VnDoc.com

Tìm tham số m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện

Ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Hệ phương trình chứa tham số có đáp án

A. Cách tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện
B. Bài tập minh họa tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn yêu cầu
C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết

Dạng toán tìm tham số m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện là nội dung thường xuyên xuất hiện trong đề thi vào lớp 10 với mức độ phân hóa cao. Việc nắm chắc hướng tư duy và quy trình giải sẽ giúp học sinh tránh sai sót và tối ưu thời gian làm bài khi gặp các bài toán có điều kiện ràng buộc.

A. Cách tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện

Bài toán thường gặp: Cho hệ $\left\{ \begin{matrix} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{matrix} \right.$ chứa tham số .

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất $(x;\ \ y)$ thỏa mãn điều kiện cho trước

Bước 1: Dùng phương pháp thế, cộng, trừ để đưa hệ đã cho về phương trình bậc nhất một ẩn

Bước 2: Lập luận: Hệ có nghiệm duy nhất khi phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $A \neq 0$

Bước 3: Giải nghiệm $(x;\ \ y)$ theo và xử lý điều kiện của bài toán.

Chú ý:

Hệ vô nghiệm khi phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} A = 0 \\ B \neq 0 \end{matrix} \right.$
Hệ vô số nghiệm khi phương trình vô số nghiệm khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} A = 0 \\ B = 0 \end{matrix} \right.$
Đối với hệ: $\left\{ \begin{matrix} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{matrix} \right.$ (các hệ số khác ) thì ta có các điều kiện sau:

+) Hệ có nghiệm duy nhất khi $\frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$

+) Hệ vô nghiệm $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}$

+) Hệ vô số nghiệm $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$

B. Bài tập minh họa tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn yêu cầu

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{matrix} x + y = 2 \\ mx - y = 1 \end{matrix} \right.$ .

a) Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

b) Tìm để .

c) Tìm để .

d) Tìm để

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} x + y = 2\ \ \ \ (1) \\ mx - y = 1\ \ (2) \end{matrix} \right.$ (I)

a) Lấy ta được: (3)

Để hệ (I) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có nghiệm duy nhất nên $m + 1 \neq 0\ hay\ m \neq - 1$

Khi đó: $(3):\ \ x = \frac{3}{m + 1}$ thế vào (1), ta có:

$y = 2 - x = 2 - \frac{3}{m + 1} = \frac{2m - 1}{m + 1}$

Vậy với $m \neq - 1$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{matrix} x = \frac{3}{m + 1} \\ y = \frac{2m - 1}{m + 1} \end{matrix} \right.$ .

b) Để

$\frac{3}{m + 1} - \frac{3(2m - 1)}{m + 1} = 5 \Leftrightarrow \frac{6 - 6m}{m + 1} = 5$ $\Leftrightarrow 6 - 6m = 5m + 5 \Leftrightarrow m = \frac{1}{11}\ \ (tm)$

Vậy $m = \frac{1}{11}$ là giá trị cần tìm.

c) Do , nên

$\Leftrightarrow \frac{3}{m + 1}.\frac{2m - 1}{m + 1} < 0 \Leftrightarrow \frac{3(2m - 1)}{(m + 1)^{2}} < 0$

$\Leftrightarrow 2m - 1 < 0\left( do(m + 1)^{2} > 0\forall m \neq - 1 \right) \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}$

Kết hợp với ĐKXĐ ta có $\left\{ \begin{matrix} m < \frac{1}{2} \\ m \neq - 1 \end{matrix} \right.$ là giá trị cần tìm.

d) Để

$\frac{3}{m + 1} + \frac{2(2m - 1)}{m + 1} > 4$ $\Leftrightarrow \frac{3 + 4m - 2}{m + 1} - \frac{4m + 4}{m + 1} > 0$

$\Leftrightarrow \frac{- 3}{m + 1} > 0 \Leftrightarrow m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - 1$

Kết hợp với ĐKXĐ suy ra là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2. Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + 2y = m + 3 \\ 2x - 3y = m \end{matrix} \right.\ (I)$ ( là tham số) .

a) Giải hệ phương trình khi .

b) Tìm để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn .

Hướng dẫn giải

Với , hệ phương trình có dạng: $\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 4 \\ 2x - 3y = 1 \end{matrix} \right.$

Nhân hai vế của phương trình trên với 2 ta được $\left\{ \begin{matrix} 2x + 4y = 8 \\ 2x - 3y = 1 \end{matrix} \right.$ . Trừ hai vế tương ứng của hệ vừa tìm được ta được

Thay vào phương trình , ta tìm được

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

b) Ta có:

$\left\{ \begin{matrix}x + 2y = m + 3 \\2x - 3y = m\end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x + 4y = 2m + 6 \\2x - 3y = m\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + 2y = m + 3 \\7y = m + 6\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \frac{5m + 9}{7} \\y = \frac{m + 6}{7}\end{matrix} \right.$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y) = \left( \frac{5m + 9}{7};\frac{m + 6}{7} \right)$ .

Lại có hay $\frac{5m + 9}{7} + \frac{m + 6}{7} = - 3$

$\Leftrightarrow 5m + 9 + m + 6 = - 21 \Leftrightarrow m = - 6$

Vậy với thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn .

Ví dụ 3. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} 2x\ + \ y\ = \ 8 \\ 4x\ + \ my\ = \ 2m\ + \ 18 \end{matrix} \right.$ với là tham số.

1. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đó.

2. Với là nghiệm duy nhất ở trên, hãy tìm để:

a) .

b) Biểu thức $S = x^{2} + y^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Biểu thức đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

1. Từ phương trình trên của hệ ta có thay vào phương trình dưới của hệ ta được

hay (*)

Hệ có nghiệm duy nhất khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất $4 - 2m \neq 0$ hay $m \neq 2$ .

Khi đó $x = \frac{18 - 6m}{4 - 2m} =\frac{3m - 9}{m - 2};$ $y = 8 - 2x = 8 - 2.\frac{3m - 9}{m - 2} =\frac{2m + 2}{m - 2}$

Vậy $m \neq 2$ thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất là $(x;\ y) = \left( \frac{3m - 9}{m - 2};\ \frac{2m + 2}{m - 2} \right)$ .

2. a) Ta có $:\ 2x - 3y > 0$ hay

$\frac{6m - 18}{m - 2} - \frac{6m + 6}{m - 2} > 0$

$\frac{- 24}{m - 2} > 0$

(do )

(thỏa mãn).

Vậy thì .

b) Ta có: $S = x^{2} + y^{2} = \left( 3 - \frac{3}{m - 2} \right)^{2} + \left( 2 + \frac{6}{m - 2} \right)^{2}$

Đặt $a = \frac{3}{m - 2}$ , thì $S = (3 - a)^{2} + (2 + 2a)^{2} = 5a^{2} + 2a + 13$

$= 5\left( a^{2} + \frac{2}{5}a + \frac{13}{5} \right) = 5\left( a + \frac{1}{5} \right)^{2} + \frac{64}{5} \geq \frac{64}{5}$ .

Vậy $MinS = \frac{64}{5}$ khi $a = - \frac{1}{5}$ hay (thỏa mãn $m \neq 2$ ).

c) Có $T = xy = \left( 3 - \frac{3}{m - 2} \right)\left( 2 + \frac{6}{m - 2} \right)$

Đặt $a = \frac{3}{m - 2}$ , ta được $T = (3 - a)(2 + 2a) = - 2a^{2} + 4a + 6 = - 2(a - 1)^{2} + 8 \leq 8$ .

Vậy khi $a = 1\ hay\ m = 5$ (thỏa mãn $m \neq 2$ ).

C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết

Bài 1. Không giải hệ phương trình, hãy cho biết số nghiệm của các hệ sau:

$\left\{ \begin{matrix} x\sqrt{8} + y = \sqrt{21} \\ x3 - y\sqrt{2} = 2 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x - \sqrt{3}y = \sqrt{2} \\ - \sqrt{3}x + 3y = - \sqrt{6} \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} 2x - \frac{5}{2}y = \sqrt{2} \\ - 4x + 5y = 9 \end{matrix} \right.$

Bài 2. Tìm biết hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} 2x + by = a \\ bx + ay = 5 \end{matrix} \right.$ có nghiệm ;

Bài 3. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} 2x + ay = - 4 \\ ax - 3y = 5 \end{matrix} \right.$

a) Giải hệ phương trình với

b) Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 4. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} (a + 1)x - y = a + 1\begin{matrix} & (1) \end{matrix} \\ x + (a - 1)y = 2\begin{matrix} \begin{matrix} & & (2) \end{matrix} & \end{matrix} \end{matrix} \right.$ ( là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi .

b) Giải và biện luận hệ phương trình.

c) Tìm để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn đạt GTNN.

📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.

----------------------------------------

Dạng bài tìm tham số m trong hệ phương trình đòi hỏi tư duy chặt chẽ và khả năng phân tích điều kiện nghiệm. Luyện tập theo chuyên đề ôn thi vào 10 sẽ giúp học sinh nâng cao kỹ năng xử lý bài toán tham số và tự tin khi bước vào kỳ thi.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: