Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x, y nguyên

Ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm nguyên

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x, y nguyên là dạng toán nâng cao thường gặp trong đề thi vào lớp 10, yêu cầu học sinh kết hợp linh hoạt kiến thức về hệ phương trình và điều kiện nghiệm nguyên. Việc nắm đúng phương pháp giải sẽ giúp xử lý bài toán gọn gàng và hạn chế sai sót.

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{matrix} x + y = 2 \\ mx - y = 1 \end{matrix} \right.$ . Tìm các giá trị nguyên của để $x;\ \ y$ là các số nguyên.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} x + y = 2\ \ \ \ (1) \\ mx - y = 1\ \ (2) \end{matrix} \right.$ (I)

Lấy ta được: (3)

Để hệ (I) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có nghiệm duy nhất nên $m + 1 \neq 0\ hay\ m \neq - 1$

Khi đó: $(3):\ \ x = \frac{3}{m + 1}$ thế vào (1), ta có $y = 2 - x = 2 - \frac{3}{m + 1} = \frac{2m - 1}{m + 1}$

Vậy với $m \neq - 1$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{matrix} x = \frac{3}{m + 1} \\ y = \frac{2m - 1}{m + 1} \end{matrix} \right.$ .

Để $x = \frac{3}{m + 1} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow m + 1 \in U(3) = \{ \pm 1; \pm 3\}$

			1	3
			0	2
Thử lại vào	3	5		1
	(tm)	(tm)	(tm)	(tm)

Kết hợp với điều kiện xác định suy ra $m \in \{ - 4;\ - 2;\ 0;\ 2\}$ là những giá trị cần tìm.

Ví dụ 2. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} 2x\ + \ y\ = \ 8 \\ 4x\ + \ my\ = \ 2m\ + \ 18 \end{matrix} \right.$ với là tham số.

Với là nghiệm duy nhất ở trên, hãy tìm để cả và là các số nguyên.

Hướng dẫn giải

Từ phương trình trên của hệ ta có thay vào phương trình dưới của hệ ta được

hay (*)

Hệ có nghiệm duy nhất khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất $4 - 2m \neq 0$ hay $m \neq 2$ .

Khi đó $x = \frac{18 - 6m}{4 - 2m} =\frac{3m - 9}{m - 2};$ $y = 8 - 2x = 8 - 2.\frac{3m - 9}{m - 2} =\frac{2m + 2}{m - 2}$

Vậy $m \neq 2$ thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất là $(x;\ y) = \left( \frac{3m - 9}{m - 2};\ \frac{2m + 2}{m - 2} \right)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{3m - 9}{m - 2} = \frac{3m - 6 - 3}{m - 2} = 3 - \frac{3}{m -2} \\y = \dfrac{2m + 2}{m - 2} = \frac{2m - 4 + 6}{m - 2} = 2 + \frac{6}{m -2}\end{matrix} \right.$

Do đó cả và là các số nguyên khi $\left\{ \begin{matrix} 3 \vdots m - 2 \\ 6 \vdots m - 2 \end{matrix} \right.$

$m - 2 \in UC(3;6) = \left\{ \pm 1; \pm 3 \right\}$

$m \in \left\{ 3;1;5; - 1 \right\}$ (thỏa mãn $m \neq 2$ )

Vậy $m \in \left\{ 3;1;5; - 1 \right\}$ thì cả và là các số nguyên.

Ví dụ 3. Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} (a + 1)x - y = a + 1\begin{matrix} & (1) \end{matrix} \\ x + (a - 1)y = 2\begin{matrix} \begin{matrix} & & (2) \end{matrix} & \end{matrix} \end{matrix} \right.$ ( là tham số)

Tìm các số nguyên để hệ phương trình có nghiệm nguyên.

Hướng dẫn giải

TH1: $a \neq 0$ , phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{a^{2} + 1}{a^{2}}$ . Thay vào ta có:

$y = (a + 1)\frac{a^{2} + 1}{a^{2}} - (a + 1)$ $= \frac{(a + 1)\left( a^{2} + 1 \right) - a^{2}(a + 1)}{a^{2}}$

$= \frac{a^{3} + a + a^{2} + 1 - a^{3} - a^{2}}{a^{2}} = \frac{a + 1}{a^{2}}$

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y) = \left( \frac{a^{2} + 1}{a^{2}};\frac{a + 1}{a^{2}} \right)$

TH2: Nếu , phương trình vô nghiệm. Suy ra hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Kết luận:

Với hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Với $a \neq 0$ thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y) = \left( \frac{a^{2} + 1}{a^{2}};\frac{a + 1}{a^{2}} \right)$

Hệ phương trình có nghiệm nguyên: $\left\{ \begin{matrix} x\mathbb{\in Z} \\ y\mathbb{\in Z} \end{matrix} \right.$ hay $\left\{ \begin{matrix} \frac{a^{2} + 1}{a^{2}}\mathbb{\in Z} \\ \frac{a + 1}{a^{2}}\mathbb{\in Z} \end{matrix} \right.\ \begin{matrix} & \left( a\mathbb{\in Z} \right) \end{matrix}$

Điều kiện cần:

$x = \frac{a^{2} + 1}{a^{2}} = 1 + \frac{1}{a^{2}}\mathbb{\in Z}$

$\frac{1}{a^{2}}\mathbb{\in Z}$

$\Rightarrow a^{2} = 1 \Rightarrow a = \pm 1$

Điều kiện đủ:

$a = - 1 \Rightarrow y = 0\mathbb{\in Z}$ (nhận)

$a = 1 \Rightarrow y = 2\mathbb{\in Z}$ (nhận)

Vậy $a = \pm 1$ hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Với $a \neq 0$ hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y) = \left( \frac{a^{2} + 1}{a^{2}};\frac{a + 1}{a^{2}} \right)$ .

📄 Do dung lượng nội dung lớn, tài liệu chi tiết được cung cấp dưới dạng file tải về.

---------------------------------------------------

Dạng bài tìm tham số m để hệ phương trình có nghiệm nguyên giúp phân hóa rõ năng lực học sinh trong kỳ thi vào 10. Luyện tập theo chuyên đề trọng tâm sẽ giúp nâng cao tư duy số học và tăng độ chính xác khi làm bài.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: