Cách tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nhanh và chính xác
Bài tập tìm tiệm cận đứng hàm số Toán 12
Trong chương Khảo sát hàm số, việc xác định tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là kỹ năng quan trọng giúp học sinh phân tích chính xác hình dạng đồ thị và tránh sai sót khi vẽ. Dạng toán này thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán, đòi hỏi cách làm nhanh, rõ ràng và chính xác. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn bạn phương pháp nhận biết tiệm cận đứng một cách hiệu quả, dễ áp dụng trong mọi bài toán.
A. Cách xác định tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Với đường tiệm cận đứng ta xét:
\(\begin{gathered}
\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } {\mkern 1mu} f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } {\mkern 1mu} f(x) = - \infty ; \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } {\mkern 1mu} f(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } {\mkern 1mu} f(x) = - \infty \hfill \\
\end{gathered}\)
Sử dụng máy tính bỏ túi:
Tính \(\lim_{x \rightarrow
{x_{0}}^{+}}f(x):\) Nhập hàm \(f(x)\) \(CALC\) \(x_{o} +
10^{- 12}\) . Nếu \(ERROR\), thay bằng \(10^{- 6}\) .
Tính \(\lim_{x \rightarrow x_{0}
-}f(x):\) Nhập hàm \(f(x)\) \(CALC\) \(x_{o} - 10^{- 12}\) . Nếu\(ERROR\), thay bằng \(10^{- 6}\) .
B. Bài tập ví dụ minh họa tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Ví dụ 1. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{- x + 3}{x + 1}\) là:
A. \(x = 1\). B. \(y = - 1\). C. \(x
= - 1\). D. \(x = 3\).
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: \(\lim_{x \rightarrow - 1^{+}}y = +
\infty;\lim_{x \rightarrow - 1^{-}}y = - \infty\)
Vậy đường thẳng \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Ví dụ 2. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}\) là
A. \(3\). B. \(2\). C. \(0\). D. \(1\).
Hướng dẫn giải
Chọn D
Tập xác định của hàm số: \(D = \lbrack -
9; + \infty)\backslash\left\{ 0; - 1 \right\}\)
Ta có: \(\lim_{x \rightarrow ( - 1)^{+}}y= \lim_{x \rightarrow ( - 1)^{+}}\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x} = +\infty\) và \(\lim_{x \rightarrow ( -1)^{-}}y = \lim_{x \rightarrow ( - 1)^{-}}\frac{\sqrt{x + 9} -3}{x^{2} + x} = - \infty\)
Suy ra tiệm cận đứng là: \(x = -
1\)
\(\lim_{x \rightarrow 0^{+}}y = \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x} =\frac{1}{6}\) và\(\lim_{x \rightarrow0^{-}}y = \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x^{2} + x}= \frac{1}{6}\)→ \(x = 0\) không là TCĐ
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.
Ví dụ 3. Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash\left\{ 1
\right\}\) và có bảng biến thiên như sau:
Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2f(x) -
5}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. \(0\). B. \(2\). C. \(1\). D. \(4\).
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có \(2f(x) - 5 = 0 \Leftrightarrow f(x)
= \frac{5}{2}\) (1)
Dựa vào BBT ta suy ra phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt \(x_{1};x_{2};x_{3};x_{4}\) (với \(x_{1} < - 2 < x_{2} < 1 < x_{3} < 2
< x_{4}\)).
Mặt khác hàm số \(y = \frac{1}{2f(x) - 5} =
g(x)\) có tử thức là hằng số nên ta suy ra đồ thị hàm số \(y = g(x)\) có bốn tiệm cận đứng.
Ví dụ 4. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Vì \(\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) =
5\) \(\Rightarrow\) Đường thẳng \(y = 5\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vì \(\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) =
2\) \(\Rightarrow\)Đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vì \(\lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = +
\infty\) \(\Rightarrow\) Đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Kết luận: Đồ thị hàm số có tổng số ba đường tiệm cận.
C. Đề bài trắc nghiệm tự rèn luyện
Câu 1. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{x + 1}{x - 2}\) là
A. \(y = 2\). B. \(y = 2\). C. \(y =
1\). D. \(x = 2\).
Câu 2. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng?
A. \(y = \frac{x^{2} - 3x + 2}{x -
1}\) B. \(y = \frac{x^{2}}{x^{2} +
1}\) C. \(y = \sqrt{x^{2} - 1}\) D. \(y = \frac{x}{x + 1}\)
Câu 3. Đồ thị hàm số \(y = \frac{7 - 2x}{x
- 2}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng?
A. \(x = - 3\). B. \(x = 2\). C. \(x =
- 2\). D. \(x = 3\).
Câu 4. Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: \(y = \frac{x^{2} - 3x - 4}{x^{2} -
16}\)?
A. 2 B. 3 C. 1 D. 0
Câu 5. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{\sqrt{x + 25} - 5}{x^{2} + x}\) là
A. 2 B. 0 C. 1 D. 3
Câu 6. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{\sqrt{x + 16} - 4}{x^{2} + x}\) là
A. 0 B. 3 C. 2 D. 1
Câu 7. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x^{2} + x}\) là
A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.
Câu 8. Số các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x^{2} - 1}\) là
A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.
Câu 9. Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng?
A. \(y = \frac{1}{\sqrt{x}}\) B. \(y = \frac{1}{x^{4} + 1}\) C. \(y = \frac{1}{x^{2} + 1}\) D. \(y = \frac{1}{x^{2} + x + 1}\)
Câu 10. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{2 - x}{x^{2} - 5}\)?
A. 3. B. 4. C. 1. D. 2.
-----------------------------------------------------
Khi nắm vững bản chất giới hạn và điều kiện xác định của hàm số, việc tìm tiệm cận đứng trở nên đơn giản và logic hơn. Hy vọng bài viết đã giúp bạn hệ thống lại phương pháp cần thiết, từ đó tự tin xử lý các câu hỏi khảo sát hàm số trong đề THPT Quốc gia môn Toán.
