VnDoc.com

Tính m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu

Chuyên đề Toán 9 luyện thi vào lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu, cùng dấu, cùng dấu âm, cùng dấu dương

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương, hai nghiệm cùng dấu âm

Trong chương trình Toán lớp 9, đặc biệt khi luyện thi vào lớp 10, dạng toán tính tham số m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu là một trong những dạng bài quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong đề thi. Dạng toán này không chỉ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải phương trình bậc hai mà còn đòi hỏi khả năng phân tích dấu và vận dụng kiến thức về định lý Vi-ét, điều kiện có nghiệm, và dấu của tích hai nghiệm.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu gồm lý thuyết cơ bản kèm các dạng bài tập liên quan để các em biết cách làm các bài toán Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Bài viết sẽ giúp bạn hiểu rõ điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu, cách giải chi tiết và cung cấp bài tập có lời giải giúp luyện tập hiệu quả, hướng đến mục tiêu đạt điểm cao trong kỳ thi vào 10. Mời các bạn tham khảo chi tiết sau đây.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

Công thức nghiệm phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai có dạng ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

∆ = b² – 4ac

Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{a}$

Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

${x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}},{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$

Định lý Vi-ét:

Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ phân biệt thì $\left\{ \begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.$

+ Lưu ý: Trước khi áp dụng định lý Vi ét, ta cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

2. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu $\Leftrightarrow P < 0$

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0 \end{array} \right.$

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right.$

+ Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S < 0 \end{array} \right.$ .

II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

Bài 1: Tìm m để phương trình ${x^2} - \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} - 7m + 12 = 0$ có 2 nghiệm trái dấu

Gợi ý giải:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu $\Leftrightarrow P < 0$ .

Hướng dẫn giải

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu $\Leftrightarrow P < 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 7m + 12 < 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m - 4} \right) < 0 \end{array}$

Xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: $\left\{ \begin{array}{l} m - 3 > 0\\ m - 4 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 3\\ m < 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < m < 4$

Trường hợp 2: $\left\{ \begin{array}{l} m - 3 < 0\\ m - 4 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 3\\ m > 4 \end{array} \right.$ (vô lý)

Vậy với 3 < m < 4 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

Bài 2: Tìm m để phương trình $3{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

Hướng dẫn:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$3{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 3 = 0$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ' > 0$

Có $\Delta ' = 4{m^2} - 3\left( {{m^2} - 2m - 3} \right)$

$\begin{gathered} = 4{m^2} - 3{m^2} + 6m + 9 \hfill \\ = {m^2} + 6m + 9 \hfill \\ = {\left( {m - 3} \right)^2} > 0\forall m \ne 3 \hfill \\ \end{gathered}$

Với mọi m ≠ 3, phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{4m}}{3} \hfill \\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{{m^2} - 2m - 3}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi:

$P > 0 \Leftrightarrow 3\left( {{m^2} - 2m - 3} \right) > 0$

Xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: $\left\{ \begin{gathered} m + 1 > 0 \hfill \\ m - 3 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m > - 1 \hfill \\ m > 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow m > 3$

Trường hợp 2: $\left\{ \begin{gathered} m + 1 < 0 \hfill \\ m - 3 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < - 1 \hfill \\ m < 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow m < - 1$

Vậy với m < -1 hoặc m < 3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

Bài 3: Tìm m để phương trình ${x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Gợi ý giải:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ S < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Hướng dẫn giải

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ P > 0\\ S < 0 \end{array} \right.$

Với $\Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4m > 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{m^2} + 12m + 9 - 4m > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 9 > 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) + 5 > 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {m + 1} \right)^2} + 5 > 0\forall m \end{array}$

Với $P > 0 \Leftrightarrow m > 0$

Với $S < 0 \Leftrightarrow 2m + 3 < 0 \Leftrightarrow m < \frac{{ - 3}}{2}$ kết hợp với m > 0

Vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm

Bài 4: Tìm m để phương trình ${x^2} - 2mx + 2m - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.

Gợi ý giải:

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ P > 0 \hfill \\ S > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Hướng dẫn giải

Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta ' > 0\\ P > 0\\ S > 0 \end{array} \right.$

Với $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - \left( {2m - 4} \right) > 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 4 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 3 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 3 > 0\forall m \end{array}$

Với $P > 0 \Leftrightarrow 2m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 2$

Với $S > 0 \Leftrightarrow 2 > 0$ (luôn đúng)

Vậy với m > 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dương.

Bài 5. Cho phương trình bậc hai ${x^2} - mx - 1 = 0\left( * \right)$ (m là tham số). Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

Hướng dẫn giải

Ta có a.c = 1.(-1) < 0 với mọi m nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.

Vậy phương trình có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị của tham số m.

Bài 6. Cho phương trình ${x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 3 - m = 0$ (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Hướng dẫn giải

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

a.c < 0= > -3 – m < 0 => m > -3

Vậy m > -3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Bài 7: Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình dưới đây có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

a. $x^{2} - 2(m - 1)x + m + 1 = 0$ b. $2x^{2} - 3(m + 1)x + m^{2} - m - 2 = 0$

Hướng dẫn giải

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow m < - 1$ .

b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow - 1 < m < 2$

Bài 8: Cho phương trình x² – (2m-1)x + m – 1 = 0.

a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu?

b. Tìm m để phương trình có nghiệm dương?

Hướng dẫn giải

a. Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi

$\Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow 1.(m - 1) < 0$

$\Leftrightarrow m - 1 < 0 \Leftrightarrow m < 1$

Vậy với m < 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.

b. Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1

Để phương trình có nghiệm dương ta có các trường hợp sau:

Phương trình có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0

Thay x = 0 vào phương trình ta có m - 1 = 0 hay m = 1.

Thay m = 1 vào phương trình ta được

$x^{2} - x = 0 \Leftrightarrow x(x - 1) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} \right.$

Phương trình có hai nghiệm cùng dương, điều kiện là:

$\left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ ac > 0 \\ \frac{- b}{a} > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (2m - 2)^{2} + 1 \geq 0 \\ m - 1 > 0 \\ 2m - 1 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m > 1$

Phương trình có hai nghiệm trái dấu, điều kiện là:

Kết hợp cả ba trường hợp ta có với mọi m thì phương trình đã cho có nghiệm dương

Bài 9: Cho phương trình (m+1)x² - 2(m+2)x + m + 5 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu/.

Hướng dẫn giải

Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 $\Leftrightarrow x = 2$

Phương trình có một nghiệm duy nhất x = 2

Với m ≠-1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0

$\Leftrightarrow (m + 1)(m + 5) < 0$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} m + 1 > 0 \\ m + 5 < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} m + 1 < 0 \\ m + 5 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - 5 < m < - 1$

Vậy với -5 < m < -1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

Chú ý :

Giải BPT ( m + 1 )( m + 5 ) < 0 (1) có cách nhanh hơn như sau :

Để (1) xảy ra thì m + 1 và m + 5 là hai số trái dấu. Ta luôn có m + 1 < m + 5 nên (1) xảy ra khi $\left\{ \begin{matrix} m + 1 < 0 \\ m + 5 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - 5 < m < - 1$

Trường hợp chỉ cần biết kết quả của các BPT dạng như (1), hãy học thuộc từ “ngoài cùng trong khác” và dịch như sau : ngoài khoảng hai nghiệm thì vế trái cùng dấu với hệ số a, trong khoảng hai nghiệm thì vế trái khác dấu với hệ số a ( hệ số a là hệ số lũy thừa bậc hai của vế trái khi khai triển, nghiệm ở đây là nghiệm của đa thức vế trái )

Ví dụ với BPT (1) thì vế trái có hai nghiệm là -1 và -5 , dạng khai triển là m² + 6m + 5 nên hệ số a là 1 >0. BPT cần vế trái < 0 tức là khác dấu với hệ số a nên m phải trong khoảng hai nghiệm, tức là -5 < m < -1. Còn BPT ( m + 1 )( m + 5 ) > 0 (2) sẽ cần m ngoài khoảng hai nghiệm (cùng dấu với hệ số a), tức là m < -5 hoặc m > -1

III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương, hai nghiệm cùng dấu âm

Bài tập 1. Cho phương trình $2x^{2} - 3x - 6 = 0$ . Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ . Tính ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$ và $x_{1}\ ^{3} + x_{2}\ ^{3}$ .

Bài tập 2. Tìm để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: $x^{2} + 4x + m = 0$

Gợi ý: Xét $ac < 0 \Leftrightarrow - 4ac > 0 \Rightarrow b^{2} - 4ac > b^{2} \geq 0$ .

Vậy $\Delta > 0$ . Lại có $ac < 0 \Rightarrow \frac{c}{a} < 0 \Rightarrow x_{1}x_{2} < 0$ Vậy hai nghiệm trái dấu.

Bài tập 3. Tìm m để phương trình $x^{2} - 3x + m - 1 = 0$ có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ và thỏa mãn $x_{1} < 1 < x_{2}$

Gợi ý: $x_{1} < 1 < x_{2} \Leftrightarrow x_{1} - 1 < 1 - 1 < x_{2} - 1$ $\Leftrightarrow x_{1} - 1 < 0 < x_{2} - 1$ . Vậy $x_{1} - 1$ và $x_{2} - 1$ trái dấu.

Bài tập 4. Tìm để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt dương $x^{2} - 2x + m = 0$ .

Bài tập 5. Tìm để phương trình $x^{2} - 2(m - 1)x + 5m + 1 = 0$ có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn điều kiện: $x_{1} \leq x_{2} < 3$ .

Gợi ý giải: Đặt ẩn phụ $t = x_{1} - 3 \leq x_{2} - 3 < 0$ . Vậy $x_{1} - 3$ và $x_{2} - 3$ đều cùng âm.

Đáp án bài tập tự luyện

Bài tập 1.

Ta có: $a = 2;c = - 6 \Rightarrow ac = - 12 < 0$ .

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt (trái dấu) $x_{1};x_{2}$ .

Theo định lí Vi-et, ta có: $x_{1} + x_{2} = \frac{3}{2};x_{1}x_{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$

Vậy $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} = \left( \frac{3}{2} \right)^{2} - 2( - 3) = \frac{33}{4}$ .

${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = \left( x_{1} + x_{2} \right)\left( x_{1}\ ^{2} - x_{1}x_{2} + x_{2}\ ^{2} \right) = \frac{3}{2}\left\lbrack \frac{33}{4} - ( - 3) \right\rbrack = \frac{135}{8}$

Cách khác:

Ta cũng có: ${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{3} - 3x_{1}x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right)$

$= \left( \frac{3}{2} \right)^{3} - 3.( - 3).\frac{3}{2} = \frac{135}{8}$ .

Bài tập 2.

Ta có $a = 1\ \ ;\ b = 4\ ;\ c = m$

Phương trình sau có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow m < 0$

Nhận xét: Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm:

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ P = \frac{c}{a} > 0 \\ S = - \frac{b}{a} < 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4 - m > 0 \\ m > 0 \\ - 4 < 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow 0 < m < 4$

Bài tập 3

Ta có $a = 1\ \ ;\ b = - 3\ ;\ c = m - 1$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $x_{1} - 1$ và $x_{2} - 1$ trái dấu khi và chỉ khi.

$\left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ \left( x_{1} - 1 \right)\left( x_{2} - 1 \right) < 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 9 - 4(m - 1) > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ x_{1}x_{2} - \left( x_{1} + x_{2} \right) + 1 < 0\ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{matrix} \right.$

Ta có: $(1) \Leftrightarrow m < \frac{13}{4}$ . Với điều kiện $m < \frac{13}{4}$ , phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$

$x_{1} + x_{2} = 3$ ; $x_{1}x_{2} = m - 1$

Ta có: $(2) \Leftrightarrow (m - 1) - 3 + 1 < 0 \Leftrightarrow m < 3$ .

Kết hợp và $m < \frac{13}{4} \Rightarrow m < 3$

Cách khác: Đặt $t = x - 1 \Rightarrow x = t + 1$ thế vào phương trình đã cho, ta có:

$(t + 1)^{2} - 3(t + 1) + m - 1 = 0$

$\Leftrightarrow t^{2} - t + m - 3 = 0\ \ (*)$

Điều kiện $x_{1} < 1 < x_{2}$

$\Leftrightarrow x_{1} - 1 < 0 < x_{2} - 1$ .

Khi đó, gọi $t_{1} = x_{1} - 1\ ;\ t_{2} = x_{2} - 1$ là hai nghiệm của phương trình $\ \ (*)$ .

Vậy $t_{1} < 0 < t_{2} \Leftrightarrow m - 3 < 0 \Leftrightarrow m < 3$

Nhân xét: - Cách thứ hai, gọi là đặt ẩn phụ; ta không phải tìm điều kiện: $\Delta > 0$ !

Bạn hãy tự giải. Tìm để phương trình có hai nghiệm $x_{1}$ ; $x_{2}$ thỏa mãn: $1 < x_{1} < x_{2}$ hoặc $x_{1} < x_{2} < 1$ .

Bài tập 4.

Ta có: $a = 1\ ;\ b = - 2 \Rightarrow b' = - 1\ ;\ c = m$

Vậy $\Delta' = 1 - m$

Phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ P = \frac{c}{a} > 0 \\ S = - \frac{b}{a} > 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - m > 0 \\ m > 0 \\ 2 > 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow 0 < m < 1$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi 0 < m < 1.

Bài tập 5.

Cách giải thứ nhất.

Đặt suy ra . Thế vào phương trình đã cho, ta được:

$(t + 3)^{2} - 2(m - 1)(t + 3) + 5\ m + 1 = 0$ $\Leftrightarrow$ $t^{2} + 2(2 - m)t + 4 - m = 0$

Gọi $t_{1}$ ; $t_{2}$ là hai nghiệm của phương trình .

Điểu kiện $x_{1} \leq x_{2} < 3$ $\Leftrightarrow x_{1} - 3 \leq x_{2} - 3 < 0$ $\Leftrightarrow t_{1} \leq t_{2} < 0$ .

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' \geq 0 \\ P = \frac{c}{a} > 0 \\ S = - \frac{b}{a} < 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 3m \geq 0 \\ 4 - m > 0 \\ 2 - m > 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m(m - 3) \geq 0 \\ m < 4 \\ m < 2 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \geq 3\ \\ m < 2 \end{matrix} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} m \leq 0 \\ m < 2 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m \leq 0$

Với $\left\{ \begin{matrix} m \geq 3\ \\ m < 2 \end{matrix} \right.$ ( vô nghiệm).

Với $\left\{ \begin{matrix} m \leq 0 \\ m < 2 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m \leq 0$

Vậy $m \leq 0$ .

Cách giải thứ hai:

Xét phương trình đã cho: Ta có $x_{1} \leq x_{2} < 3$ $\Leftrightarrow x_{1} - 3 \leq x_{2} - 3 < 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' \geq 0 \\ \left( x_{2} - 3 \right)\left( x_{2} - 3 \right) > 0 \\ \left( x_{1} - 3 \right) + \left( x_{2} - 3 \right) < 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' \geq 0 \\ x_{1}x_{2} - 3\left( x_{1} + x_{2} \right) + 9 > 0 \\ x_{1} + x_{2} - 6 < 0 \end{matrix} \right.$

Với $x_{1} + x_{2} = 2m + 2$ ; $x_{1}x_{2} = 5m + 1$ : $\Delta' = m^{2} - 3m$ .

Ta có hệ: $\left\{ \begin{matrix} m^{2} - 3m \geq 0 \\ 5m + 1 - 3(2m + 2) + 9 > 0 \\ 2m + 2 - 6 < 0 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{matrix} m(m - 3) \geq 0 \\ 4 - m > 0 \\ 2m - 4 < 0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \leq 0\ \\ \ m < 4 \\ \ m < 2 \end{matrix} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} \ m \geq 3 \\ \ m < 4 \\ \ m < 2 \end{matrix} \right.$

Với $\left\{ \begin{matrix} m \leq 0\ \\ \ m < 4 \\ \ m < 2 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m \leq 0$ .

Với $\left\{ \begin{matrix} \ m \geq 3 \\ \ m < 4 \\ \ m < 2 \end{matrix} \right.$ ( vô nghiệm)

Vậy $m \leq 0$ .

📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.

-----------------------------------------------------------------------------

Việc tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu không chỉ là kỹ năng cần thiết trong chương trình Toán 9 mà còn là một trong những dạng bài giúp phân loại học sinh khá giỏi trong các đề thi vào lớp 10. Để làm tốt dạng bài này, học sinh cần nắm chắc kiến thức về dấu của tam thức bậc hai, định lý Vi-ét, điều kiện có nghiệm và các phương pháp phân tích dấu. Thông qua bài viết này cùng hệ thống bài tập có đáp án chi tiết, bạn sẽ được rèn luyện từng bước tư duy logic, khả năng phân tích biểu thức chứa tham số và làm chủ dạng toán này trong kỳ thi. Đừng quên kết hợp ôn tập với các chuyên đề liên quan như điều kiện có nghiệm, hệ thức Vi-ét, phương trình chứa tham số, để củng cố toàn diện kỹ năng giải phương trình bậc hai nhé!

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: