Giải phương trình nghiệm nguyên bằng delta

Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bằng cách sử dụng tính chất phương trình bậc hai cung cấp cho các em lý thuyết kèm các dạng bài Phương trình nghiệm nguyên, giúp các em dễ dàng vận dụng khi làm các bài tập liên quan. Sau đây mời các bạn tham khảo chi tiết. 

A. Cách giải phương trình nghiệm nguyên bằng Delta

Chú ý: \(\Delta\) là số chính phương chỉ là điều kiện cần nhưng chưa đủ để phương trình có nghiệm nguyên, do đó sau khi tìm được giá trị đó cần thử lại vào phương trình ban đầu.

B. Bài tập giải phương trình nghiệm nguyên bằng delta

Hướng dẫn giải

Ta có: \(x^{2}–(y + 5).x + 5y + 2 = 0\) coi y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x.

Giả sử phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x₁, x₂

Theo định lý Viet, ta có : \(\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = y + 5 \\ x_{1}.x_{2} = 5y + 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5x_{1} + 5x_{2} = 5y + 25 \\ x_{1}.x_{2} = 5y + 2 \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow 5x_{1} + 5x_{2} - x_{1}x_{2} = 23\)

\(\Rightarrow \left( x_{1} - 5 \right)\left( x_{2} - 5 \right) = 2\) mà \(2 = 1.2 = ( - 1).( - 2)\)

\(\left\lbrack \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 13 \\ x_{1} + x_{2} = 7 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y = 8 \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.\)

Thay vào phương trình ta tìm được các cặp số (7; 8); (6; 8); (4; 2); (3; 2) là các nghiệm nguyên của phương trình.

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho viết lại như sau :

\(\left( x^{2} - 2 \right)y^{2} - xy - x^{2} = 0\ \ (2)\)

Do x nguyên nên \(\left( x^{2} - 2 \right) \neq 0\) coi phương tròn (2) là phương trình ẩn y tham số x ta có:

\(\Delta = x^{2} + 4x^{2}\left( x^{2} - 2 \right) = x^{2}\left( 4x^{2} - 7 \right)\)

Để phương trình có nghiệm nguyên thì \(\Delta\) phải là số chính phương.

Xét \(x = 0\) thì từ (1) suy ra y = 0

Xét \(x \neq 0\) thì \(\left( 4x^{2} - 7 \right)\) phải là số chính phương do đó \(4x^{2} - 7 = m^{2}\) với m là số nguyên, ta có:

\((2x - m)(2x + m) = 7\) ta tìm được x = 2 hoặc x = -2

Với x = 2 thay vào (2) ta được \(y^{2} + y + 2 = 0 \Rightarrow y \in \left\{ 1; - 2 \right\}\)

Với x = -2 thay vào (2) ta được: \(y^{2} - y - 2 = 0 \Rightarrow y \in \left\{ - 1;2 \right\}\)

Nghiệm nguyên của phương trình là: \((x;y) = (2;1),(2; - 2),( - 2; - 1),( - 2;2)\)

C. Bài tập vận dụng giải phương trình nghiệm nguyên

Bài 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(x^{2} - y^{2} = xy + 8\).

Bài 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(x^{2} - 2y(x - y) = 2(x + 1)\).

Bài 3. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((x;y)\) thỏa mãn \(2x^{2} + 5y^{2} = 41 + 2xy\).

Bài 4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(x^{2} - xy + y^{2} = 2x - 3y - 2\).

---------------------------------------------

Mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ của chúng tôi!

Kết thúc chuyên đề Giải phương trình nghiệm nguyên bằng delta, hy vọng rằng bạn đã nắm vững cách áp dụng biệt thức Δ để phân tích, biện luận và tìm nghiệm một cách chính xác. Đây là dạng bài quan trọng trong chương trình Toán lớp 9 và thường xuyên xuất hiện trong đề thi vào lớp 10, đòi hỏi học sinh không chỉ hiểu công thức mà còn biết vận dụng linh hoạt vào từng kiểu phương trình.

Việc luyện tập đều đặn với nhiều mức độ bài tập khác nhau sẽ giúp bạn củng cố kỹ năng nhận dạng dạng toán, tránh sai sót khi tính toán delta và rèn tư duy logic. Nếu bạn đang chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh lớp 10, hãy kết hợp chuyên đề này với các nội dung trọng tâm khác như hệ phương trình, phương trình bậc hai, bất phương trình và bài toán thực tế để đạt hiệu quả cao nhất.

Đừng quên theo dõi các bài viết tiếp theo trên website để cập nhật thêm nhiều tài liệu ôn thi Toán 9, bộ bài tập có đáp án chi tiết, cùng nhiều mẹo học tập giúp bạn tự tin chinh phục mọi dạng đề. Chúc bạn học tốt và đạt kết quả thật cao trong kỳ thi sắp tới!