Bài tập Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
Tìm m để hàm số có tiệm cận đứng
Trong các dạng toán về khảo sát hàm số, bài toán tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là nội dung quan trọng, đòi hỏi học sinh nắm vững điều kiện xác định và giới hạn của hàm số. Bài viết này tuyển chọn hệ thống bài tập đường tiệm cận chứa tham số, giúp bạn hiểu rõ bản chất tiệm cận đứng và vận dụng linh hoạt vào từng trường hợp cụ thể. Nội dung được trình bày mạch lạc, dễ hiểu, phù hợp cho việc ôn tập và nâng cao kỹ năng giải toán.
A. Cách tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
Đường thẳng 
\(x = x_{0}\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y =
f(x)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
\(\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}f(x) = +
\infty;\) \(\lim_{x \rightarrow
x_{0}^{-}}f(x) = - \infty;\)
\(\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}f(x) = +
\infty;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } {\mkern 1mu} f(x) = - \infty\)
Chú ý:
-
Thông thường tại giá trị
\(x_{0}\) hàm số \(f(x)\) không xác định. -
Thông thường, nếu
\(f(x) =
\frac{p(x)}{q(x)}\) thì \(x =
x_{0}\) là nghiệm của \(q(x)\) nhưng không là nghiệm của \(p(x)\).
Sử dụng máy tính bỏ túi:
-
Tính
\(\lim_{x \rightarrow
{x_{0}}^{+}}f(x):\) Nhập hàm \(f(x)\) \(CALC\) \(x_{o} +
10^{- 12}\) . Nếu \(ERROR\), thay bằng \(10^{- 6}\) . -
Tính
\(\lim_{x \rightarrow x_{0}
-}f(x):\) Nhập hàm \(f(x)\) \(CALC\) \(x_{o} - 10^{- 12}\) . Nếu\(ERROR\), thay bằng \(10^{- 6}\) .
Một số đồ thị thường gặp:
-
Đồ thị hàm số
\(y = \frac{ax + b}{cx +
d}\) có tiệm cận đứng \(x = -
\frac{d}{c}\). -
Đồ thị hàn số
\(y = \alpha^{ax +
b}\) không có tiệm cận đứng. -
Đồ thị hàm số
\(y = log_{\alpha}(ax +
b)\) có tiệm cận đứng \(x = -
\frac{b}{a}\)
B. Bài tập minh họa tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{mx + 4}{mx - 1}\) có tiệm cận đứng đi qua điểm \(A(1;2)\).
A. \(m = - 2\). B. \(m = 1\). C. \(m =
2\). D. \(m = - 1\).
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Để đường tiệm cận đứng đi qua điểm \(A(1;2)\) thì đường tiệm cận đứng là \(x = 1\).
Do đó \(x = 1\) là nghiệm của mẫu.
Vậy \(m = 1\).
Ví dụ 2. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{(x - m)\left( x^{2} - 2x + m
\right)}\) có ba tiệm cận đứng.
A. \(( - \infty;1)\). B. \(( - \infty; + \infty)\backslash\left\{ 0;1
\right\}\). C. \(( -
1;1)\backslash\left\{ 0 \right\}\). D. \(( - \infty;1)\backslash\left\{ 0
\right\}\).
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{(x - m)\left(
x^{2} - 2x + m \right)}\) có ba tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình \((x - m)\left( x^{2} - 2x + m
\right)\) có ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(x^{2} - 2x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác \(m\) khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{gathered}
\Delta ' = 1 - m > 0 \hfill \\
{m^2} - 2m + m \ne 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m < 1 \hfill \\
{m^2} - m \ne 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m < 1 \hfill \\
m \ne 0 \hfill \\
m \ne 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m < 1 \hfill \\
m \ne 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{x + 1}{x^{2} + 2mx + 3m + 4}\) có đúng một đường tiệm cận đứng.
A. \(m \in \left\{ - 1;4 \right\}\). B. \(m \in ( - 1;4)\).
C. \(m \in ( - \infty; - 1) \cup (4; +
\infty)\). D. \(m \in \left\{ - 5; -
1;4 \right\}\).
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Từ yêu cầu bài toán \(m \in \left\{ - 5; -
1;4 \right\}\) phương trình \(x^{2} +
2mx + 3m + 4 = 0\) có nghiệm kép hoặc có nghiệm \(x = - 1\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
m^{2} - 3m - 4 = 0 \\
( - 1)^{2} - 2m + 3m + 4 = 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = - 1 \\
m = 4 \\
m = - 5
\end{matrix} \right.\).
B. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết
Bài tập 1. Biết rằng đồ thị hàm số \(f(x) =
\frac{x - 1}{x^{2} + mx + n}\) có hai tiệm cận đứng \(x = x_{1}\) và \(x = x_{2}\) sao cho \(\left\{ \begin{matrix}
x_{1} - x_{2} = 5 \\
x_{1}^{3} - x_{2}^{3} = 35
\end{matrix} \right.\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(m + n = - 1\). B. \(m + n = - 7\). C. \(m + n = 1\). D. \(m + n = 7\).
Bài tập 2. Khi \(m \neq 0\) phương trình \(x^{2} - m^{2} = 0\) có hai nghiệm do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng nên đồ thị hàm số có 3 đườn Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2x^{3} - 3x^{2} + m}\) có ba tiệm cận đứng.
A. \(( - 1;0)\). B. \(( - \infty; - 1) \cup (0; + \infty)\). C. \((0;1)\). D. \(( - \infty;0) \cup (1; + \infty)\).
Bài tập 3. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{(x - 2)\left( x^{2} - 2x + m^{2}
\right)}\) có đúng hai tiệm cận đứng.
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.
--------------------------------------------
Thông qua các bài tập đã phân tích, bạn có thể tự tin xác định giá trị m để đồ thị hàm số xuất hiện tiệm cận đứng một cách chính xác. Việc luyện tập theo từng dạng sẽ giúp bạn tránh nhầm lẫn trong quá trình xét điều kiện và xử lý giới hạn. Hãy tiếp tục ôn luyện thêm các chuyên đề về đường tiệm cận để hoàn thiện kiến thức khảo sát hàm số và nâng cao hiệu quả làm bài.
