Cách tính xác suất A hợp B
Các công thức tính xác suất
Hiểu rõ cách tính xác suất A hợp B là kỹ năng quan trọng trong xác suất thống kê, đặc biệt khi bạn cần xác định khả năng xảy ra ít nhất một trong hai biến cố. Bài viết này cung cấp công thức chi tiết tính xác suất của biến cố hợp P(A∪B), phân biệt các trường hợp có giao nhau hoặc xung khắc, kèm theo ví dụ thực tế và hướng dẫn dễ hiểu. Khám phá ngay để làm chủ kiến thức xác suất cơ bản một cách hiệu quả!
A. Biến cố hợp là gì?
Cho A và B là hai biến cố. Biến cố: “A hoặc B xảy ra” được gọi là biến cố hợp của A và B, kí hiệu là 
\(A \cup
B\).
Biến cố hợp của A và B là tập con \(A \cup
B\) của không gian mẫu \(\Omega\)
Hình vẽ minh họa
Ví dụ: Có hai chiếc hộp A B, mỗi hộp đựng 30 tấm thẻ, đánh số từ 1 đến 30. Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Kí hiệu a b, là số ghi trên thẻ tương ứng rút từ hộp A và hộp B.
Gọi M là biến cố: " a là số chẵn"; N là biến cố: " b là số chẵn".
Xét biến cố E: " a + b là số lẻ”.
Chứng minh rằng \(E = M\overline{N} \cup
\overline{M}N\).
Hướng dẫn giải
Nếu \(M\overline{N}\) xảy ra thì a là số chẵn, b là số lẻ, do đó a + b lẻ tức là E xảy ra.
Nếu \(\overline{M}N\) xảy ra thì a là số lẻ, b là số chẵn, do đó a + b lẻ tức là E xảy ra.
Ngược lại, nếu E xảy ra thì a và b phải khác tính chẵn lẻ.
Nếu a chẵn, b lẻ thì \(M\overline{N}\) xảy ra.
Nếu a lẻ, b chẵn thì \(\overline{M}N\) xảy ra.
Vậy \(E = M\overline{N} \cup
\overline{M}N\)
B. Công thức tính xác suất của biến cố hợp
Công thức tổng quát:
Cho hai biến cố A và B, xác suất của biến cố hợp \(A \cup B\) được tính theo công thức:
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap
B)\)
Trong đó:
- \(P(A)\): Xác suất xảy ra biến cố A
- \(P(B)\): Xác suất xảy ra biến cố B.
- \(P(A \cap B)\): xác suất xảy ra đồng thời biến cố A và biến cố B.
Trường hợp đặc biệt
Nếu hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc với nhau thì:
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
Công thức này gọi là công thức cộng xác suất cho hai biến cố độc lập.
Ví dụ. Trong một buổi lễ kỉ niệm nhân ngày 20/10 có 20 đại biểu nữ và 10 đại biểu nam. Ban tổ chức mời 5 đại biểu phát biểu ý kiến. Tính xác suất để trong 5 phát biểu mời có một hoặc hai phát biểu là của đại biểu nam?
Hướng dẫn giải
Gọi A là biến cố "Trong 5 phát biểu mời có đúng một phát biểu là của đại biểu nam".
Gọi B là biến cố "Trong 5 phát biểu mời có đúng hai phát biểu là của đại biểu nam".
Biến cố \(P(A \cup B)\) là "Trong 5 phát biểu mời có một hoặc hai phát biểu là của đại biểu nam".
Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{matrix}
P(A) = \dfrac{C_{10}^{1}.C_{20}^{4}}{C_{30}^{5}} \\
P(B) = \dfrac{C_{10}^{2}.C_{20}^{3}}{C_{30}^{5}} \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow P(A \cup B) \approx 0,7\)
Ví dụ: Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng. Hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.?
Hướng dẫn giải
Gọi \(A;B;C;D\) lần lượt là các biến cố: “Lấy được bi đỏ từ hộp thứ nhất”, “Lấy được bi đỏ từ hộp thứ hai”; “Lấy được bi trắng từ hộp thứ nhất”, “Lấy được bi trắng từ hộp thứ hai”.
Khi đó \(\left\{ \begin{matrix}
P(A) = \dfrac{4}{7};P(B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \\
P(C) = \dfrac{3}{7};P(D) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \\
\end{matrix} \right.\)
Gọi E; F lần lượt là các biến cố: “Hai viên bi lấy ra cùng màu đỏ”, “Hai viên bi lấy ra cùng màu trắng”.
Khi đó \(E = AB;F = CD\)
Do A và B và hai biến cố độc lập nên \(P(E)
= P(AB) = P(A).P(B) = \frac{4}{21}\)
Do C và D là hai biến cố độc lập nên \(P(F)
= P(CD) = P(C).P(D) = \frac{2}{7}\)
Do E và F là hai biến cố xung khắc nên xác suất để lấy được hai viên bi cùng màu là:
\(P(E \cup F) = P(E) + P(F) =
\frac{4}{21} + \frac{2}{7} = \frac{10}{21}\)
