Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp kẹp giữa

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 1

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề Toán 9: Phương trình nghiệm nguyên

A. Ví dụ minh họa giải phương trinh nghiệm nguyên bằng pp kẹp giữa
B. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn chi tiết

Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp kẹp giữa là một kỹ thuật quan trọng trong chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10, thường xuất hiện trong các bài toán phân loại học sinh khá–giỏi. Bài viết trình bày phương pháp kẹp giữa dễ hiểu, kèm bài tập vận dụng có đáp án, giúp học sinh nhanh chóng xác định nghiệm nguyên và tránh sai sót khi làm bài.

A. Ví dụ minh họa giải phương trinh nghiệm nguyên bằng pp kẹp giữa

Ví dụ 1: Tìm tất cả x, y nguyên thỏa mãn : $x^{4} + x^{2} + 1 = y^{2}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$

$= > y^{2} = x^{4} + x^{2} + 1 > x^{4} = \left( x^{2} \right)^{2}$ (1)

Mặt khác $y^{2} = x^{4} + 2x^{2} + 1 - x^{2} = \left( x^{2} + 1 \right)^{2} - x^{2} \leq \left( x^{2} + 1 \right)^{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\left( x^{2} \right)^{2} < y^{2} \leq \left( x^{2} + 1 \right)^{2} = > y^{2} = \left( x^{2} + 1 \right)^{2}$

$= > x^{4} + x^{2} + 1 = x^{4} + 2x^{2} + 1$

$< = > x = 0 = > y^{2} = 1 = > \left\lbrack \begin{matrix} y = 1 \\ y = - 1 \end{matrix} \right.$

Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên : $x^{4} - y^{4} = 3y^{2} + 1$

Hướng dẫn giải

Ta có : $x^{4} = y^{4} + 3y^{2} + 1 = y^{4} + 2y^{2} + 1 + y^{2}$

$= \left( y^{2} + 1 \right)^{2} + y^{2} \geq \left( y^{2} + 1 \right)^{2}$

Mặt khác : $x^{4} = y^{4} + 3y^{2} + 1$

$= y^{4} + 4y^{2} + 4 - y^{2} - 3$

$= \left( y^{2} + 2 \right)^{2} - \left( y^{2} + 3 \right) < \left( y^{2} + 2 \right)^{2}$

Khi đó : $\left( y^{2} + 1 \right)^{2} \leq x^{4} < \left( y^{2} + 2 \right)^{2} = > x^{4} = \left( y^{2} + 1 \right)^{2}$

$x^{4} = y^{4} + 2y^{2} + 1 = > y^{4} + 3y^{2} + 1$

$= y^{4} + 2y^{2} + 1 = > y = 0,x = \pm 1$

Ví dụ 3: Giải phương trình nghiệm nguyên : $x^{3} - y^{3} - 2y^{2} - 3y - 1 = 0$

Hướng dẫn giải

Ta có : $x^{3} = y^{3} + 2y^{2} + 3y + 1 = \left( y^{3} + 3y^{2} + 3y + 1 \right) - y^{2} \leq (y + 1)^{3}$ (1)

Mặt khác : $x^{3} = y^{3} + 2y^{2} + 3y + 1$

$= \left( y^{3} - 3y^{2} + 3y - 1 \right) + 5y^{2} + 2 > (y - 1)^{3}$

Khi đó : $(y - 1)^{3} < x^{3} \leq (y + 1)^{3}$

TH1 : $x^{3} = y^{3} = > \left\lbrack \begin{matrix} y = - 1 \\ y = - \frac{1}{2}(l) \end{matrix} \right.\ = > x = - 1$

TH2 : $x^{3} = (y + 1)^{3} = > y^{2} = 0 = > x = 1$

Ví dụ 4: Giải phương trình nghiệm nguyên : $1 + x + x^{2} + x^{3} = y^{3}$

Hướng dẫn giải

Ta có : $1 + x + x^{2} = \left( x + \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0$

$= > y^{3} = \left( 1 + x + x^{2} \right) + x^{3} > x^{3}$

Mặt khác : $y^{3} = x^{3} + 3x^{2} + 12x + 8 - 5x^{2} - 11x - 7$

$= (x + 2)^{2} - \left( 5x^{2} + 11x + 7 \right) < (x + 2)^{3}$

Khi đó : $x^{3} < y^{3} < (x + 2)^{3} = > y^{3} = (x + 1)^{3}$

$= > \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 1 \end{matrix} \right.\ = > \left\lbrack \begin{matrix} y = 1 \\ y = 0 \end{matrix} \right.$

B. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn chi tiết

Bài tập 1: Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là 1 số chính phương : $x^{4} + 2x^{3} + 2x^{2} + x + 3$ .

Bài tập 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình : $x^{4} + 4x^{3} + 7x^{2} + 6x + 4 = y^{2}$ .

Bài tập 3: Tìm tất cả các số nguyên tố p để tổng tất cả các ước tự nhiên của $p^{4}$ là số chính phương.

Bài tập 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : $y^{2} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4}$ .

Bài tập 5: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : $y^{3} = 1 + x + x^{2} + x^{3}$ .

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1.

Đặt $x^{4} + 2x^{3} + 2x^{2} + x + 3 = y^{2}$

$= > \left( x^{4} + 2x^{3} + x^{2} \right) + \left( x^{2} + x + 3 \right)$

$= \left( x^{2} + x \right)^{2} + \left( x^{2} + x + 3 \right) = y^{2}$

$= > y^{2} > \left( x^{2} + x \right)^{2}$ (1)

Vậy ta cần chứng minh $\left( x^{2} + x \right)^{2} < y^{2} < \left( x^{2} + x + 2 \right)^{2}$

Thật vậy : $y^{2} - \left( x^{2} + x \right)^{2} = x^{2} + x + 3 > 0 = > y^{2} > \left( x^{2} + x \right)^{2}$

$y^{2} = \left( x^{2} + x + 2 \right)^{2} = 3x^{2} + 3x + 1 > 0$

$y^{2} = \left( x^{2} + x + 1 \right)^{2} = > x^{2} + x - 2 = 0 = > \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \end{matrix} \right.$

Bài tập 2.

Ta có: $\left( x^{4} + 4x^{3} + 4x^{2} \right) + \left( 3x^{2} + 6x + 4 \right) = y^{2} > \left( x^{2} + 2x \right)^{2} + 2\left( x^{2} + 2x \right) + 1 + x^{2} + 2x + 3$

$= > y^{2} > \left( x^{2} + 2x + 1 \right)^{2} + \left( x^{2} + 2x + 3 \right)$

Ta cần chứng minh: $y^{2} \leq \left( x^{2} + 2x + 3 \right)^{2}$

Khi đó: $x^{4} + 4x^{3} + 7x^{2} + 6x + 4 \leq x^{4} + 4x^{2} + 9 + 4x^{3} + 12x + 6x^{2}$

Vậy $\left( x^{2} + 2x + 1 \right)^{2} < y^{2} \leq \left( x^{2} + 2x + 3 \right)^{2}$

$= > y^{2} = \left( x^{2} + 2x + 2 \right)^{2}$ hoặc $y^{2} = \left( x^{2} + 2x + 3 \right)^{2}$

🔍 Để thuận tiện cho việc học tập và lưu trữ, mời bạn tải tài liệu tham khảo bên dưới.

------------------------------------------------

Thành thạo phương pháp kẹp giữa trong giải phương trình nghiệm nguyên sẽ giúp học sinh xử lý hiệu quả các bài toán khó và nâng cao điểm số trong kỳ thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: