Cách giải phương trình √f(x) = a
Giải phương trình căn bậc hai lớp 9
Trong chương trình Toán 9 ôn thi vào lớp 10, một trong những dạng toán thường gặp là giải phương trình chứa căn thức dạng √f(x) = a. Đây là dạng bài cơ bản nhưng dễ gây nhầm lẫn nếu học sinh không nắm vững điều kiện xác định và các bước giải. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết phương pháp giải phương trình căn bậc hai, đồng thời đưa ra ví dụ minh họa kèm lời giải cụ thể, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, củng cố kiến thức và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.
A. Hướng dẫn cách giải phương trình chứa căn
Trường hợp 1: f(x) = ax + b hoặc f(x) = 
\(\frac{ax + b}{cx + d}\)
- Bước 1: Giải điều kiện f(x) ≥ 0 để tìm điều kiện của x
- Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình (để làm mất căn).
- Bước 3: Giải phương trình để tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: f(x) = ax2 + bx + c thì kiểm tra biểu thức f(x)
- Nếu f(x) = ax2 + bx + c = (Ax ± B)2 tức là có dạng hằng đẳng thức thì: KHAI CĂN.
Phương trình ⬄ \(|Ax \pm B| = e
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
Ax \pm B = e \\
Ax \pm B = - e
\end{matrix} \right.\) => Tìm x
- Nếu f(x) = ax2 + bx + c không có dạng hằng đẳng thức thì: BÌNH PHƯƠNG 2 VẾ.
-
- Bước 1: Viết điều kiện f(x) ≥ 0.
- Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình (để làm mất căn).
- Bước 3: Giải phương trình bậc hai có được bằng cách: Phân tích thành nhân tử, đưa về phương trình tích.
B. Bài tập ví dụ minh họa giải phương trình chứa căn
Ví dụ: Giải các phương trình sau: \(\sqrt{x^{2} - 4x + 4} = 3\)?
Hướng dẫn giải
Vì x2 – 4x + 4 = (x – 2)2, ta có:
PT \(\Leftrightarrow \sqrt{(x - 2)^{2}} = 3
\Leftrightarrow |x - 2| = 3\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x - 2 = 3 \\
x - 2 = - 3
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 5 \\
x = - 1
\end{matrix} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 5;x
= - 1\).
Ví dụ: Giải các phương trình sau: \(\sqrt{x^{2} - 4x + 4} = 3\)?
Hướng dẫn giải
Vì x2 – 4x + 4 = (x – 2)2, ta có
Phương trình \(\Leftrightarrow \sqrt{(x - 2)^{2}} = 3
\Leftrightarrow |x - 2| = 3\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x - 2 = 3 \\
x - 2 = - 3
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 5 \\
x = - 1
\end{matrix} \right.\)
Ví dụ: Giải phương trình sau: \(\sqrt{x^{2}
- 4x - 6} = \sqrt{15}\).
Hướng dẫn giải
Nhận xét: x2 – 4x – 6 không có dạng (Ax ± B)2 nên ta không đưa được về phương trình trị tuyệt đối như ví dụ trên.
Điều kiện: x2 – 4x – 6 ≥ 0
Bình phương hai vế phương trình ta được:
x2 – 4x – 6 = 15 ⬄ x2 – 4x – 21 = 0 ⬄ (x – 7) (x + 3) = 0
⬄ x = 7 hoặc x = - 3
Thay x tìm được vào điều kiện ta thấy cả x = 7 và x = - 3 đều thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm x = 7; x = - 3.
Ví dụ: Giải phương trình sau: \(\sqrt{(x -
2)(x + 3)} = 5\).
Hướng dẫn giải
Vì f(x) = (x – 2)(x + 3) = x2 + x - 6
Do đó cách giải tương tự ví dụ trên ta có:
Điều kiện: (x – 2)(x + 3) ≥ 0 \(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
x - 2 \geq 0 \\
x + 3 \geq 0
\end{matrix} \right.\ \\
\left\{ \begin{matrix}
x - 2 \leq 0 \\
x + 3 \leq 0
\end{matrix} \right.\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
x \geq 2 \\
x \geq - 3
\end{matrix} \right.\ \\
\left\{ \begin{matrix}
x \leq 2 \\
x \leq - 3
\end{matrix} \right.\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x \geq 2 \\
x \leq - 3
\end{matrix} \right.\)
Bình phương hai vế phương trình ta được:
(x – 2)(x + 3) = 25 ⬄ x2 + x - 6 = 25 ⬄ x2 + x – 31 = 0
⬄ (x2 + x + \(\frac{1}{4}\)) - \(\frac{1}{4}\) – 31 = 0
⬄ \(\left( x + \frac{1}{2}
\right)^{2}\) - \(\frac{125}{4}\) = 0
⬄ \(\left( x + \dfrac{1}{2} \right)^{2} =\dfrac{125}{4} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{15}{2} \\x + \dfrac{1}{2} = - \dfrac{15}{2}\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = 7(tm) \\
x = - 8(tm)
\end{matrix} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm x = 7; x = - 8.
-----------------------------------------------------------
Việc thành thạo cách giải phương trình √f(x) = a không chỉ giúp học sinh giải tốt các bài tập trong chương trình Toán 9, mà còn rèn luyện được tư duy logic, khả năng xử lý điều kiện xác định và trình bày lời giải khoa học. Đây là nền tảng quan trọng để học sinh tự tin hơn khi làm bài thi, đặc biệt trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán.
👉 Để học tốt hơn, các em nên:
-
Luyện tập nhiều dạng phương trình căn thức khác nhau.
-
Kết hợp lý thuyết với bài tập tự luyện.
Chú ý phân tích điều kiện xác định để tránh sai sót.
Nếu kiên trì rèn luyện, các em chắc chắn sẽ chinh phục được dạng toán này và đạt điểm số cao trong các kỳ kiểm tra cũng như kỳ thi quan trọng sắp tới.
