Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Giải phương trình nghiệm nguyên sử dụng lý thuyết đồng dư

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách giải phương trình nghiệm nguyên bằng đồng dư

Trong các bài toán phương trình nghiệm nguyên Toán 9, lý thuyết đồng dư là công cụ quan trọng giúp loại trừ nghiệm nhanh và chính xác, đặc biệt thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh lớp 10.

Bài viết tập trung trình bày cách giải phương trình nghiệm nguyên bằng lý thuyết đồng dư, kèm định hướng tư duy và dạng bài tiêu biểu để học sinh ôn luyện hiệu quả.

A. Tính chất đồng dư cần nhớ

Tính chất : Cho $a,b,c,d,e \in Z;m,n \in N^{*}$ thì :

a. Tính chất phản xạ : $a \equiv a(modm)$

b. Tính chất đối xứng : $a \equiv b(modm) \rightarrow b \equiv a(modm)$

c. Tính chất bắc cầu : $a \equiv b(modm);b \equiv c(modm) \rightarrow a \equiv c(modm)$

d. $\left. \ \begin{matrix} a \equiv b(modm) \\ c \equiv d(modm) \end{matrix} \right\} \rightarrow \left\{ \begin{matrix} a + c \equiv b + d(modm) \\ a - c \equiv b - d(modm) \\ a.c \equiv b.d(modm) \\ a + e \equiv b + e(modm) \\ a.e \equiv b.e(modm) \end{matrix} \right.$

e. $a \equiv b(modm) \rightarrow a^{n} \equiv b^{n}(modm)$

f. $a \equiv b(modm) \rightarrow a.n \equiv b.n(modm.n)$

g. $a \equiv b(modm) \rightarrow \frac{a}{e} \equiv \frac{b}{e}(modm)$ với $e \in UC(a,b);(e,m) = 1$

h. $a \equiv b(modm);a \equiv b(modm') \rightarrow a \equiv b(mod\lbrack m,m'\rbrack)$

k. $ac \equiv bc(modm);(c,m) = 1 \rightarrow a \equiv b(modm)$

Định lý Fermat nhỏ

Cho a là số nguyên và p là số nguyên tố, khi đó: $a^{p} \equiv a(modp)$

Đặc biệt: Nếu $(a,p) = 1 \rightarrow a^{p - 1} \equiv 1(modp);(p \in P)$

B. Bài tập ví dụ minh họa giải phương trình nghiệm nguyên sử dụng tính chất đồng dư

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: $x^{2} - y^{3} = 7$ .

Hướng dẫn giải

Sử dụng tính chất của số nguyên tố có dạng

Ta có: $x^{2} - y^{3} = 7 \Leftrightarrow x^{2} + 1 = (y + 2)\left( y^{2} - 2y + 4 \right)$ (1)

Nếu y chẵn thì $x^{2} = y^{2} + 7 \equiv 7(mod8)$ loại

Nếu y lẻ thì $y^{2} - 2y + 4 = (y - 1)^{2} + 3$ có dạng $4k + 3 \Rightarrow y^{2} - 2y + 4$ có ước nguyên tố p dạng

Từ (1) $\Rightarrow x^{2} + 1 \vdots p \Rightarrow 1 \vdots p \Rightarrow p = 1$ loại.

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $2^{x} - 3 = 65y$ .

Hướng dẫn giải

Ta chứng tỏ phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.

Giả sử phương trình $2^{x} - 3 = 65y$ có nghiệm nguyên

Ta có: $2^{x} \equiv 3(mod5)$ và $2^{x} \equiv 3(mod13)$

Từ $2^{x} \equiv 3(mod5) \Rightarrow x \equiv 3(mod4)$ (1)

Từ $2^{x} \equiv 3(mod13) \Rightarrow x \equiv 4(mod12)$ trái với (1)

Ví dụ 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $19x^{2} - 84y^{2} = 1984$ .

Hướng dẫn giải

Biến đổi phương trình thành: $19x^{2} = 84y^{2} + 84 + 1900 = 84\left( y^{2} + 1 \right) + 1900$

Giả sử phương trình đã cho có nghiệm.

Khi đó $y^{2} + 1 \equiv 0(mod19)$

Vì 19 là số nguyên tố có dạng $4k + 3 = > y^{2} + 1 \equiv 0(mod19)$ mâu thuẫn,

Vì $y^{2}$ là số chính phương nên chia 4 chỉ có dư là 0 hoặc 1 $= > y^{2} + 1$ chia 4 chỉ có dư là 1 hoặc 2

Vậy phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 4: Tìm $x,y,z\mathbb{\in N}$ thỏa mãn: $2^{x}.3^{y} = 1 + 5^{z}$ (*)

Hướng dẫn giải

Ta có: $1 + 5^{z} \equiv 2(mod4) \Rightarrow 2^{x}.3^{y} \equiv 2(mod4) \Rightarrow x = 1$

Khi đó (*) trở thành : $2.3^{y} = 1 + 5^{z}$ (1)

Nếu $y = 0 \Rightarrow z = 0$

Nếu $y = 1 \Rightarrow z = 1$

Nếu $y > 1 \Rightarrow VT(1) \vdots 9 \Rightarrow 5^{z} \equiv - 1(mod9) \Rightarrow z \vdots 3$ và z lẻ

Vậy z có dạng $z = 6k + 3,\left( k\mathbb{\in N} \right)$ . Nhưng khi đó $VT(1) = 1 + 125^{2k + 1} \equiv 0(mod7)$ loại

Vậy phương trình có hai nghiệm là .

C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: $2^{x} - 3^{y} = 1$ .

Bài tập 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $2^{x} + 3^{y} = z^{2}$ .

Bài tập 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $3^{x} + 4^{y} = 5^{z}$

Bài tập 4: Tìm tất cả các cặp số tự nhiên thỏa mãn phương trình: $2^{n} + 12^{2} = z^{2} - 3^{2}$ .

Bài tập 5: Tìm các số nguyên x, y sao cho: $1 + x + x^{2} + x^{3} = 2^{y}$ (*)

Bài tập 6: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: $2^{x} - 3 = 65y$ (1)

Hướng dẫn giải bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1.

Nếu y chẵn thì $3^{y} \equiv ( - 1)^{y} = 1(mod4)$

Từ phương trình đã cho ta suy ra $2^{x} \equiv 2(mod4) \Rightarrow x = 1,y = 0$

Nếu y lẻ thì $y = 2z + 1,(z \in N) \Rightarrow 3^{y} = 3.9^{z} \equiv 3(mod8)$

Từ phương trình đã cho ta suy ra $2^{x} \equiv 4(mod8) \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = 1$

Bài tập 2.

Nếu $x = 0 = > 1 + 3^{y} = z^{2} = > (z - 1)(z + 1) = 3^{y}$ .

Từ đó suy ra:

$z - 1 = 3^{s},z + 1 = 3^{t} = > 3^{t} - 3^{s} = 2 = > s = 0,t = 1$

+ Nếu $x = 1,y \geq 1 = > z^{2} = 3^{y} + 2 \equiv 2(mod3)$ loại

+ Nếu $x = 1,y = 0 = > z^{2} = 3$ vô nghiệm

+ Nếu $x \geq 2 = > z$ là số lẻ $= > z^{2} \equiv 1(mod4) = > y$ chẵn.

Đặt ta có:

$\left( z - 3^{m} \right)\left( z + 3^{m} \right) = 2^{x} = > z - 3^{m} = 2^{s},z + 3^{m} = 2^{t}$

$= > 2^{t} - 2^{s} = 2.3^{m} = > s = 1 = > 2^{t - 1} = 3^{m} + 1 \equiv 2$ hoặc $\equiv 4(mod8)$ hoặc , từ đó tìm đc x, y, z

Bài tập 3.

Xét đồng dư theo mod 3 và mod 4 ta suy ra: x và z đều chẵn.

Đặt $x = 2x_{1};z = 2z_{1}$

Thay vào phương trính ta được: $\left( 5^{z_{1}} - 3^{x_{1}} \right)\left( 5^{z_{1}} + 3^{x_{1}} \right) = 4^{y} = > \left\{ \begin{matrix} 5^{z_{1}} - 3^{x_{1}} = 2^{m} \\ 5^{z_{1}} + 3^{x_{1}} = 2^{n} \end{matrix} \right.$ $\begin{matrix} (1) \\ (2) \end{matrix}$

Cộng theo từng vế ta có: và $5^{z_{1}} = 1 + 2^{n - 1}$ (3)

Từ (1) $= > 5^{z_{1}} = 5.25^{k} \equiv 5(mod8) = > n = 3 = > x = y = z = 2$

Bài tập 4.

Nếu n lẻ thì: $2^{n} \equiv - 1(mod3)$ . Từ phương trình đã cho ta suy ra: $z^{2} \equiv - 1(mod3)$ loại.

Nếu n chẵn thì: $n = 2m,\left( m\mathbb{\in N} \right)$ và phương trình đã cho trở thành:

$z^{2} - 2^{2m} = 152 < = > \left( z - 2^{m} \right)\left( z + 2^{m} \right) = 153$

Chọn $z + 2^{m},z - 2^{m}$ là các ước của 153 ta tìm được: .

📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.

---------------------------------------------

Nắm vững phương pháp đồng dư không chỉ giúp giải nhanh các bài nghiệm nguyên Toán 9 mà còn tạo lợi thế rõ rệt khi làm bài trong kỳ thi vào lớp 10.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: