Xét tính đơn điệu của hàm số

Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán

2 176

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

A. Xét tính đơn điệu của hàm số bằng định nghĩa
B. Xét tính đơn điệu của hàm số cho trước bằng đạo hàm
C. Xét tính đơn điệu của hàm số bằng máy tính Casio Fx570
D. Bài tập ví dụ minh họa
E. Bài tập tự rèn luyện

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, VnDoc xin mời các bạn tham khảo tài liệu Xét tính đơn điệu của hàm số. Bộ tài liệu hướng dẫn chi tiết xét sự đồng biến, nghịch biến trên tập xác định bằng nhiều cách như dùng định nghĩa, định lí, giải nhanh bằng máy tính Casio, ... được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và ma trận đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 12, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 12 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 12. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Xét tính đơn điệu của hàm số mức độ nhận biết, thông hiểu

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Xét tính đơn điệu của hàm số bằng định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng K

+ Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu $\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu $\forall {x_1},{x_2} \in K,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi là đơn điệu trên K

B. Xét tính đơn điệu của hàm số cho trước bằng đạo hàm

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)

Bước 2: Tính đạo hàm f’(x)

Bước 3: Tìm các điểm x0 sao cho f’(x0) = 0 hoặc f’(x0) không xác định.

Bước 4: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận.

C. Xét tính đơn điệu của hàm số bằng máy tính Casio Fx570

Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính, quan sát kết quả nhận được để kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến.

D. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập 1: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$ , có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Xét tính đơn điệu của hàm số

Hàm số đồng biến trên các khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. $\left( { - \infty ;1} \right)$

B. $\left( { - \infty ; - 1} \right)$

C. $\left( { - 1;1} \right)$

D. $\left( { - 1; + \infty } \right)$

Hướng dẫn giải

Quan sát bảng biến thiên ta thấy

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right);\left( {1, + \infty } \right)$

Đáp án B

Bài tập 2: Kết luận nào sau đây đúng về tính đơn điệu của hàm số $y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}$ ?

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$

B. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$

D. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Hướng dẫn giải

Công thức tính nhanh đạo hàm của hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}} \Rightarrow y' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$

Ta có: $y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 1$

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$

Chọn đáp án A

Bài tập 3: Hàm số $y = \frac{{{x^2} - 6x + 10}}{{x - 3}}$ nghịch biến trên các khoảng nào?

A. $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {4; + \infty } \right)$	B. $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {5; + \infty } \right)$
C. $\left( {1;3} \right)$ và $\left( {3;5} \right)$	D. $\left( {2;3} \right)$ và $\left( {3;4} \right)$

Hướng dẫn giải

Sử dụng phương pháp đạo hàm trên máy tính Casio để tìm đáp án sai, loại đáp án

Bước 1: Nhập Casio: Xét tính đơn điệu của hàm số

Bước 2: CALC với x = 10 và x = 1,5

CALC x = 10 ta được Xét tính đơn điệu của hàm số ⇒Loại được hai đáp án A và B

CALC x = 1,5 ta được Xét tính đơn điệu của hàm số ⇒Loại được hai đáp án C

Đáp án D

Bài tập 4: Cho hàm số $y = \left( {x - 3} \right)\sqrt {{x^2} + 1}$ . Hàm số đồng biến trên các khoảng nào sau đây?

A. $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$	B. $\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$
C. $\left( {\frac{1}{2};1} \right)$	D. $\left( {0;1} \right)$