Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x, y nguyên

Ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Chuyên đề Toán Lớp 9

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm nguyên

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x, y nguyên là dạng toán nâng cao thường gặp trong đề thi vào lớp 10, yêu cầu học sinh kết hợp linh hoạt kiến thức về hệ phương trình và điều kiện nghiệm nguyên. Việc nắm đúng phương pháp giải sẽ giúp xử lý bài toán gọn gàng và hạn chế sai sót.

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{matrix} x + y = 2 \\ mx - y = 1 \end{matrix} \right.$ . Tìm các giá trị nguyên của để $x;\ \ y$ là các số nguyên.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} x + y = 2\ \ \ \ (1) \\ mx - y = 1\ \ (2) \end{matrix} \right.$ (I)

Lấy ta được: (3)

Để hệ (I) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có nghiệm duy nhất nên $m + 1 \neq 0\ hay\ m \neq - 1$

Khi đó: $(3):\ \ x = \frac{3}{m + 1}$ thế vào (1), ta có $y = 2 - x = 2 - \frac{3}{m + 1} = \frac{2m - 1}{m + 1}$

Vậy với $m \neq - 1$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{matrix} x = \frac{3}{m + 1} \\ y = \frac{2m - 1}{m + 1} \end{matrix} \right.$ .

Để $x = \frac{3}{m + 1} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow m + 1 \in U(3) = \{ \pm 1; \pm 3\}$

			1	3
			0	2
Thử lại vào	3	5		1
	(tm)	(tm)	(tm)	(tm)

Kết hợp với điều kiện xác định suy ra $m \in \{ - 4;\ - 2;\ 0;\ 2\}$ là những giá trị cần tìm.

Ví dụ 2. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} 2x\ + \ y\ = \ 8 \\ 4x\ + \ my\ = \ 2m\ + \ 18 \end{matrix} \right.$ với là tham số.

Với là nghiệm duy nhất ở trên, hãy tìm để cả và là các số nguyên.

Hướng dẫn giải

Từ phương trình trên của hệ ta có thay vào phương trình dưới của hệ ta được

hay (*)

Hệ có nghiệm duy nhất khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất $4 - 2m \neq 0$ hay $m \neq 2$ .

Khi đó $x = \frac{18 - 6m}{4 - 2m} =\frac{3m - 9}{m - 2};$ $y = 8 - 2x = 8 - 2.\frac{3m - 9}{m - 2} =\frac{2m + 2}{m - 2}$

Vậy $m \neq 2$ thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất là $(x;\ y) = \left( \frac{3m - 9}{m - 2};\ \frac{2m + 2}{m - 2} \right)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{3m - 9}{m - 2} = \frac{3m - 6 - 3}{m - 2} = 3 - \frac{3}{m -2} \\y = \dfrac{2m + 2}{m - 2} = \frac{2m - 4 + 6}{m - 2} = 2 + \frac{6}{m -2}\end{matrix} \right.$

Do đó cả và là các số nguyên khi $\left\{ \begin{matrix} 3 \vdots m - 2 \\ 6 \vdots m - 2 \end{matrix} \right.$

$m - 2 \in UC(3;6) = \left\{ \pm 1; \pm 3 \right\}$

$m \in \left\{ 3;1;5; - 1 \right\}$ (thỏa mãn $m \neq 2$ )

Vậy $m \in \left\{ 3;1;5; - 1 \right\}$ thì cả và là các số nguyên.

Ví dụ 3. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} (a + 1)x - y = a + 1\begin{matrix} & (1) \end{matrix} \\ x + (a - 1)y = 2\begin{matrix} \begin{matrix} & & (2) \end{matrix} & \end{matrix} \end{matrix} \right.$ ( là tham số)

Tìm các số nguyên để hệ phương trình có nghiệm nguyên.

Hướng dẫn giải

TH1: $a \neq 0$ , phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{a^{2} + 1}{a^{2}}$ . Thay vào ta có:

$y = (a + 1)\frac{a^{2} + 1}{a^{2}} - (a + 1)$ $= \frac{(a + 1)\left( a^{2} + 1 \right) - a^{2}(a + 1)}{a^{2}}$

$= \frac{a^{3} + a + a^{2} + 1 - a^{3} - a^{2}}{a^{2}} = \frac{a + 1}{a^{2}}$

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y) = \left( \frac{a^{2} + 1}{a^{2}};\frac{a + 1}{a^{2}} \right)$

TH2: Nếu , phương trình vô nghiệm. Suy ra hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Kết luận:

Với hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Với $a \neq 0$ thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y) = \left( \frac{a^{2} + 1}{a^{2}};\frac{a + 1}{a^{2}} \right)$

Hệ phương trình có nghiệm nguyên: $\left\{ \begin{matrix} x\mathbb{\in Z} \\ y\mathbb{\in Z} \end{matrix} \right.$ hay $\left\{ \begin{matrix} \frac{a^{2} + 1}{a^{2}}\mathbb{\in Z} \\ \frac{a + 1}{a^{2}}\mathbb{\in Z} \end{matrix} \right.\ \begin{matrix} & \left( a\mathbb{\in Z} \right) \end{matrix}$

Điều kiện cần:

$x = \frac{a^{2} + 1}{a^{2}} = 1 + \frac{1}{a^{2}}\mathbb{\in Z}$

$\frac{1}{a^{2}}\mathbb{\in Z}$

$\Rightarrow a^{2} = 1 \Rightarrow a = \pm 1$

Điều kiện đủ:

$a = - 1 \Rightarrow y = 0\mathbb{\in Z}$ (nhận)

$a = 1 \Rightarrow y = 2\mathbb{\in Z}$ (nhận)

Vậy $a = \pm 1$ hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Với $a \neq 0$ hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y) = \left( \frac{a^{2} + 1}{a^{2}};\frac{a + 1}{a^{2}} \right)$ .

📄 Do dung lượng nội dung lớn, tài liệu chi tiết được cung cấp dưới dạng file tải về.

---------------------------------------------------

1. Bài toán “Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x, y nguyên” thuộc dạng toán nào?
Đây là dạng toán hệ phương trình chứa tham số , trong đó yêu cầu tìm giá trị của m để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện x, y là số nguyên. Dạng bài thường kết hợp kỹ năng giải hệ với biến đổi đại số, điều kiện nguyên và các tính chất về chia hết.

2. Khi giải bài toán tìm m, nên bắt đầu từ đâu?
Trước hết cần giải hoặc biến đổi hệ phương trình để biểu diễn x, y theo tham số m. Sau đó phân tích điều kiện để hai giá trị thu được là số nguyên. Đây là bước quan trọng để chuyển yêu cầu của bài toán thành điều kiện đối với m.

3. Vì sao điều kiện x, y nguyên thường dẫn đến bài toán chia hết?
Sau khi giải hệ, x hoặc y có thể xuất hiện dưới dạng một phân thức phụ thuộc vào m. Để nghiệm là số nguyên, tử số phải chia hết cho mẫu số tương ứng, với điều kiện mẫu khác 0. Vì vậy, nhiều bài toán được đưa về việc tìm các giá trị m thỏa mãn một quan hệ chia hết.

4. Có cần xét điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất không?
Có, nếu khi giải hệ sử dụng phép chia cho một biểu thức chứa m. Khi đó cần xét trường hợp biểu thức ở mẫu bằng 0 riêng biệt. Không nên chia ngay cho biểu thức chứa tham số mà bỏ qua giá trị làm biểu thức đó bằng 0.

5. Làm thế nào để kiểm tra giá trị m tìm được?
Sau khi xác định các giá trị m, cần thay từng giá trị vào hệ ban đầu, tìm nghiệm tương ứng rồi kiểm tra x và y có thực sự là số nguyên hay không. Bước này giúp loại bỏ những giá trị m phát sinh từ biến đổi nhưng không thỏa mãn điều kiện ban đầu.

6. Có thể sử dụng định thức để giải hệ chứa tham số không?
Có. Với hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, định thức có thể giúp nhận biết điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất. Tuy nhiên, khi bài toán yêu cầu nghiệm nguyên, sau khi xác định nghiệm theo m vẫn cần xử lý tiếp điều kiện nguyên của x và y.

7. Những kiến thức nào cần nắm chắc để giải dạng bài này?
Học sinh nên thành thạo phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, biến đổi phân thức và các tính chất về số nguyên, chia hết. Với bài nâng cao, kỹ năng phân tích biểu thức theo tham số cũng rất quan trọng.

8. Dạng bài tìm m để hệ có nghiệm nguyên có thường được dùng để ôn thi vào 10 không?
Đây là một dạng có thể được khai thác trong các bài toán Toán 9 nâng cao và luyện thi vào lớp 10, đặc biệt khi đề yêu cầu kết hợp hệ phương trình với điều kiện nghiệm nguyên hoặc tham số. Mức độ cụ thể phụ thuộc vào cấu trúc của từng đề.

------------------------------------------

Dạng bài tìm tham số m để hệ phương trình có nghiệm nguyên giúp phân hóa rõ năng lực học sinh trong kỳ thi vào 10. Luyện tập theo chuyên đề trọng tâm sẽ giúp nâng cao tư duy số học và tăng độ chính xác khi làm bài.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: