Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Hình cầu. Công thức tính hình cầu

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Công thức hình cầu

A. Công thức hình cầu
- Diện tích mặt cầu
- Thể tích hình cầu
B. Bài tập tính hình cầu
C. Bài tập từ rèn luyện

Chuyên đề hình cầu không chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khối tròn xoay trong hình học không gian mà còn góp phần nâng cao khả năng vận dụng công thức vào thực tiễn. Khi nắm vững diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu và các bài toán liên quan, học sinh sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập cũng như ôn thi vào lớp 10. Việc luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau sẽ giúp ghi nhớ công thức lâu hơn và nâng cao kỹ năng giải toán.

A. Công thức hình cầu

Hình vẽ minh họa

Diện tích mặt cầu

$S = 4\pi R^{2}$ $S = 4\pi R^{2}$ hay $S = \pi d^{2}$ $S = \pi d^{2}$.

Với $R$ là bán kính và d là đường kính của mặt cầu.

Thể tích hình cầu

$V = \frac{4}{3}\pi R^{3}$ $V = \frac{4}{3}\pi R^{3}$

B. Bài tập tính hình cầu

Dạng 1: Tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu và các đại lượng liên quan

Phương pháp:

Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu để giải bài toán

Bài 1. Các loại bóng cho trong bảng đều có dạng hình cầu. Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai, đơn vị: mm):

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức ta có kết quả ghi lại như sau:

Bài 2. Diện tích của một mặt cầu là $2464$ m² thì đường kính của mặt cầu là bao nhiêu? (Lấy $\pi = \frac{22}{7}$ $\pi = \frac{22}{7}$).

A. $28$ cm. B. $28$ mét. C. $38$ mét. D. $30$ mét.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu và biến đổi ta được

$S = \pi d^{2} = 2464 \Rightarrow d = \sqrt{\frac{2464}{\pi}} \Rightarrow d = \sqrt{\frac{2464}{\frac{22}{7}}} = 28$ $S = \pi d^{2} = 2464 \Rightarrow d = \sqrt{\frac{2464}{\pi}} \Rightarrow d = \sqrt{\frac{2464}{\frac{22}{7}}} = 28$ mét.

(Đơn vị của diện tích mặt cầu là m $\ ^{2}$ $\ ^{2}$).

Bài 3. Thể tích của một hình cầu là $\frac{4312}{3}$ $\frac{4312}{3}$ cm². Thì bán kính của hình cầu là bao nhiêu? (Lấy $\pi =\frac{22}{7}$ $\pi =\frac{22}{7}$).

A. $7$ cm. B. $8$ cm. C. $9$ cm. D. $10$ cm.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính thể tích hình cầu và biến đổi ta được

$V = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{4312}{3}. \Rightarrow R = \sqrt[3]{\frac{4312 \cdot 3}{3 \cdot 4\pi}} \Rightarrow R = \sqrt[3]{\frac{4312}{4 \cdot \frac{22}{7}}} = 7$ $V = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{4312}{3}. \Rightarrow R = \sqrt[3]{\frac{4312 \cdot 3}{3 \cdot 4\pi}} \Rightarrow R = \sqrt[3]{\frac{4312}{4 \cdot \frac{22}{7}}} = 7$ cm.

Dạng 2: Dạng toán tổng hợp

Phương pháp:

Vận dụng linh hoạt các kiến thức đã được học kết hợp với các công thức và lý thuyết về hình cầu để giải bài tập.

Bài 1. Một hình nón có bán kính đáy bằng $3$ cm và có diện tích xung quanh bằng diện tích của mặt cầu có bán kính $3$ cm. Tính chiều cao của hình nón.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình nón $S_{xq} = \pi rl = 3\pi l$ $S_{xq} = \pi rl = 3\pi l$.

Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu $S_{c} = 4\pi R^{2} = 36\pi$ $S_{c} = 4\pi R^{2} = 36\pi$.

Từ giả thuyết $S_{xq} = S_{c}$ $S_{xq} = S_{c}$ ta được $3\pi l = 36\pi$ $3\pi l = 36\pi$ $\Rightarrow l = 12 \Rightarrow h = \sqrt{12^{2} - 3^{2}} = 3\sqrt{15}$ $\Rightarrow l = 12 \Rightarrow h = \sqrt{12^{2} - 3^{2}} = 3\sqrt{15}$ cm.

Bài 2: Cho đường tròn $(O;R)$ ngoại tiếp tam giác đều $ABC$. Quay đường tròn này một vòng quanh đường kính $AOD$ ta được một hình cầu ngoại tiếp một hình nón. Tính thể tích phần bên trong hình cầu và bên ngoài hình nón?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Độ dài cạnh của tam giác đều là: $AB = R\sqrt{3}$ $AB = R\sqrt{3}$

Bán kính đáy hình tròn là: $r = \frac{R\sqrt{3}}{2}$ $r = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Chiều cao hình nón là: $h = \frac{R\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2} = \frac{3R}{2}$ $h = \frac{R\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2} = \frac{3R}{2}$

Thể tích hình cầu là: $V_{1} = \frac{4}{3}\pi r^{3}$ $V_{1} = \frac{4}{3}\pi r^{3}$

Thể tích hình nón là: $V_{2} = \frac{1}{3}\pi r^{2}h = \frac{1}{3}\pi\left( \frac{R\sqrt{3}}{2} \right)^{2}.\frac{3}{2}R = \frac{3}{8}\pi R^{3}$ $V_{2} = \frac{1}{3}\pi r^{2}h = \frac{1}{3}\pi\left( \frac{R\sqrt{3}}{2} \right)^{2}.\frac{3}{2}R = \frac{3}{8}\pi R^{3}$

Thể tích phần cần tìm là: $V = V_{1} - V_{2} = \frac{23}{24}.\pi R^{3}$ $V = V_{1} - V_{2} = \frac{23}{24}.\pi R^{3}$

Bài 3: Một hình nón có đỉnh là tâm một hình cầu và có đáy là hình tròn tạo bởi một mặt phẳng cắt hình cầu. Biết diện tích đáy hình nón là $144\pi{cm}^{2}$ $144\pi{cm}^{2}$ và diện tích xung quanh của nó là $180\pi{cm}^{2}$ $180\pi{cm}^{2}$. Tính thể tích phần không gian bên trong hình cầu và bên ngoài hình nón.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tính bán kính đáy hình nón là

$\pi \cdot IM^{2} \cdot 144\pi \Leftrightarrow r = IM = 12\text{\ }cm$ $\pi \cdot IM^{2} \cdot 144\pi \Leftrightarrow r = IM = 12\text{\ }cm$

Tính đường sinh hình nón là

$S_{xq} = 180\pi \Leftrightarrow \pi \cdot r \cdot l = 180\pi \Leftrightarrow l = OM = 15cm$ $S_{xq} = 180\pi \Leftrightarrow \pi \cdot r \cdot l = 180\pi \Leftrightarrow l = OM = 15cm$

Chiều cao hình nón là

$h = OI = \sqrt{OM^{2} - IM^{2}} = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = 9cm$ $h = OI = \sqrt{OM^{2} - IM^{2}} = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = 9cm$

Tính hiệu thể tích giữa hình cầu và hình nón được

$V = V_{\text{cau~}} - V_{\text{nón~}} = \frac{4}{3}\pi \cdot OM^{3} - \frac{1}{3}\pi \cdot IM^{2} \cdot h = 4068\pi{cm}^{3}$ $V = V_{\text{cau~}} - V_{\text{nón~}} = \frac{4}{3}\pi \cdot OM^{3} - \frac{1}{3}\pi \cdot IM^{2} \cdot h = 4068\pi{cm}^{3}$

C. Bài tập tự rèn luyện

Bài 1. Một cái hộp hình trụ được làm ra sao cho một quả bóng hình cầu đặt vừa khít vào hộp đó như hình vẽ. Tỉ số thể tích của hình cầu và hình trụ là

A. $\frac{3}{4}$ $\frac{3}{4}$. B. $\frac{4}{3}$ $\frac{4}{3}$. C. $\frac{3}{2}$ $\frac{3}{2}$. D. $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{3}$.

Bài 2. Chiều cao của một hình trụ gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Tỉ số của thể tích hình trụ này và thể tích của hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy của hình trụ là

A. $\frac{4}{3}$ $\frac{4}{3}$. B. $\frac{9}{4}$ $\frac{9}{4}$. C. $\frac{3}{1}$ $\frac{3}{1}$. D. $\frac{4}{9}$ $\frac{4}{9}$.

Bài 3. Một hình trụ được “đặt khít” vào bên trong một hình cầu bán kính $r = 12$ cm như hình vẽ.

Tính:

a) Diện tích xung quanh của hình trụ, biết chiều cao của hình trụ bằng đường kính đáy của nó.

b) Thể tích của hình cầu.

c) Diện tích mặt cầu.

Bài 4. Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh $AB = 8$ cm, đường cao $AH$. Khi đó diện tích mặt cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp $\bigtriangleup ABC$ $\bigtriangleup ABC$ một vòng quanh $AH$.

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

------------------------------------

FAQ Chuẩn SEO – Tối ưu Google Featured Snippet

1. Hình cầu là gì?

Hình cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian nằm cách đều một điểm cố định gọi là tâm một khoảng không đổi gọi là bán kính.

2. Công thức tính diện tích mặt cầu là gì?

3. Công thức tính thể tích hình cầu là gì?

4. Hình cầu và mặt cầu khác nhau như thế nào?

Mặt cầu là phần bề mặt bên ngoài.
Hình cầu bao gồm toàn bộ phần không gian nằm bên trong và trên mặt cầu.

Đây là khái niệm học sinh thường dễ nhầm lẫn khi giải bài tập.

5. Khi biết đường kính, làm thế nào để tính diện tích và thể tích hình cầu?

Trước tiên tính bán kính: $r=\frac{d}{2}$ $r=\frac{d}{2}$

Sau đó thay vào công thức diện tích mặt cầu hoặc thể tích hình cầu tương ứng.

6. Các dạng bài tập hình cầu thường gặp trong Toán 9 là gì?

Các dạng toán phổ biến gồm:

Tính diện tích mặt cầu.
Tính thể tích hình cầu.
Tìm bán kính khi biết diện tích hoặc thể tích.
Bài toán thực tế liên quan đến quả cầu, quả bóng, viên bi.
So sánh thể tích giữa các khối hình.

7. Hình cầu có xuất hiện trong đề thi vào lớp 10 không?

Có. Mặc dù không phải năm nào cũng xuất hiện trực tiếp, nhưng các công thức về hình cầu thường được lồng ghép trong các câu hỏi vận dụng hoặc bài toán thực tế liên quan đến hình học không gian.

8. Những lỗi thường gặp khi giải bài toán hình cầu là gì?

Một số sai lầm phổ biến:

Nhầm lẫn giữa diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu.
Sử dụng sai bán kính và đường kính.
Quên đơn vị đo.
Tính toán sai với số π.

------------------------------------------------

Với những kiến thức đã trình bày, bạn chắc chắn đã hiểu rõ về đặc điểm và công thức tính diện tích, thể tích hình cầu. Việc ghi nhớ và vận dụng đúng sẽ giúp bạn tự tin khi gặp dạng toán hình học không gian này trong các bài kiểm tra và kỳ thi. Đừng quên luyện tập thêm nhiều dạng bài khác để củng cố và mở rộng kiến thức nhé!

Tải về

Chọn file muốn tải về: