Cách giải phương trình √f(x) = g(x)

Trong quá trình ôn thi vào lớp 10 môn Toán, học sinh thường xuyên gặp dạng phương trình chứa căn thức dạng √f(x) = g(x). Đây là một dạng toán quan trọng, yêu cầu học sinh vừa nắm vững điều kiện xác định của căn thức, vừa biết vận dụng kỹ năng biến đổi phương trình để tìm nghiệm. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết phương pháp giải, phân tích ví dụ minh họa kèm lời giải cụ thể, giúp học sinh tự tin xử lý mọi bài tập liên quan đến phương trình căn thức trong kỳ thi.

1. Các bước giải phương trình √f(x) = g(x)

Để giải phương trình √f(x) = g(x) ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Viết điều kiện của phương trình: \(\left\{ \begin{matrix} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \end{matrix} \right.\)

Nếu f(x) có dạng (Ax ± B)² thì chỉ cần điều kiện \(g(x) \geq 0\)

Bước 2: Nhận dạng từng loại từng dạng tương ứng với phương pháp giải sau:

• Trường hợp 1: Nếu f(x) có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)² thì khai căn đưa về phương trình trị tuyệt đối để giải.
• Trường hợp 2: Nếu f(x) = Ax ± B và g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương hai vế.
• Trường hợp 3: Nếu f(x) = Ax² + Bx + C (không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)²) và g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương hai vế.
• Trường hợp 4: Nếu f(x) = Ax² + Bx + C và g(x) = Ex² + Dx + F thì thử phân tích f(x) và g(x) thành nhân tử, nếu chúng có nhân tử chung thì đặt nhân tử chung đưa về phương trình tích.

Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được xem có thỏa mãn điều kiện không, rối kết luận nghiệm.

2. Bài tập ví dụ minh họa giải phương trình căn f(x) = g(x)

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(x - 5 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 5\)

PT ⬄ \(|2x + 3| = x - 5\)

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x + 3 = x - 5 \\ 2x + 3 = - (x - 5) \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 8 \\ x = \frac{2}{3} \end{matrix} \right.\)

Kết hợp điều kiện => Phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Nhận xét: x² – 6x + 9 = (x – 3)² dạng bình phương một hiệu.

Điều kiện: \(x + 7 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - 7\)

\(PT \Leftrightarrow |x - 3| = x + 7\)

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 3 = x + 5 \\ x - 3 = - (x + 5) \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \in \varnothing \\ x = - 1 \end{matrix} \right.\)

Kết hợp điều kiện => Phương trình có nghiệm x = - 1.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(\left\{ \begin{matrix} 2x - 3 \geq 0 \\ x - 1 \geq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq \frac{3}{2} \\ x \geq 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \geq \frac{3}{2}\)

Bình phương hai vế ta có:

\(2x - 3 = x^{2} - 2x + 1 \Leftrightarrow x^{2} - 4x + 4 = 0\)

\(\Leftrightarrow (x - 2)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

Theo điều kiện => Phương trình có nghiệm x = 2.

3. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết

Bài 1: Giải phương trình: \(\sqrt{x^{2} - 5x - 6} = x - 2\).

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt{x^{2} - 8x + 16} = 4 - x\)                              b) \(\sqrt{x^{2} - 2x} = 2 - x\)

-----------------------------------------------------------

Việc nắm vững cách giải phương trình √f(x) = g(x) không chỉ giúp học sinh làm chủ một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán 9 mà còn là nền tảng chắc chắn để đạt điểm số cao trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10. Dạng toán này rèn luyện cho học sinh tư duy logic, khả năng phân tích điều kiện xác định và kỹ năng trình bày lời giải mạch lạc, khoa học.

👉 Để đạt hiệu quả tối đa, học sinh nên:

• Hệ thống lại lý thuyết cơ bản về phương trình chứa căn thức.

• Luyện tập đa dạng các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

• Chú ý kỹ điều kiện xác định để loại bỏ nghiệm ngoại lai.

Nếu kiên trì thực hành, học sinh sẽ tự tin hơn khi bước vào kỳ thi, dễ dàng chinh phục những câu hỏi về phương trình căn thức và đạt kết quả cao.