Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m Toán lớp 9
Tìm liên hệ giữa hai nghiệm phương trình bậc hai không phụ thuộc vào m
Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, đặc biệt thường xuyên xuất hiện trong các đề thi vào lớp 10. Dạng bài này yêu cầu học sinh vận dụng linh hoạt định lý Vi-ét, các phép biến đổi đại số và kỹ năng phân tích biểu thức để tìm ra mối liên hệ giữa hai nghiệm mà không chứa tham số m. Đây là nội dung không chỉ giúp rèn luyện tư duy logic mà còn rất hữu ích trong việc giải nhanh các bài toán có chứa tham số. Hãy cùng tìm hiểu phương pháp giải và ví dụ minh họa trong chuyên đề Toán 9 ôn thi vào lớp 10 dưới đây.
A. Cách tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình độc lập với tham số
Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm.
Bước 2: Áp dụng hệ thức Viète tính 
\(x_{1}
+ x_{2}\) và \(x_{1}.x_{2}\).
Bước 3: Khử tham số từ hệ thức Viète ta được hệ thức cần lập.
B. Bài tập minh họa tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc tham số m
Ví dụ 1. Cho phương trình \(x^{2} + (m +
1)x + m - 2 = 0\) ( \(m\) là tham số). Giả sử \(x_{1},x_{2}\) là các nghiệm của phương trình, hãy lập hệ liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn giải
Vì \(\Delta = (m + 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot
(m - 2) = m^{2} - 2m + 9 = (m - 1)^{2} + 8 > 0\) vói mọi \(m\).
Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_{1},x_{2}\) với mọi \(m\).
Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2} = - m - 1 & \ \text{(1)} \\x_{1}x_{2} = m - 2 & \ \text{(2)}\end{matrix} \right.\)
Cộng vế với vế (1) và (2), ta được: \(x_{1}
+ x_{2} + x_{1}x_{2} = - 3\)
Vậy hệ thức cần lập là: \(x_{1} + x_{2} +
x_{1}x_{2} = - 3\)
Cách khác: Từ (1) suy ra: \(m = - 1 - x_{1}
- x_{2}\).
Thay vào (2) ta được: \(x_{1}x_{2} = \left(
- 1 - x_{1} - x_{2} \right) - 2 \Rightarrow x_{1} + x_{2} + x_{1}x_{2} =
- 3\)
Ví dụ 2. Cho phương trình \(x^{2} - 2(m -
1)x - m - 3 = 0\). Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm \(x_{1},x_{2}\) của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của \(m\).
Hướng dẫn giải
Vì \(\Delta' = m^{2} - m + 4 = \left( m
- \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{15}{4} > 0\) với mọi \(m\).
Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_{1},x_{2}\) với mọi \(m\).
Áp dụng hệ định lí Viète, ta có: \(\left\{
\begin{matrix}
x_{1} + x_{2} = 2m - 2 & \ \text{(1)~} \\
x_{1}x_{2} = - m - 3 & \ \text{(2)~}
\end{matrix} \right.\)
Từ (2) suy ra: \(m = x_{1}x_{2} +
3\), thay vào (1) ta được:\(x_{1} + x_{2} = 2\left( x_{1}x_{2} + 3
\right) - 2\) hay \(x_{1} + x_{2} -
2x_{1}x_{2} = 4\)
Vậy hệ thức cần lập là: \(x_{1} + x_{2} -
2x_{1}x_{2} = 4\).
Ví dụ 3. Cho phương trình \(x^{2} - (m -
1)x + 2m - 3 = 0\) ( \(m\) là tham số). Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm \(x_{1},x_{2}\) của phương trình sao cho hệ thức đó không phụ thuộc vào \(m\).
Hướng dẫn giải
Ta có \(\Delta = m^{2} - 10m +
13\)
Phương trình có hai nghiệm \(x_{1},x_{2}\) khi
\(\Delta \geq 0\ \text{hay~}m^{2} - 10m +
13 \geq 0 \Rightarrow (m - 5)^{2} \geq 8\)
\(\Rightarrow m - 5 \geq 2\sqrt{2}\) hoặc \(m - 5 \leq - 2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow m \geq 5 + 2\sqrt{2}\) hoặc \(m \leq 5 - 2\sqrt{2}\)
Theo định lí Viète, ta có: \(\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2} = m - 1 & \ \text{(1)} \\x_{1}x_{2} = 2m - 3 & \ \text{(2)}\end{matrix} \right.\)
Từ (1) suy ra: \(m = x_{1} + x_{2} +
1\), thay vào (2) ta được:
\(x_{1}x_{2} = 2\left( x_{1} + x_{2} + 1
\right) - 3\) hay \(x_{1}x_{2} -
2\left( x_{1} + x_{2} \right) = - 1\)
Vậy hệ thức cần lập là: \(x_{1}x_{2} -
2\left( x_{1} + x_{2} \right) = - 1\)
C. Bài tập tự rèn luyện tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm phương trình bậc hai
Bài tập 1. Cho phương trình bậc hai: \(x^{2} - 2mx - m^{2} - 1 = 0\) ( \(m\) là tham số). Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm \(x_{1},x_{2}\) của phương trình mà không phụ thuộc vào \(m\).
Bài tập 2. Cho phương trình \(x^{2} + 2(m -
1)x + m^{2} + 2 = 0\) ( \(m\) là tham số). Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm \(x_{1},x_{2}\) của phương trình mà không phụ thuộc vào \(m\).
Bài tập 3. Cho phương trình \((m - 1)x^{2}
- 2(m - 4)x + m - 5 = 0\) ( \(m\) là tham số). Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm \(x_{1},x_{2}\) của phương trình không phụ thuộc \(m.\)
Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!
--------------------------------------------------------------
Trên đây là toàn bộ hướng dẫn chi tiết về cách lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m, một kỹ năng quan trọng trong các dạng toán về phương trình bậc hai có tham số. Việc nắm vững phương pháp này sẽ giúp học sinh xử lý nhanh các câu hỏi dạng lý thuyết và vận dụng trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10.
Để đạt hiệu quả cao khi ôn tập, học sinh nên luyện tập thường xuyên các bài toán liên quan đến định lý Vi-ét, biến đổi biểu thức chứa nghiệm và dạng toán phương trình có tham số m. Đồng thời, hãy kết hợp với các chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10 khác như: hệ phương trình, đồ thị hàm số, phương trình chứa căn hoặc ẩn ở mẫu… để có kiến thức toàn diện và vững vàng trước kỳ thi. Đừng quên lưu lại bài viết, chia sẻ cho bạn bè và theo dõi thêm nhiều tài liệu chất lượng khác để học tốt hơn mỗi ngày!
