Những sai lầm cần tránh khi giải bài toán bất đẳng thức

Bất đẳng thức là một trong những chuyên đề trọng tâm và nâng cao trong chương trình Toán học, đặc biệt thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, vào lớp 10 và kỳ thi THPT. Tuy nhiên, nhiều học sinh thường gặp sai lầm phổ biến khi giải loại bài toán này, từ việc áp dụng sai điều kiện, đến việc sử dụng bất đẳng thức không phù hợp. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn nhận diện những sai lầm cần tránh khi giải bài toán bất đẳng thức, đồng thời cung cấp mẹo và hướng xử lý đúng, giúp bạn làm bài hiệu quả và chính xác hơn.

1. Sai lầm khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khác nhau

Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm \(\frac{1}{x},\frac{4}{y}\) ta có: \(\frac{1}{x} + \frac{4}{y} \geq \frac{4}{\sqrt{xy}}\) (1)

Lại có: \(\frac{1}{2} = \frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}\) (2 )

Từ (1) và (2) suy ra : \(A\ = \ \frac{1}{x} + \frac{4}{y} \geq \frac{4}{\sqrt{xy}} \geq \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8\) . Vậy Min A = 8

Phân tích sai lầm:

Đẳng thức sảy ra ở (1) khi \(\frac{1}{x} = \frac{4}{y} \Leftrightarrow 4x = y\)

Đẳng thức sảy ra ở (2) khi x = y . Từ đó suy ra x = y = 0 ( Loại vì x + y = 1)

Có bạn đến đây kết luận không có giá trị nhỏ nhất cũng là kết luận sai.

Hướng dẫn giải đúng

Vì x + y = 1 nên \(A\ = \ (x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{4}{y} \right) = 5 + \frac{4x}{y} + \frac{y}{x}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm \(\frac{4x}{y},\frac{y}{x}\) Ta có : \(\frac{4x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2\sqrt{\frac{4x}{y}.\frac{y}{x}} = 4\)

Dấu “=” xẩy ra khi \(\left\{ \begin{matrix} \frac{4x}{y} = \frac{y}{x} \\ x + y = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 2x \\ x + y = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \frac{1}{3} \\ y = \frac{2}{3} \\ \end{matrix} \right.\)

Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác nhau trong 1 bài toán thì ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời sảy ra dấu bằng không. Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.

2. Sai lầm khi không sử dụng hết điều kiện của bài toán

Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm \(x,\frac{1}{x}\)

Ta có: \(x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x.\frac{1}{x}} = 2\) (1)

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm \(y,\ \frac{1}{y}\)

Ta có: \(y + \frac{1}{y} \geq 2\sqrt{y.\frac{1}{y}} = 2\) (2)

Từ (1) và (2) =>A \(\geq\) 8 => Min A = 8

Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy ra ở (1) khi \(\frac{1}{x} = x \Leftrightarrow x^{2} = 1\)

Đẳng thức sảy ra ở (2) khi \(\frac{1}{y} =y \Leftrightarrow y^{2} = 1\). Từ đó suy ra x = y = 1 (Loại vì x + y = 1)

Hướng dẫn giải đúng

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có:

\(\frac{x\ + \ y\ }{2} \geq \sqrt{xy} \Rightarrow \sqrt{xy} \leq \frac{1}{2} \Rightarrow xy \leq \frac{1}{4}\)

Ta có: \(A\ = \ 4\ + \ x^{2} + y^{2} + \left( \frac{1}{x} \right)^{2} + \left( \frac{1}{y} \right)^{2}\).

Khi đó: x² + y² = (x + y)² – 2xy \(\geq\) 1 - \(\frac{1}{2}\)= \(\frac{1}{2}\) (1)

\(\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} \geq 2\sqrt{\frac{1}{x^{2}.y^{2}}} = \frac{2}{xy} \geq 8\) (2).

Từ (1) và (2) =>A \(\geq\) 8 +\(\frac{1}{2}\)+4 =\(\frac{25}{2}\) => Min A = \(\frac{25}{2}\) khi x = y =\(\frac{1}{2}\)

Lưu ý: Khi giải bài toán mà không sử dụng hết điều kiện của đầu bài thì cần kiểm tra lại giả thiết. Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.

3. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1

Lời giải sai: A đạt Max khi \(x^{2} - 6x + 17\) đạt Min

Ta có : \(x^2- 6x + 17 = (x - 3)^{2} + 8\geq 8\)

Do đó Min \(\left( x^{2} - 6x + 17 \right) = 8 \Leftrightarrow x = 3\).

Vậy Max A = \(\frac{1}{8} \Leftrightarrow x= 3\)

Phân tích sai lầm: Kết quả đúng nhưng lập luận sai ở chỗ cho rằng “ A có tử không đổi nên đạt GTLN khi mẫu đạt GTNN” mà chưa đua ra nhận xét tử và mẫu là các số dương

Hướng dẫn giải đúng:

Bổ xung thêm nhận xét \(x^{2} - 6x + 17 = (x - 3)^{2} + 8 \geq 8\) nên tử và mẫu của A là dương

Ta có: A = x² + y² \(\geq\)2xy => A đạt GTNN \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 2xy \\ x + y = 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = y = 2\)

Khi đó Min A = 8

Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai nhưng lập luân sai lầm ở chỗ ta mới c/m được f(x,y) \(\geq\)g(x,y) chứ chưa chứng minh được f(x,y) \(\geq\)m với m là hằng số.

Chẳng hạn: Từ x² \(\geq\) 4x – 4 => x² đạt nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\) x² = 4x – 4 \(\Leftrightarrow\)(x – 2 )² = 0 \(\Leftrightarrow\) x =2

Đi đến min x² = 4 \(\Leftrightarrow\) x = 2

Dễ thấy kết quả đúng phải là Min x² = 0 \(\Leftrightarrow\) x =0

Hướng dẫn giải đúng

Ta có x + y =4 \(\Leftrightarrow (x\ + \ y)^{2}\ = 16\)(1)

Ta lại có : \((x\ - \ y)^{2}\ \geq \ 0\ \Rightarrow x^{2} - 2xy + y^{2}\ \geq 0\) (2)

Từ (1) và (2) => 2( x² + y² ) \(\geq 16\) => A = x² + y² \(\geq 8\)

Vậy Min A = 8 khi và chỉ khi x = y = 2.

Lưu ý: Cần nắm vững t/c của BĐT cụ thể trong trường hợp so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên, số nguyên … Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.

4. Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2

Lời giải sai: x + \(\sqrt{x}\) = \(\left( \sqrt{x} \right)^{2}\ + 2\sqrt{x}\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\)

\(= \left( \sqrt{x} -\frac{1}{2} \right)^{2} - \frac{1}{4} \geq - \frac{1}{4}\).

Vậy: Min A = \(- \frac{1}{4}\)

Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh \(f(x) \geq - \frac{1}{4}\)chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x)=\(- \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sqrt{x} = - \frac{1}{2}\) (vô lí)

Hướng dẫn giải đúng

ĐKTT \(\sqrt{x}\) là \(x \geq 0\) do đó : A = x + \(\sqrt{x} \geq 0\) => Min A = 0 \(\Leftrightarrow x = 0\)

Lời giải sai: Áp dụng BĐT \(4xy \leq (x + y)^{2}\) ta có: \(\left\{ \begin{matrix} 4x(z + y) \leq (x + y + z)^{2} = 1 \\ 4y(z + x) \leq (x + y + z)^{2} = 1 \\ 4z(x + y) \leq (x + y + z)^{2} = 1 \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow 64xyx(z + y)(y + z)(z + x) \leq 1\\) \(\Rightarrow xyx(z + y)(y + z)(z + x) \leq \frac{1}{64}\).

Vậy Max A = \(\frac{1}{64}\)

Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ chưa chi ra khả năng xảy ra dấu “=”

Điều kiện để Max A = \(\frac{1}{64}\)là: \(\left\{ \begin{matrix} z + y\ = \ x \\ y + x\ = \ z \\ x + z\ = \ y \\ x\ + \ z\ + \ y\ = \ 1 \\ x,\ y,\ z\ \geq \ 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = y = z = 0 \\ x\ + \ z\ + \ y\ = \ 1 \\ x,\ y,\ z\ \geq \ 0 \\ \end{matrix} \right.\) (vô lí)

Lời giải đúng: Ta có : \(1\ = \ x\ + y + \ z\ \geq 3\sqrt[3]{x.y.z}\) (1)

\(2 = (x + y) + (z + x) + (y + z) \geq 3\sqrt[3]{(x + y)(z + x)(y + z)}\) (2)

Từ (1) và (2) => \(2\ \geq \ 3\sqrt[3]{x.y.z.(x\ + y)(z + x)(y + \ z)}\) hay: \(2\ \geq \ 3\sqrt[3]{A} = > A \leq \left( \frac{2}{9} \right)^{3}\)

Max A = \(\left( \frac{2}{9} \right)^{3}\) khi \(\left\{ \begin{matrix} (x + y) = (z + x) = (y + z) \\ x + y + z = 1 \\ x,y,z \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow x = y = z = \frac{1}{3}\)

Lời giải sai: Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} x + a \geq 2\sqrt{ax} \\ x + b \geq 2\sqrt{bx} \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow (x + a)(x + b) \geq 2\sqrt{ax}.2\sqrt{bx} = 4x\sqrt{ab}\)

Do đó: \(A = \frac{(x + a)(x + b)}{x} \geq \frac{4x\sqrt{ab}}{x} = 4\sqrt{ab}\)

Vậy Min A = \(4\sqrt{ab} \Leftrightarrow x = a = b\)

Phân tích sai lầm: Nếu \(a \neq b\) thì không có: A = \(4\sqrt{ab}\)

Hướng dẫn giải đúng

Ta có \(A = \frac{(x + a)(x + b)}{x} = \frac{x^{2} + ax + bx + ab}{x} = \left( x + \frac{ab}{x} \right) + (a + b)\).

Theo bất đẳng thức Cauchy: \(x + \frac{ab}{x} \geq 2\sqrt{ab}\) nên A ≥ 2\(\sqrt{ab}\) + a + b = \(\left( \sqrt{a} + \sqrt{b}\right)^{2}\)

min A = \(\left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right)^{2}\) khi và chi khi \(\left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{ab}{x} \\ x > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = \sqrt{ab}\).

-----------------------------------------------

Tránh được các sai lầm khi giải bài toán bất đẳng thức chính là chìa khóa giúp bạn nâng cao độ chính xác và tốc độ làm bài. Hy vọng những lỗi sai thường gặp và mẹo khắc phục được chia sẻ trong bài viết đã giúp bạn củng cố tư duy, tự tin hơn trong quá trình luyện tập cũng như bước vào các kỳ thi quan trọng. Hãy tiếp tục rèn luyện và khám phá thêm nhiều chuyên đề Toán thú vị khác nhé!