™
Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
VnDoc.com Lớp 9 Toán 9 Chuyên đề Toán 9

Cách tìm GTLN GTNN bằng bất đẳng thức trị tuyệt đối

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10
Tải về

Giải bài toán tìm GTLN GTNN chứa trị tuyệt đối

Trong chương trình Toán THCS và THPT, đặc biệt ở lớp 9 và lớp 10, việc tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức luôn là dạng bài quen thuộc. Khi biểu thức chứa dấu trị tuyệt đối, học sinh thường gặp khó khăn trong việc đánh giá và xử lý bài toán. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách áp dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối để tìm GTLN, GTNN một cách nhanh chóng, logic và chính xác, kèm theo ví dụ minh họa và các bài tập rèn luyện giúp bạn nắm vững phương pháp.

Bất đẳng thức trị tuyệt đối

|A|+|B|\geq |A+B||A|+|B|≥|A+B|

Bài 1: Tìm GTNN của hàm số: y = \sqrt{x^{2} + 2x + 1} + \sqrt{x^{2} - 2x + 1}y=x2+2x+1+x2−2x+1.

Hướng dẫn giải

Cách 1: y = \sqrt{x^{2} + 2x + 1} + \sqrt{x^{2} - 2x + 1} = |x + 1| + |x - 1|y=x2+2x+1+x2−2x+1=|x+1|+|x−1|

Nếu: x < -1 thì y = |x + 1| + |x - 1| = - x - 1 - x + 1 = - 2x > 2y=|x+1|+|x−1|=−x−1−x+1=−2x>2

Nếu: - 1\ \leq \ x\ \leq \ 1−1 ≤ x ≤ 1 thì y = |x + 1| + |x - 1| = x + 1 - x + 1 = 2y=|x+1|+|x−1|=x+1−x+1=2

Nếu: x > 1 thì y = |x + 1| + |x - 1| = x + 1 + x - 1 = 2x > 2y=|x+1|+|x−1|=x+1+x−1=2x>2

Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi - 1\ \leq \ x\ \leq \ 1−1 ≤ x ≤ 1

Cách 2: Áp dụng BĐT |a| + |b| \geq |a + b||a|+|b|≥|a+b| (Dấu “=” xảy ra khi a.b \geq 0≥0)

Ta có: y = |x + 1| + |1 - x| \geq |x + 1 + 1 - x| = 2y=|x+1|+|1−x|≥|x+1+1−x|=2

Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi - 1\ \leq \ x\ \leq \ 1−1 ≤ x ≤ 1

Bài 2: Cho x, y > 0 và 2x + xy = 4. Tìm GTLN của biểu thức A = x2y.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Từ 2x + xy = 4 => xy = 4 - 2x. Thế vào A ta có:

A = x(4 - 2x ) = 2 – \left\lbrack \left( x\sqrt{2} \right)^{2} - 2x\sqrt{2}.\sqrt{2} + \left( \sqrt{2} \right)^{2} \right\rbrack[(x2)2−2x2.2+(2)2]= 2 - \left( x\sqrt{2} - \sqrt{2} \right)^{2}2−(x2−2)2

=> Max A = 2 khi \left\{ \begin{matrix} x\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0 \\ 2x + xy = 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.{x2−2=02x+xy=4 ⇔{x=1y=2

Cách 2: Ta có : A = \frac{1}{2}.2x.xy12.2x.xy

Vì x, y > 0 => 2x, xy > 0.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số 2x, xy ta có:

\frac{2x + xy}{2} \geq \sqrt{2x.xy} \Leftrightarrow \left( \frac{2x + xy}{2} \right)^{2} \geq 2x.xy \Leftrightarrow \frac{(2x + xy)}{4.2}^{2} \geq x^{2}y2x+xy2≥2x.xy⇔(2x+xy2)2≥2x.xy⇔(2x+xy)4.22≥x2y

Thay số ta có: 2 \geq x^{2}y2≥x2y=A

Vậy Max A = 2 khi \left\{ \begin{matrix} 2x = xy \\ 2x + xy = 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.{2x=xy2x+xy=4 ⇔{x=1y=2

Bài tập tìm GTLN, GTNN của biểu thức có trị tuyệt đối

Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức:

a, y = \sqrt{4x^{2} - 4x + 1} + \sqrt{4x^{2} - 12x + 9}y=4x2−4x+1+4x2−12x+9

b, y = \sqrt{x^{2} + 4x + 4} + \sqrt{x^{2} - 6x + 9}y=x2+4x+4+x2−6x+9

Bài 2: Tìm GTNN của hàm số

a, y = \sqrt{4x^{2} + 20x + 25} + \sqrt{x^{2} - 8x + 16}y=4x2+20x+25+x2−8x+16

b, y = \sqrt{25x^{2} - 20x + 4} + \sqrt{25x^{2} - 30x + 9}y=25x2−20x+4+25x2−30x+9

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}}A=x−2x−1+x+2x−1.

-------------------------------------------

Qua bài viết này, bạn đã nắm được phương pháp sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Đây là một kỹ năng quan trọng không chỉ trong các bài toán học sinh giỏi mà còn thường xuất hiện trong đề thi vào lớp 10 và kiểm tra học kỳ. Hãy luyện tập thật nhiều và áp dụng linh hoạt để làm chủ dạng toán này nhé!

Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
29 Bài viết đã được lưu
Mục lục
Chọn file muốn tải về:

Cách tìm GTLN GTNN bằng bất đẳng thức trị tuyệt đối

231,6 KB

  • File Word

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này

Nhiều người đang xem

Tham khảo thêm

🖼️

Gợi ý cho bạn
Xem thêm
🖼️

Đề thi vào 10 môn Toán
Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng