Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Giải phương trình nghiệm nguyên sử dụng bất đẳng thức

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề: Phương trình nghiệm nguyên có đáp án

A. Ví dụ minh họa giải phương trình nghiệm nguyên bằng bất đẳng thức
B. Bài tập tự rèn luyện giải phương trình có hướng dẫn chi tiết

Giải phương trình nghiệm nguyên sử dụng bất đẳng thức là một phương pháp hiệu quả trong chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10, đặc biệt với các bài toán yêu cầu đánh giá, ước lượng và loại trừ nghiệm không phù hợp. Bài viết trình bày cách áp dụng bất đẳng thức trong tìm nghiệm nguyên, kèm bài tập vận dụng có đáp án, giúp học sinh làm chủ dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh.

A. Ví dụ minh họa giải phương trình nghiệm nguyên bằng bất đẳng thức

Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên .

Hướng dẫn giải

Giả sử: $x \leq y$

TH1: $x = y = > 2x + 1 = x^{2}z$

TH2: $x < y = > xyz < 2y + 1 = > xyz \leq 2y$

$< = > xz \leq 2 = > x = 1,y = 2,z = 2$ hoặc

Ví dụ 2: Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng.

Hướng dẫn giải

Gọi các số nguyên dương phải tìm là x, y, z, Ta có :

, Giả sử : $1 \leq x \leq y \leq z$

$= > xyz = x + y + z \leq 3z = > xy \leq 3 = > xy \in \left\{ 1;2;3 \right\}$

Với

Ví dụ 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình sau: .

Hướng dẫn giải

Vì vai trò của x, y, z là như nhau nên giả sử:

$x \geq y \geq z = > 3x \geq x + y + z = xyz = > 3 \geq yz$

Nếu (thỏa mãn)

Nếu $z > 0 = > x \geq y \geq z$

Do $yz \leq 3$ nên ta có các TH sau:

TH1: Vô nghiệm

TH2:

TH3: loại

Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm là hoán vị của cặp nghiệm trên

Ví dụ 4: Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng.

Hướng dẫn giải

Gọi 4 số nguyên dương cần tìm là :

Giả sử : $t \geq z \geq y \geq x \geq 1$

$= > xyzt = x + y + z + t \leq 4t$

$= > xyz \leq 4 = > xyz \in \left\{ 1;2;3;4 \right\}$

Xét các TH của x; y; z.

B. Bài tập tự rèn luyện giải phương trình có hướng dẫn chi tiết

Bài tập 1: Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng.

Bài tập 2: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình .

Bài tập 3. Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:

Bài tập 4: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:

Bài tập 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : $x^{2} + y^{2} + z^{2} + xyz = 20$

Bài tập 6: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$

Bài tập 7: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3} + \frac{1}{xy}$ .

Bài tập 8: Chứng minh rằng $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{1991}$ chỉ có 1 số hữu hạn nghiệm nguyên dương.

Bài tập 9: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: .

Bài tập 10: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: $\frac{yz}{x} + \frac{xz}{y} + \frac{xy}{z} = 3$

Bài tập 11: Tìm các số nguyên dương a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} = A$ có giá trị nguyên.

Bài tập 12: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: $x^{2} + y^{2} + 5x^{2}y^{2} + 60 = 37xy$ .

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1.

Gọi 3 số nguyên dương cần tìm là x, y, z, ta có :

Giả sử : $x \leq y \leq z$ $= > xyz = 2(x + y + z) \leq 2.3z = 6z = > xy \leq 6$

Xét các TH của x; y.

Bài tập 2.

Giả sử : $x \geq y \geq z$

$= > xyz = 4(x + y + z) \leq 12x$ $= > yz \leq 12 = > z^{2} \leq 12 = > z \in 1;2;3$

Bài tập 3.

Giả sử : $x \geq y \geq z \geq t$

$= > 2xyzt = 5(x + y + z + t) + 10 \leq 20x + 10$

$= > yzt \leq 15 = > t^{3} \leq 15 = > t \leq 2$

Với $t = 1 = > 2xyz = 5(x + y + z) + 15 \leq 15x + 15$

$= > 2yz \leq 30 = > 2z^{2} \leq 30 = > z \leq 3$

TH1 :

Giải các TH và với t = 2.

🔍 Để thuận tiện cho việc học tập và lưu trữ, mời bạn tải tài liệu tham khảo bên dưới.

-----------------------------------------------

Thành thạo phương pháp bất đẳng thức khi giải phương trình nghiệm nguyên sẽ giúp học sinh giải nhanh các bài toán nâng cao và tăng khả năng đạt điểm cao trong kỳ thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: