Chuyên đề Xét tương giao đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên
Bài tập Toán 12: Tương giao đồ thị hàm số có đáp án
Trong chương trình ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, chuyên đề xét tương giao đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên là một nội dung trọng tâm, giúp học sinh rèn luyện tư duy hàm số và kỹ năng giải toán bằng đồ thị. Bài viết này sẽ hệ thống hóa kiến thức, phương pháp, ví dụ minh họa và bài tập vận dụng giúp bạn nắm vững cách xét số nghiệm phương trình qua bảng biến thiên, từ đó tự tin chinh phục các dạng bài trong đề thi tốt nghiệp THPT và thi đại học.
A. Cách xét tương giao của hàm số qua bảng biến thiên
Bài toán: Biện luận số nghiệm của phương trình 
\(f(x)
= g(m)\) (*) dựa vào bảng biến thiên.
- Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) và đường thẳng \(y = g(m)\) (Đường thẳng \(y = g(m)\) song song hoặc trùng với trục \(Ox\)).
- Dựa vào giá trị cực đại hoặc giá trị đặc biệt (nếu có) để xét giá trị của đường thẳng \(y = g(m)\).
Lưu ý: Các bạn có thể vẽ minh họa đồ thị dựa vào bảng biến thiên để xét tương giao dựa vào đồ thị.
B. Ví dụ minh họa xét tương giao đồ thị hàm số thông qua bảng biến thiên
Ví dụ 1. Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình \(f(x) - 2 =
0\) là:
A. \(0\). B. \(3\). C. \(1\). D. \(2\).
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Số nghiệm của phương trình \(f(x) - 2 =
0\) là số giao điểm của đồ thị \(y =
f(x)\) và đường thẳng \(y = 2\).
Dựa vào bảng biến thiên, ta có 3 giao điểm, do đó phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2. Cho hàm số \(y = f(x)\)có bảng biến thiên như hình vẽ bên:
Số nghiệm của phương trình \(f(x) - 2 =
0\) là:
A. \(1\). B. \(2\). C. \(0\). D. \(3\).
Hướng dẫn giải
Chọn B
Số nghiệm của phương trình \(f(x) - 2 =
0\) là số giao điểm của đồ thị \((C):y
= f(x)\) và đường thẳng \(d:y =
2\).
Do đó số nghiệm của phương trình \(f(x) - 2 = 0\) là \(2\).
Ví dụ 3. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình \(f(2 - x) - 1 =
0\) là
A. \(2\). B. \(3\). C. \(0\). D. \(1\).
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt \(t = 2 - x\) thì phương trình \(f(2 - x) - 1 = 0\) trở thành \(f(t) = 1\).
Dựa vào BBT ta thấy phương trình \(f(t) =
1\) có ba nghiệm phân biệt.
Mà mỗi giá trị của \(t\) cho duy nhất một giá trị của \(x\) \((x = 2 - t)\).
Vậy phương trình \(f(2 - x) - 1 =
0\) cũng có ba nghiệm phân biệt. B là đáp án đúng.
Ví dụ 4. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(f(x) = m\) có ba nghiệm phân biệt.
A. \(m < - 2\). B. \(- 2 < m < 4\). C. \(- 2 \leq m \leq 4\). D. \(m > 4\).
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có số nghiệm của phương trình \(f(x) =
m\) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) và đường thẳng \(y = m\).
Do đó, dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình \(f(x) = m\) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(- 2 < m < 4\).
C. Bài tập tự rèn luyện giải bài toán xét tương giao đồ thị hàm số
Bài tập 1. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ:
Tìm \(m\) để phương trình \(f(x) = 2 - 3m\) có bốn nghiệm phân biệt.
A. \(- 1 < m < -
\frac{1}{3}\). B. \(m = -
\frac{1}{3}\). C. \(m \leq - 1\). D. \(m < - 1\) hoặc \(m > - \frac{1}{3}\).
Bài tập 2. Cho hàm số \(y = f(x)\) xác đinh trên \(\mathbb{R}\backslash\left\{ 0
\right\}\), liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:
Tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(f(x) - m = 0\) có đúng \(2\) nghiệm phân biệt là:
A. \(m \leq 1\). B. \(1 < m \leq 3\). C. \(\left\lbrack \begin{matrix}
m > 3 \\
m < 1
\end{matrix} \right.\). D. \(\left\lbrack \begin{matrix}
m = 3 \\
m \leq 1
\end{matrix} \right.\).
Bài tập 3. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình \(\left| f(x)
\right| - 2 = 0\) là:
A. \(2\). B. \(1\). C. \(3\). D. \(4\).
Bài tập 4. Cho hàm số \(y = f(x)\)có bảng biến thiên như hình vẽ:
Phương trình \(\left| f(1 - 3x) + 1 \right|
= 3\) có bao nhiêu nghiệm?
A. \(4\) B. \(3\) C. \(6\) D. \(5\)
Bài tập 5. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên dưới đây:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(f(x) = f(m)\) có ba nghiệm phân biệt.
A. \(m \in ( - 2;2)\). B. \(m \in ( - 1;3)\backslash\left\{ 0;2\right\}\). C. \(m \in ( -
1;3)\). D. \(m \in \lbrack -
1;3\rbrack\backslash\left\{ 0;2 \right\}\).
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
------------------------------------------------------
Trên đây là toàn bộ kiến thức và phương pháp xét tương giao đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên dành cho học sinh ôn thi THPT Quốc gia môn Toán. Hy vọng bài viết giúp bạn hiểu rõ mối liên hệ giữa bảng biến thiên và số nghiệm phương trình, đồng thời biết cách vận dụng linh hoạt trong các dạng bài tương giao đồ thị. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kỹ năng và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!
