Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Cách tìm phần nguyên của số lớp 9 (dễ hiểu, có ví dụ)

Bài tập Toán 9 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tìm phần nguyên của biểu thức ôn thi vào 10

Tìm phần nguyên của số là dạng toán quen thuộc trong chương trình Toán 9, thường xuất hiện ở mức độ vận dụng trong đề thi vào lớp 10. Tuy không quá khó, nhưng nếu không nắm rõ phương pháp biến đổi và đánh giá khoảng giá trị, học sinh rất dễ nhầm lẫn. Bài viết này sẽ hướng dẫn cách tìm phần nguyên của số lớp 9 một cách dễ hiểu, kèm ví dụ minh họa và bài tập có đáp án.

Bài tập 1. Chứng minh rằng: $\lbrack x\rbrack + \lbrack y\rbrack \leq \lbrack x + y\rbrack$ .

Hướng dẫn giải

Cách 1: Ta có: $\lbrack x\rbrack < x;\lbrack y\rbrack < y$ nên $\lbrack x\rbrack + \lbrack y\rbrack < \lbrack x + y\rbrack$ .

Suy ra $\lbrack x\rbrack + \lbrack y\rbrack$ là số nguyên không vượt quá x + y (1).

Theo định nghĩa phần nguyên, $\lbrack x + y\rbrack$ là số nguyên lớn nhất không vợt quá x + y (2).

Từ (1) và (2) suy ra: $\lbrack x\rbrack + \lbrack y\rbrack < \lbrack x + y\rbrack$

Cách 2: Theo định nghĩa phần nguyên: 0 < x - [x] < 1; 0 < y - [y] < 1.

Suy ra: 0 < (x + y) ( $\lbrack x\rbrack + \lbrack y\rbrack$ ) < 2.

Xét hai trường hợp:

Nếu 0 < (x + y) ( $\lbrack x\rbrack + \lbrack y\rbrack$ ) < 1 thì $\lbrack x + y\rbrack$ = $\lbrack x\rbrack + \lbrack y\rbrack$ (1)

Nếu 1 < (x + y) ( $\lbrack x\rbrack + \lbrack y\rbrack$ ) < 2 thì 0 < (x + y) ( $\lbrack x\rbrack + \lbrack y\rbrack$ + 1) < 1 nên
$\lbrack x + y\rbrack$ = $\lbrack x\rbrack + \lbrack y\rbrack$ + 1 (2).

Trong cả hai trường hợp ta đều có: $\lbrack x\rbrack + \lbrack y\rbrack$ + $\lbrack x + y\rbrack$

Bài tập 2. Tìm phần nguyên của số $\sqrt{6 + \sqrt{6 + ... + \sqrt{6} + \sqrt{6}}}$ (có 100 dấu căn).

Hướng dẫn giải

Kí hiệu $a_{n} = \sqrt{6 + \sqrt{6 + ... + \sqrt{6} + \sqrt{6}}}$ có n dấu căn.

Ta có:

$\begin{matrix}a_{1} = \sqrt{6} < 3 \hfill \\a_{2} = \sqrt{6 + a_{1}} < \sqrt{6 + 3} = 3 \hfill \\a_{3} = \sqrt{6 + a_{2}} < \sqrt{6 + 3} = 3\hfill \\a_{4} = \sqrt{6 + a_{3}} < \sqrt{6 + 3} = 3 \hfill \\... \\a_{100} = \sqrt{6 + a_{99}} < \sqrt{6 + 3} = 3\end{matrix}$

Hiển nhiên $a_{100} > \sqrt{6} > 2$ . Như vậy 2 < a₁₀₀ < 3, do đó [ a₁₀₀ ] = 2.

Bài tập 3. Cho $a = 2 + \sqrt{3}$ . Tính

a) $\left\lbrack a^{2} \right\rbrack$ b) $\left\lbrack a^{3} \right\rbrack$

Hướng dẫn giải

a) Cách 1 (tính trực tiếp): a² = (2 + $\sqrt{3}$ )² = 7 + 4 $\sqrt{3}$ .

Ta có $4\sqrt{3} = \sqrt{48}$ nên 6 < 4 $\sqrt{3}$ < 7 ⇒ 13 < a² < 14. Vậy [ a² ] = 13.

Cách 2 (tính gián tiếp): Đặt x = (2 + $\sqrt{3}$ )² thì x = 7 + 4 $\sqrt{3}$ .

Xét biểu thức y = (2 - $\sqrt{3}$ )² thì y = 7 - 4 $\sqrt{3}$ . Suy ra x + y = 14.

Dễ thấy 0 < 2 - $\sqrt{3}$ < 1 nên 0 < (2- $\sqrt{3}$ )² < 1, tức là 0 < y < 1. Do đó 13 < x < 14.

Vậy [ x ] = 13 tức là [ a² ] = 13.

b) Đáp số: [ a³ ] = 51.

Bài tập 4. Kí hiệu a_n là số nguyên gần $\sqrt{n}$ nhất (n ∈ N^*), ví dụ:

$\sqrt{1} = 1 \Rightarrow a_{1} = 1;\sqrt{2} \approx 1,4 \Rightarrow a_{2} = 1$

$\sqrt{3} \approx 1,7 \Rightarrow a_{3} = 2;\sqrt{4} = 2 \Rightarrow a_{4} = 2$

Tính: $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + ... + \frac{1}{a_{1980}}$ .

Hướng dẫn giải

Ta thấy với n là số chính phương thì $\sqrt{n}$ là số tự nhiên, nếu n khác số chính phương thì $\sqrt{n}$ là số vô tỉ, nên $\sqrt{n}$ không có dạng $\overline{.....,5}$ . Do đó ứng với mỗi số n ∈ N^* có duy nhất một số nguyên a_n gần $\sqrt{n}$ nhất.

Ta thấy rằng, với n bằng 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, thì a_n bằng 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3,

Ta sẽ chứng minh rằng a_n lần lượt nhận các giá trị: hai số 1, bốn số 2, sáu số 3

Nói cách khác ta sẽ chứng minh bất phương trình:

$1 - \frac{1}{2} < \sqrt{x} < 1 + \frac{1}{2}$ có hai nghiệm tự nhiên.

$2 - \frac{1}{2} < \sqrt{x} < 2 + \frac{1}{2}$ có bốn nghiệm tự nhiên.

$3 - \frac{1}{2} < \sqrt{x} < 3 + \frac{1}{2}$ có sáu nghiệm tự nhiên.

Tổng quát: $k - \frac{1}{2} < \sqrt{x} < k + \frac{1}{2}$ có 2k nghiệm tự nhiên.

Thật vậy, bất đẳng tương đương với: k² - k + $\frac{1}{4}$ < x < k² + k + $\frac{1}{4}$ .

Do đó:

$\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + ... + \frac{1}{a_{1980}}$

$= \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{1} \right) + \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) + ... + \left( \underset{88}{\overset{\frac{1}{44} + \frac{1}{44} + .... + \frac{1}{44}}{︸}} \right) = 2.44 = 88$ .

🔍 Để thuận tiện cho việc học tập và lưu trữ, mời bạn tải tài liệu tham khảo bên dưới.

--------------------------------------------------------------

Việc thành thạo cách tìm phần nguyên của số giúp học sinh Toán 9 xử lý nhanh các bài toán đánh giá và bất đẳng thức trong đề thi vào 10. Thông qua việc luyện tập các dạng bài điển hình kèm đáp án chi tiết, bạn sẽ tránh được sai sót và nâng cao độ chính xác khi làm bài.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: