Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm tham số m để phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dương hoặc cùng âm

Ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Phương trình bậc hai chứa tham số Toán 9 Có đáp án

A. Cách tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương, cùng âm
B. Bài tập minh họa tìm tham số m thỏa mãn điều kiện

Dạng toán tìm tham số m để phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dương hoặc cùng âm xuất hiện thường xuyên trong đề thi vào lớp 10, yêu cầu học sinh nắm chắc điều kiện nghiệm và vận dụng linh hoạt hệ thức Viète.

Bài viết này tổng hợp phương pháp giải nhanh – dễ nhớ, kèm bài tập Toán 9 có đáp án, giúp học sinh ôn tập hiệu quả và tránh sai lầm khi xét dấu nghiệm.

A. Cách tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương, cùng âm

Cho phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$ .

Phương trình bậc hai có hai nghiệm dương khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta > 0;(\Delta' > 0) \\ S = x_{1} + x_{2} > 0 \\ P = x_{1}.x_{2} > 0 \end{matrix} \right.$

Phương trình bậc hai có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta > 0;(\Delta' > 0) \\ S = x_{1} + x_{2} < 0 \\ P = x_{1}.x_{2} > 0 \end{matrix} \right.$

B. Bài tập minh họa tìm tham số m thỏa mãn điều kiện

Bài tập 1. Tìm m để phương trình x² - mx +m + 3 = 0, (với m là tham số) có hai nghiệm dương phân biệt.

A. m > 6. B. m < 6. C. 6 > m > 0. D. m > 0.

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:

$\left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 4(m + 3) > 0 \\ x_{1} + x_{2} = m > 0 \\ x_{1}x_{2} = m + 3 > 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 4m - 12 > 0 \\ m > 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m > 6.$

Vậy với m > 6 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phương phân biệt.

Chọn A

Bài tập 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình (m - 2)x² - 2mx + m + 3 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt.

A. 2 < m < 6. B. m < -6 hoặc 2 < m < 6.

C. m < 0 hoặc -3 < m < 6. D. -3 < m < 6

Hướng dẫn giải

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m - 2 \neq 0 \\ m^{2} - (m - 2)(m + 3) > 0 \\ \frac{2m}{m - 2} > 0 \\ \frac{m + 3}{m - 2} > 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2 < m < 6 \\ m < - \ 3 \end{matrix} \right.\ .$

Vậy để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt thì m thỏa mãn điều kiện m < -6 hoặc 2 < m < 6.

Chọn B

Bài tập 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để x² + 2(m + 1)x + 9m - 5 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt.

A. m < 6. B. $\frac{5}{9} < m < 1$ hoặc m > 6.

C. m > 1. D. 1 < m < 6.

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix} \Delta' > 0 \\ S < 0 \\ P > 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (m + 1)^{2} - (9m - 5) > 0 \\ - \ 2(m + 1) < 0 \\ 9m - 5 > 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 7m + 6 > 0 \\ m > \frac{5}{9} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 6 \\ \frac{5}{9} < m < 1 \end{matrix} \right.\ .$

Vây để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt thì m thỏa mãn điều kiện $\frac{5}{9} < m < 1$ hoặc m > 6.

Chọn B

Bài tập 4. Phương trình x² - (3m - 2)x + 2m² - 5m - 2 = 0 (với m là tham số) có hai nghiệm không âm khi

A. $m \in \left\lbrack \frac{2}{3}; + \ \infty \right).$ B. $m \in \left\lbrack \frac{5 + \sqrt{41}}{4}; + \ \infty \right).$

C. $m \in \left\lbrack \frac{2}{3};\frac{5 + \sqrt{41}}{4} \right\rbrack.$ D. $m \in \left( - \ \infty;\frac{5 - \sqrt{41}}{4} \right\rbrack.$

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho có hai nghiệm không âm khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ S \geq 0 \\ P \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (3m - 2)^{2} - 4\left( 2m^{2} - 5m - 2 \right) > 0 \\ 3m - 2 \geq 0 \\ 2m^{2} - 5m - 2 \geq 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3m - 2 \geq 0 \\ m^{2} + 8m + 12 \geq 0 \\ 2m^{2} - 5m - 2 \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \geq \frac{5 + \sqrt{41}}{4}.$

Vậy với $m \in\left\lbrack \frac{5 + \sqrt{41}}{4}; + \ \infty \right)$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm không âm.

Chọn B.

Bài tập 5. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình $x^{2} + 2(m + 1)x + 2m = 0\ \ (1)$ .

a. Có hai nghiệm trái dấu.

b. Có hai nghiệm cùng âm.

c. Có hai nghiệm cùng nhỏ hơn 3.

Hướng dẫn giải

a. Theo hệ thức Viète ta có: $x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}$ nên phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $\frac{2m}{1} < 0 \Leftrightarrow m < 0$

Vậy với m < 0 thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.

b. Để phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm các điều kiện sau cần phải được thỏa mãn:

$\Delta' = (m + 1)^{2} - 2m > 0 \Leftrightarrow 2m > 0 \Leftrightarrow m > 0$

$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{2m}{1} > 0 \Leftrightarrow m > 0$

$x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = - \frac{2(m + 1)}{1} < 0$

$\Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$

Kết hợp cả ba điều kiện này ta thấy m > 0 thì cả hai nghiệm phương trình (1) đều âm.

c. Để phương trình (1) có hai nghiệm cùng nhỏ hơn 3, các điều kiện sau cần được thỏa mãn:

$\left( x_{1} - 3 \right)\left( x_{2} - 3 \right) > 0 \Leftrightarrow x_{1}x_{2} - 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 9 > 0$

$\Leftrightarrow \frac{2m}{1} - 3\left( \frac{- 2(m + 1)}{1} \right) + 9 > 0$

$\Leftrightarrow 2m + 6m + 6 + 9 > 0$

$\Leftrightarrow m > \frac{15}{8}$

$\left( x_{1} - 3 \right) + \left( x_{2} - 3 \right) < 0 \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} - 6 < 0$

$\Leftrightarrow - \frac{2(m + 1)}{1} - 6 < 0 \Leftrightarrow m > - 4$ .

Kết hợp cả hai điều kiện trên ta có $m > - \frac{15}{8}$ phương trình (1) có hai nghiệm cùng nhỏ hơn 3.

Bài tập 6. Để phương trình $x^{2} - 2(m + 1)x - m^{2} = 0$ (với m là tham số) có hai nghiệm cùng phương thì:

A. $0 < m < \frac{1}{2}$

B. Phương trình không có hai nghiệm cùng dương

C. $m > \frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải

Ta thấy tích của hai hệ số ac của phương trình $x^{2} - 2(m + 1)x - m^{2} = 0$ là:

$- m^{2} < 0$ với mọi giá trị của m, do đó phương trình không thể có hai nghiệm cùng dương.

Chọn đáp án C.

Bài tập 7. Để phương trình $x^{2} - 2(m + 3)x + 6m = 0$ có hai nghiệm cùng âm thì:

A. .

B. $- 3 \leq m \leq 0$

D. Phương trình không có hai nghiệm cùng âm.

Hướng dẫn giải

Để phương trình $x^{2} - 2(m + 3)x + 6m = 0(1)$ có hai nghiệm cùng ầm thì các điều kiện sau đây phải đồng thời được thỏa mãn:

$\Delta' = (m + 3)^{2} - 6m > 0 \Leftrightarrow m^{2} + 9 > 0$ . Điều này đùng với mọi m do đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

$6m > 0 \Leftrightarrow m > 0$

$2(m + 3) < 0 \Leftrightarrow m < - 3$

Từ các giá trị trên của m ta thấy không có giá trị nào của m để phương trình (!) có hai nghiệm cùng âm.

📖 Toàn bộ nội dung, bài tập và lời giải đã được tổng hợp trong tài liệu tải về.

-------------------------------------------

Việc thành thạo cách xét hai nghiệm cùng dương hoặc cùng âm giúp học sinh xử lý nhanh các bài toán phương trình bậc hai có tham số m trong chương trình Toán 9, đặc biệt là các câu hỏi phân loại trong kỳ thi vào lớp 10.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: