Hướng dẫn cách khảo sát hàm số hữu tỉ Toán 12 – Có đáp án chi tiết
Khảo sát đồ thị hàm số hữu tỉ lớp 12
Trong chương trình Toán 12, chuyên đề hàm số hữu tỉ là một trong những phần kiến thức quan trọng, thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia. Việc khảo sát hàm số hữu tỉ giúp học sinh hiểu rõ đặc điểm, giới hạn, tiệm cận, cực trị và đồ thị của hàm số, từ đó vận dụng linh hoạt vào bài tập nâng cao.
Bài viết này cung cấp hướng dẫn chi tiết từng bước khảo sát hàm số hữu tỉ Toán 12, kèm theo đáp án và lời giải minh họa cụ thể. Nhờ đó, học sinh có thể nắm vững quy trình – hiểu sâu bản chất – tự tin xử lý mọi dạng bài khảo sát hàm số trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán.
A. Cách khảo sát hàm số hữu tỉ
Xác định hàm số 
\(y = \frac{ax + b}{cx +
d}\) dựa vào bảng biến thiên, đồ thị.
Hàm số: \(y = \frac{ax + b}{cx + d}\ \ (ad
- bc \neq 0)\).
- Tập xác định: \(D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ - \frac{d}{c} \right\}\); \(y' = \frac{ad - bc}{(cx +
d)^{2}}\).
- Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x =
- \frac{d}{c}\); tiệm cận ngang là \(y
= \frac{a}{c}\).
- Đồ thị hàm số có tâm đối xứng \(I\left(
- \frac{d}{c};\frac{a}{c} \right)\)
Các dạng đồ thị hàm số: \(y = \frac{ax +
b}{cx + d}\)
B. Ví dụ minh họa khảo sát hàm số hữu tỉ
Ví dụ 1. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số \(y = \frac{ax + b}{cx + d}\) với \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) là các số thực.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \(y' > 0\), \(\forall x \neq 2\). B. \(y' > 0\), \(\forall x \neq 3\).
C. \(y' < 0\), \(\forall x \neq 2\). D. \(y' < 0\), \(\forall x \neq 3\).
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số giảm trên từng khoảng xác định nên \(y' < 0\) với \(\forall x \neq 2\).
Ví dụ 2. Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A. \(y = \frac{x - 1}{x + 1}\). B. \(y = \frac{x + 2}{x + 1}\). C. \(y = \frac{x + 4}{x + 1}\). D. \(y = \frac{x + 3}{x + 1}\).
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Nhận thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(x = 1\) nên
ta chọn hàm số có đồ thị như hình vẽ là \(y
= \frac{x - 1}{x + 1}\).
Ví dụ 3. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. \(y = \ x^{3} + 3x^{2} + 1\). B. \(y = \frac{2x + 5}{x + 1}\) .
C. \(y = x^{4} - x^{2} + 1\) . D. \(y = \frac{2x + 1}{x + 1}\) .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Phương pháp tự luận
Nhìn vào đồ thị ta thấy ngay đây là hàm có dạng \(y = \frac{ax + b}{cx + d}\) nên loại đáp án A, C.
Hàm số \(y = \frac{2x + 1}{x + 1}\) có \(ab - bc = 1 > 0\) nên loại đáp án D.
Hàm số \(y = \frac{2x + 5}{x + 1}\) có \(ad - bc = - 3 < 0\) nên chọn đáp án B.
Phương pháp trắc nghiệm
Nhìn vào đồ thị ta thấy ngay đây là hàm có dạng \(y = \frac{ax + b}{cx + d}\) nên loại đáp án A, C.
\(\left. \ \frac{d}{dx}\left( \frac{2x +
1}{x + 1} \right) \right|_{x = 1} = 0,25 > 0\) suy ra hàm số \(y = \frac{2x + 1}{x + 1}\) đồng biến trên tập xác định, loại D.
Ví dụ 4. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A. \(y = \frac{2x + 1}{x - 1}\). B. \(y = \frac{2x - 1}{x + 1}\). C. \(y = \frac{x - 1}{2x + 1}\). D. \(y = \frac{x + 1}{2x - 1}\).
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = \frac{- 1}{2}\),
tiệm cận ngang là đường thẳng \(y =
\frac{1}{2}\),
hàm số đồng biến trên tập xác định, đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(0; - 1)\) nên chọn đáp án C.
Ví dụ 5. Bảng biến thiên trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. \(y = \frac{x + 3}{x - 1}\). B. \(y = \frac{- x - 2}{x - 1}\). C. \(y = \frac{- x + 3}{x - 1}\). D. \(y = \frac{- x - 3}{x - 1}\).
Hướng dẫn giải
Chọn C
Phương pháp tự luận
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy ngay tiệm cận đứng \(x = 1\), tiệm cận ngang \(y = - 1\). suy ra loại đáp án A.
Nhìn vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên các khoảng \(( - \infty;1)\) và \((1; + \infty)\).
\(y = \frac{- x - 2}{x - 1}\) có \(ad - bc = 3 > 0\). Loại đáp án B. \(y = \frac{- x - 3}{x - 1}\) có \(ad - bc = 4 > 0\). Loại đáp án D. \(y = \frac{- x + 3}{x - 1}\) có \(ad - bc = - 2 < 0\). Chọn đáp án C.
Phương pháp trắc nghiệm
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy ngay tiệm cận đứng \(x = 1\), tiệm cận ngang \(y = - 1\)
suy ra loại đáp án A.
Nhìn vào bảng biến thiên , hàm số nghịch biến trên các khoảng \(( - \infty;1)\) và \((1; + \infty)\).
\(\left. \ \frac{d}{dx}\left( \frac{- x -
2}{x - 1} \right) \right|_{x = 0} = 3 > 0\) suy ra loại đáp án B.
\(\left. \ \frac{d}{dx}\left( \frac{- x -
3}{x - 1} \right) \right|_{x = 0} = 4 > 0\)suy ra loại đáp án D.
\(\left. \ \frac{d}{dx}\left( \frac{- x +
3}{x - 1} \right) \right|_{x = 0} = - 2 < 0\)suy ra chọn đáp án C.
C. Bài tập tự rèn luyện khảo sát hàm số hữu tỉ có đáp án chi tiết
Bài tập 1. Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số nào có bảng biến thiên sau?
A. \(y = \frac{x - 2}{x - 1}\). B. \(y = \frac{x + 1}{x - 1}\). C. \(y = \frac{x - 2}{x + 1}\). D. \(y = \frac{x - 1}{x + 1}\).
Bài tập 2. Hàm số \(y = \frac{x + 2}{x -
1}\) có đồ thị là hình vẽ nào dưới đây?
A. 
B. 
C. 
D. 
Bài tập 3. Cho hàm số \(y = \frac{mx + 1}{x
+ m}\). Các đồ thị nào dưới đây có thể là đồ thị biểu diễn hàm số đã cho? Hãy chọn đáp án sai?
A. Hình (I) và (III). B. Hình (III). C. Hình (I). D. Hình (II).
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
-------------------------------------------------------------------
Qua bài viết Hướng dẫn cách khảo sát hàm số hữu tỉ Toán 12 – Có đáp án chi tiết, bạn đã được củng cố toàn diện các bước khảo sát hàm số hữu tỉ: xác định tập xác định, tính đạo hàm, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị chính xác. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập hàm số hữu tỉ có đáp án chi tiết để thành thạo phương pháp, từ đó đạt điểm tối đa trong các bài kiểm tra và kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán.
