frac{1}{2}$ (Nhân hai vế $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$)

$x > - \frac{1}{2}$ $x > - \frac{1}{2}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x > - \frac{1}{2}$ $x > - \frac{1}{2}$

e) Ta có: $5x - 3 < 0$

$5x < 3$ (Cộng hai vế với $3$)

$5x.\frac{1}{5} < 3.\frac{1}{5}$ $5x.\frac{1}{5} < 3.\frac{1}{5}$ (Nhân hai vế với $\frac{1}{5}$ $\frac{1}{5}$)

$x < \frac{3}{5}$ $x < \frac{3}{5}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < \frac{3}{5}$ $x < \frac{3}{5}$

f) Ta có: $- 6x - 2 \geq 0$ $- 6x - 2 \geq 0$

$- 6x \geq 2$ $- 6x \geq 2$ (Cộng hai vế với $2$)

$( - 6x).\left( - \frac{1}{6} \right) \leq 2.\left( - \frac{1}{6} \right)$ $( - 6x).\left( - \frac{1}{6} \right) \leq 2.\left( - \frac{1}{6} \right)$ (Nhân hai vế với $- \frac{1}{6}$ $- \frac{1}{6}$)

$x \leq \frac{1}{3}$ $x \leq \frac{1}{3}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \leq \frac{1}{3}$ $x \leq \frac{1}{3}$

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình:

a) $6x + 5 < 0$ b) $- 2x - 7 > 0$ c) $2x + 5 < 3x - 4$

d) $- 3x + 5 \geq - 4x + 3$ $- 3x + 5 \geq - 4x + 3$ e) $5x + 7 > 8x - 5$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $6x + 5 < 0$

$6x < - 5$

$x < \frac{- 5}{6}$ $x < \frac{- 5}{6}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < \frac{- 5}{6}$ $x < \frac{- 5}{6}$

c) Ta có $2x + 5 < 3x - 4$

$2x - 3x < - 4 - 5$

$- x < - 9$

$x > 9$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x > 9$

e) Ta có: $5x + 7 > 8x - 5$

$5x - 8x > - 5 - 7$

$- 3x > - 12$

$x < 4$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < 4$

b) Ta có: $- 2x - 7 > 0$

$- 2x > 7$

$x < - \frac{7}{2}$ $x < - \frac{7}{2}$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x < - \frac{7}{2}$ $x < - \frac{7}{2}$

d) Ta có:

$- 3x + 5 \geq - 4x + 3$ $- 3x + 5 \geq - 4x + 3$

$- 3x + 4x \geq 3 - 5$ $- 3x + 4x \geq 3 - 5$

$x \geq - 2$ $x \geq - 2$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \geq - 2$ $x \geq - 2$

Ví dụ 3: Giải các bất phương trình:

a) $\frac{5x + 2}{5} < \frac{4x - 3}{4}$ $\frac{5x + 2}{5} < \frac{4x - 3}{4}$ b) $\frac{3(2x + 1)}{20} + 1 < \frac{3x + 13}{10}$ $\frac{3(2x + 1)}{20} + 1 < \frac{3x + 13}{10}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\frac{5x + 2}{5} < \frac{4x - 3}{4}$ $\frac{5x + 2}{5} < \frac{4x - 3}{4}$

$\begin{matrix} \dfrac{{4(5x + 2)}}{{20}} < \dfrac{{5(4x - 3)}}{{20}} \hfill \\ 20x + 8 < 20x - 15 \hfill \\ 20x - 20x < - 8 - 15 \hfill \\ 0x < - 23 \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \dfrac{{4(5x + 2)}}{{20}} < \dfrac{{5(4x - 3)}}{{20}} \hfill \\ 20x + 8 < 20x - 15 \hfill \\ 20x - 20x < - 8 - 15 \hfill \\ 0x < - 23 \hfill \\ \end{matrix}$

Bất phương trình này vô nghiệm

b) Ta có: $\frac{3(2x + 1)}{20} + 1 < \frac{3x + 13}{10}$ $\frac{3(2x + 1)}{20} + 1 < \frac{3x + 13}{10}$

Bất phương trình này có nghiệm bất kì

Ví dụ 4: Tìm nghiệm chung của hai bất phương trình:

$\frac{3x + 17}{10} > \frac{5x + 22}{15}$ $\frac{3x + 17}{10} > \frac{5x + 22}{15}$ (1) và $\frac{x - 4}{30} - 1 > \frac{2x - 7}{24}$ $\frac{x - 4}{30} - 1 > \frac{2x - 7}{24}$ (2)

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{3x + 17}{10} > \frac{5x + 22}{15}$ $\frac{3x + 17}{10} > \frac{5x + 22}{15}$

$\begin{matrix} \dfrac{{3(2x + 1)}}{{20}} + \dfrac{{20}}{{30}} < \dfrac{{2(3x + 13)}}{{20}} \hfill \\ 6x + 3 + 20 < 6x + 26 \hfill \\ 6x - 6x < 26 - 3 - 20 \hfill \\ 0x < 3 \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \dfrac{{3(2x + 1)}}{{20}} + \dfrac{{20}}{{30}} < \dfrac{{2(3x + 13)}}{{20}} \hfill \\ 6x + 3 + 20 < 6x + 26 \hfill \\ 6x - 6x < 26 - 3 - 20 \hfill \\ 0x < 3 \hfill \\ \end{matrix}$

Ta có : $\frac{x - 4}{30} - 1 > \frac{2x - 7}{24}$ $\frac{x - 4}{30} - 1 > \frac{2x - 7}{24}$

$\begin{matrix} \dfrac{{4(x - 4)}}{{120}} - \dfrac{{120}}{{120}} > \dfrac{{5(2x - 7)}}{{120}} \hfill \\ 4x - 16 - 120 > 10x - 35 \hfill \\ 4x - 10x > 16 + 120 - 35 \hfill \\ - 6x > 101 \hfill \\ x < - \dfrac{{101}}{6}{\text{ }}(**) \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \dfrac{{4(x - 4)}}{{120}} - \dfrac{{120}}{{120}} > \dfrac{{5(2x - 7)}}{{120}} \hfill \\ 4x - 16 - 120 > 10x - 35 \hfill \\ 4x - 10x > 16 + 120 - 35 \hfill \\ - 6x > 101 \hfill \\ x < - \dfrac{{101}}{6}{\text{ }}(**) \hfill \\ \end{matrix}$

Từ (*) và (**) suy ra nghiệm chung của hai bất phương trình là $x < - \frac{101}{6}$ $x < - \frac{101}{6}$

Dạng 3: Giải bài toán bằng cách lập bất phương trình

Ví dụ 1: Bạn Thanh có $100$ nghìn đồng. Bạn muốn mua một cái bút giá $18$ nghìn đồng và một số quyển vở, mỗi quyển vở giá $17$ nghìn đồng. Hỏi bạn Thanh mua được nhiều nhất bao nhiêu quyển vở?

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ (quyển) là số vở mà Thanh có thể mua. Theo bài ta ta có bất phương trình

$\begin{matrix} 7x + 18 \leqslant 100 \hfill \\ 7x \leqslant 100 - 18 \hfill \\ x \leqslant 82 \hfill \\ x \leqslant \frac{{82}}{7} \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} 7x + 18 \leqslant 100 \hfill \\ 7x \leqslant 100 - 18 \hfill \\ x \leqslant 82 \hfill \\ x \leqslant \frac{{82}}{7} \hfill \\ \end{matrix}$

Vì số vở là số tự nhiên nên Thanh có thể mua nhiều nhất $11$ quyển vở

Ví dụ 2: Để hưởng ứng phong trào “Trồng cây gây rừng” lớp 9A có kế hoạch trồng ít nhất $1000$ cây xanh. Lớp 9a đã trồng được $540$ cây. Để đạt được kế hoạch đề ra, lớp 9A cần trồng thêm bao nhiêu cây xanh nữa?

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là số cây xanh cần trồng thêm của lớp 9A

Theo đề bài, để lớp 9A đạt được kế hoạch đề ra, ta phải có:

$\begin{matrix} x + 540 \geq 1\ 000 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \geq 1\ 000 - 540 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \geq \ 460 \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} x + 540 \geq 1\ 000 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \geq 1\ 000 - 540 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \geq \ 460 \\ \end{matrix}$

Vậy để đạt được kế hoạch đề ra, lớp 9A phải trồng thêm ít nhất $460$ cây xanh nữa

Ví dụ 3: Trong một kì thi gồm ba môn Toán, Ngữ Văn và Tiếng Anh, điểm số môm Toán và Ngữ văn tính theo hệ số $2$, điểm môn Tiếng Anh tính theo hệ số $1$. Để trúng tuyến, điểm số trung bình của ba môn ít nhất bằng $8$. Bạn Na đã đạt $9,1$ điểm môn Toán, và $6,9$ môn Ngữ Văn. Hãy lập và giải phương trình để tìm điểm số môn Tiếng Anh tối thiểu mà bạn Na phải đạt để trúng tuyển.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là điểm số môn Tiếng Anh của bạn Na

Theo đề bài, để bạn Na trùng tuyển, ta phải có:

$\begin{matrix} \frac{2.9,1 + 2.6,9 + x}{5} \geq 8 \\ 2.9,1 + 2.6,9 + x \geq 40 \\ 18,2 + 13,8 + x \geq 40 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \geq 8 \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \frac{2.9,1 + 2.6,9 + x}{5} \geq 8 \\ 2.9,1 + 2.6,9 + x \geq 40 \\ 18,2 + 13,8 + x \geq 40 \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \geq 8 \\ \end{matrix}$

Vậy để trúng tuyển, bạn Na phải đạt được ít nhất $8$ điểm môn Tiếng Anh

C. Bài tập tự rèn luyện

Bài 1: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

a) $2x - 5 > 0$ b) $3y + 1 \geq 0$ $3y + 1 \geq 0$ c) $0x - 3 < 0$ d) $x^{2} > 0$ $x^{2} > 0$

Bài 2: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

a) $3x - 6 > 0$ b) $- 13x + 20 < 0$ c) $7y \geq 0$ $7y \geq 0$

Bài 3: Kiểm tra xem số nào là nghiệm của mỗi bát phương trình tương ứng sau đây.

a) $x^{2} - 3x + 2 > 0$ $x^{2} - 3x + 2 > 0$ với $x = - 3;\ x = 1,5$ $x = - 3;\ x = 1,5$

b) $2 - 2x < 3x + 1$ với $x = \frac{2}{5};\ x = \frac{1}{5}$ $x = \frac{2}{5};\ x = \frac{1}{5}$

Bài 4: Tìm $x$ sao cho:

a) Giá trị biểu thức $2x + 1$ là số dương

b) Giá trị biểu thức $3x - 5$ là số âm

Bài 5: Giải các bất phương trình sau:

a) $x - 5 \geq 0$ $x - 5 \geq 0$ b) $x +5\leq 0$ $x +5\leq 0$ c) $- 2x - 6 > 0$ d) $4x - 12 < 0$

Bài 6: Giải các bất phương trình sau:

a) $6 < x - 3$ b) $\frac{1}{2}.x > 5$ $\frac{1}{2}.x > 5$ c) $- 8x + 1 \geq 5$ $- 8x + 1 \geq 5$ d) $7 < 2x + 1$

Bài 7: Giải các bất phương trình sau:

a) $x - 7 <2- x$ b) $x + 2 \leq 2 + 3x$ $x + 2 \leq 2 + 3x$ c) $4 + x > 5 - 3x$ d) $- x + 7 \geq x - 3$ $- x + 7 \geq x - 3$

Bài 8: Giải các bất phương trình sau:

a) $3x + 2 > 2x + 3$

b) $5x + 4 < -3x-2$

c) $\frac{2}{3}(2x + 3) < 7 - 4x$ $\frac{2}{3}(2x + 3) < 7 - 4x$

d) $\frac{1}{4}(x - 3) \leq 3 - 2x$ $\frac{1}{4}(x - 3) \leq 3 - 2x$

Bài 9: Tìm nghiệm chung của hai bất phương trình

a) $15x - 4 > 8$ và $7 - 6x > - 20$

b) $\frac{2}{3}x + 5 > 9$ $\frac{2}{3}x + 5 > 9$ và $\frac{x - 18}{7} > 1$ $\frac{x - 18}{7} > 1$

Bài 10: Một ngân hàng đang áp dụng lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn $1$ tháng là $0,4\%$ $0,4\%$. Hỏi nếu muốn có một số tiền lãi hãng tháng ít nhất là $3$ triệu đồng thì số tiền gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu (làm tròn đến triệu đồng)?

Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!

-----------------------------------------------

Qua chuyên đề này, bạn đã có cái nhìn tổng quan và đầy đủ về bất phương trình bậc nhất một ẩn – từ lý thuyết đến bài tập vận dụng. Hãy luyện tập thường xuyên để xây dựng cố định công thức và làm quen với nhiều chủ đề khác nhau. Nếu thấy tài liệu hữu ích, đừng quên chia sẻ và theo dõi website để cập nhật thêm nhiều chuyên đề Toán học hấp dẫn khác.

Tải về

Chọn file muốn tải về: