Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Chuyên đề Toán 9: Đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường tròn nội tiếp tam giác

Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Ôn vào 10

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường tròn nội tiếp tam giác

A. Đường tròn ngoại tiếp một tam giác
B. Đường tròn nội tiếp một tam giác
B. Các dạng bài tập về đường tròn nội tiếp – ngoại tiếp lớp 9
D. Bài tập đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp có lời giải lớp 9

Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác là hai kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 9, thuộc phần hình học lớp 9 nâng cao. Đây là chuyên đề thường gặp trong các đề kiểm tra và đề thi vào lớp 10. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu khái niệm, tính chất, cách dựng đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của một tam giác, cùng các dạng bài tập thường gặp có lời giải chi tiết. Với cách trình bày logic, dễ hiểu, tài liệu này sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức và vận dụng thành thạo vào giải toán.

A. Đường tròn ngoại tiếp một tam giác

Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác. Khi đó tam giác gọi là tam giác nội tiếp đường tròn.

- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác.

- Bán kính là khoảng cách từ giao điểm của ba đường trung trực đến một điểm bất kì của tam giác.

B. Đường tròn nội tiếp một tam giác

Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác. Khi đó tam giác được gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn.

- Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong.

- Bán kính bằng khoảng cách từ giao điểm đó đến một cạnh bất kì của tam giác.

B. Các dạng bài tập về đường tròn nội tiếp – ngoại tiếp lớp 9

Dạng I. Tính toán

Bài toán 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3cm; AC = 4cm. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải

Gọi O là trung điểm của cạnh huyền BC của tam giác vuông SBC.

Ta có AO là trung tuyến của tam giác vuông ABC nên $OA = \frac{1}{2}BC = OB = OC.$

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn có tâm O là trung điểm của BC.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên theo định lí Pythagore, ta có:

$\begin{matrix} BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25 \\ \Rightarrow BC = \sqrt{25} = 5\ (cm) \\ \end{matrix}$

Vậy bán kính của đường tròn là 5 : 2 = 2,5 (cm).

Bài toán 2. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng đường tròn (O) có bán kính bằng 3cm. Tính diện tích tam giác ABC.

Lời giải

Kẻ đường cao AH vì tam giác ABC đều (gt) nên đường cao AH đồng thời là đường phân giác của góc BAC, ta có: $\widehat{BAH} = \widehat{CAH} = \frac{\widehat{BAC}}{2} = \frac{60{^\circ}}{2} = 30{^\circ}.$

Kéo dài AH cắt đường tròn (O) tại D. Khi đó $\widehat{BOD}$ và $\widehat{BAD}$ lần lượt là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn $\widehat{BD}$ ) $\Rightarrow \widehat{BOD} = 2.\widehat{BAD} = 2.30{^\circ} = 60{^\circ}.$

Tam giác BHO vuông tại H có cạnh huyền OB = 3cm (gt) và $\widehat{BOD} = 60{^\circ}.$

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: $BH = OB.sinBOH = 3.sin60{^\circ} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\ \ (cm)$

Vì tam giác ABC đều nên đường cao AH đồng thời là trung tuyến hay H là trung điểm của BC.

$\Rightarrow BC = 2BH = 2.\frac{3\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\ \ (cm)$

Xét tam giác AHB vuông tại H có cạnh huyền: $AB = BC = 3\sqrt{3}\ (cm)$ và $\widehat{BAH} = 30{^0}(cmt)$

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$AH = AB.cosBAH = 3\sqrt{3}.cos30{^\circ} = \frac{9}{2}\ (cm)$

Gọi $S_{ABC}$ là diện tích tam giác đều, ta có: $S_{ABC} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.\frac{9}{2}.3\sqrt{3} = \frac{27\sqrt{3}}{4}\ (cm^{2}).$

Bài toán 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng $\widehat{BOC} = 120{^\circ}$ và $\widehat{OCA} = 20{^\circ}$ . Tính số đo các góc của tam giác ABC.

Lời giải

Hình vẽ minh họa:

Xét đường tròn (O) ta có $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BOC}$ và góc ở tâm cùng chắn $\widehat{BC}$ . nên $\widehat{BAC} = \frac{1}{2}\widehat{BOC} = \frac{1}{2}.120{^\circ} = 60{^\circ}.$

Tam giác $\widehat{BOC}$ cân tại O có góc ở đỉnh $\widehat{BOC} = 120{^\circ}$ (GT)

$\Rightarrow \widehat{OBC} = \widehat{OCB} = \frac{180{^\circ} - \widehat{BOC}}{2} = \frac{180{^\circ} - 120{^\circ}}{2} = 30{^\circ}.$

Do đó, $\widehat{BCA} = \widehat{OCB} + \widehat{OCA} = 30{^\circ} + 20{^\circ} = 50{^\circ}.$

Xét tam giác ABC ta có:

$\widehat{ABC} = 180{^\circ} - \left( \widehat{BAC} + \widehat{BCA} \right)$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 180{^\circ} - (60{^\circ} + 50{^\circ}) = 70{^\circ}$

Vậy số đo các góc của tam giác ABC là: $\widehat{BAC} = 60{^\circ};\ \widehat{ABC} = 70{^\circ};\ \widehat{BCA} = 50{^\circ}.$

Dạng II. Bài toán thực tế

Bài toán 1. Một mảnh vườn có dạng hình tam giác đều ABC cạnh 12m. Người ta muốn trồng hoa ở phần đất bên trong đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tính diện tích phân đất trồng hoa đó.

Lời giải

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là tâm đường trò nội tiếp tam giác đều ABC.

Kẻ đường cao AH, khi đó tâm I của đường tròn nội tiếp (giao điểm của ba đường phân giác cũng là trọng tâm).

Ta có AH là đường trung tuyến suy ra H là trung điểm của BC hay $BH = CH = \frac{BC}{2} = \frac{12}{2} = 6\ (m)$ .

Xét tam giác BHI vuông tại H. Có BH = 6m và $\widehat{IBH} = 30{^\circ}$ .

Theo định lý về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$IH = BH.tan\widehat{IBH} = 6.tan30{^\circ} = 2\sqrt{3}\ (m)$ .

Vậy bán kính của phần đất trồng hoa là $2\sqrt{3}\ (m)$ .

Do đó diện tích phần đất trồng hoa là $S = \pi.\left( 2\sqrt{3} \right)^{2} = 12\pi\ \ \left( m^{2} \right)$ .

Bài toán 2. Ba vị trí A; B; C ở một công viên là ba đỉnh của một tam giác đều cạnh 15m. Người ta cần chọn vị trí O cách đều ba vị trí A; B; C để làm một cột đèn. Tính khoảng cách từ vị trí O đến mỗi vị trí A; B; C.

Lời giải

Hình vẽ minh họa:

Gọi O là vị trí cách đều ba vị trí A; B; C nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung trực).

Do tam giác ABC đều (gt) nên O đồng thời là trực tâm và trọng tâm của tam giác hay AH là đường cao của tam giác ABC đều cạnh 15m.

Suy ra $AH = \frac{15\sqrt{3}}{2}\ (m)$ vì AH đồng thời là trung tuyến của tam giác ABC có trọng tâm O suy ra $OA = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3} \cdot \frac{15\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\ (m)$ .

Vậy khoảng cách từ vị trí O đến mỗi vị trí A; B; C là $5\sqrt{3}\ (m)$ .

Dạng III. Chứng minh

Bài toán 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng $\widehat{BAH} = \widehat{OAC}$ .

Lời giải

Hình vẽ minh họa:

Gọi OI là đường cao của tam giác AOC cân tại O, ta có OI đồng thời là đường phân giác của góc $\widehat{AOC}$ hay $\widehat{AOI} = \widehat{COI} = \frac{1}{2}\widehat{AOC}$ .

Xét đường tròn (O) ta có $\widehat{ABC}$ và $\widehat{AOC}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung nên $\widehat{ABC} = \frac{\widehat{AOC}}{2}$ hay $\widehat{ABC} = \widehat{AOI}$ .

Hai tam giác APB và AIO đều vuông tại P và I mà $\widehat{ABP} = \widehat{AOI}$ (chứng minh trên)

Nên suy ra $\widehat{BAH} = \widehat{OAC}$ (cùng phụ với hai góc bằng nhau).

Bài toán 2. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD = 2R. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh:

a) $DB\bot AB$ và $CD\bot AC$ .

b) Tứ giác BHCD là hình bình hành.

c) AC² + BH² = 4R².

d) Ba điểm H; M; D thẳng hàng và AH = 2OM.

Lời giải

Hình vẽ minh họa:

a) Xét tam giác ABD, ta có: OB = OA = OD = R hay OB = AD

Chứng tỏ tam giác ABD vuông tại B

Hay $DB\bot AB$ (đpcm)

Chứng minh tương tự ta có $CD\bot AC$ .

b) Ta có BH//DC (cùng vuông góc với AC)

Tương tự CH//BD (Cùng vuông góc với AB)

Tứ giác BHCD là hình bình hành (Các cạnh đối song song)

c) Ta có tam giác ACD vuông tại C (chứng minh trên)

AC² + DC² = AD² (định lí pythagore)

Mà DC = BH (cmt) $AC^{2} + BH^{2} = AD^{2} = (2R)^{2} =4R^{2}$ .

d) Ta có M là trung điểm của BC (gt) mà tứ giác BHCD là hình bình hành (cmt) nên đường chéo thứ hai HD phải qua trung điểm M hay ba điểm H, M, D thẳng hàng.

* Xét tam giác AHD có là trung điểm của AD (gt)

M là trung điểm của HD (cmt) nên OM là đường trung bình của tam giác AHD => AH = 2OM

D. Bài tập đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp có lời giải lớp 9

Bài toán 1. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có cạnh bằng a.

Bài toán 2. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 5cm, AC = 12cm.

Bài toán 3. Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Tính bán kính của (O), biết rằng tam giác ABC vuông cân tại A và có cạnh bằng $2\sqrt{2}\ \ cm.$

Bài toán 4: Cho tam giác ABC vuông tại B có $\widehat{C} = 60{^\circ},\ BC = 3\ cm$ và O là trung điểm AC Xác định tâm, bán kính và vẽ đường tròn ngoại tiếp của

a) $\Delta ABC$ ; b) $\Delta BCD.$

Bài toán 5. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3cm và nội tiếp đường tròn (O) như hình vẽ.

a) Tính bán kính R của đường tròn (O).

b) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung BC và cung nhỏ BC.

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1

Hình vẽ minh họa:

Gọi là giao điểm của ba đường trung trực của tamgiác đều thì đồng thời là trọng tâm và trực tâm của tam giác.

Ta có $OA = OB = OC = \frac{2}{3}AH$ ( là chân đường cao kẻ từ A)

Do đó, là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

Mặt khác, xét tam giác vuông tại .

Theo định lí Pythagore, ta có:

$AB^{2} = AH^{2} + HB^{2}$

$\Rightarrow AH^{2} = AB^{2} - HB^{2} = a^{2} - \left( \frac{a}{2} \right)^{2}$

$\Rightarrow AH = \sqrt{a^{2} - \left( \frac{a}{2} \right)^{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow AO = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ (Tính chất trọng tâm)

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh có tâm là trọng tâm tam giác và có bán kính $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Bài tập 2.

Hình vẽ minh họa:

Tam giác vuông tại (GT)

Theo định lí Pythagore, ta có:

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 169$

$\Rightarrow BC = \sqrt{169} = 13\ (cm)$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông tại là: $\frac{BC}{2} = \frac{13}{2}\ (cm)$ (nửa cạnh huyền )

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

--------------------------------------------------

Trên đây là nội dung chuyên đề đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác Toán 9, bao gồm đầy đủ lý thuyết trọng tâm và bài tập vận dụng có lời giải chi tiết. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp bạn hiểu sâu kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi. Đừng quên kết hợp với các chuyên đề liên quan như góc nội tiếp, tính chất tam giác, hay định lý đường trung trực để học hình học lớp 9 một cách toàn diện. Chúc bạn học tốt!

Tải về

Chọn file muốn tải về: