Hướng dẫn khảo sát hàm số trùng phương có đáp án toán 12
Khảo sát hàm số trùng phương có đáp án
Trong chương trình Giải tích Toán 12, hàm số trùng phương là dạng toán quan trọng, thường xuất hiện trong các đề thi học kỳ và đề thi THPT Quốc gia. Việc khảo sát hàm số trùng phương giúp học sinh hiểu sâu bản chất của đồ thị hàm số, nắm vững các bước tính đạo hàm, xét cực trị và vẽ đồ thị chính xác.
Bài viết Hướng dẫn khảo sát hàm số trùng phương có đáp án Toán 12 sẽ giúp bạn từng bước thực hiện quy trình khảo sát, đồng thời cung cấp ví dụ minh họa có lời giải chi tiết để dễ hiểu – dễ nhớ – dễ áp dụng. Đây là tài liệu hữu ích cho học sinh lớp 12 ôn luyện chuyên đề khảo sát hàm số và chuẩn bị cho kỳ thi quan trọng sắp tới.
A. Cách khảo sát hàm trùng phương
Xác định hàm số 
\(y = ax^{4} + bx^{2} + c,(a
\neq 0)\) dựa vào BBT hoặc đồ thị.
Các dạng đồ thị hàm số \(y = ax^{4} +
bx^{2} + c\ \ (a \neq 0)\).
Ta có \(y' = 4ax^{3} + 2bx = 2x\left(
2ax^{2} + b \right)\).
Đồ thị hàm số cũng thể hiện bảng biến thiên và ngược lại.
Hàm số là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng.
Hàm số luôn có một điểm cực trị nằm trên trục \(Oy\).
B. Bài tập minh họa khảo sát hàm trùng phương
Ví dụ 1. Hàm số nào có bảng biến thiên ở hình dưới?
A. \(y = x^{4} - 3x^{2}\). B. \(y = - \frac{1}{4}x^{4} + 3x^{2}\).
C. \(y = - x^{4} - 2x^{2}\). D. \(y = - x^{4} + 4x^{2}\).
Hướng dẫn giải
Chọn D
Bảng biến thiên đã cho là của hàm trùng phương có \(a < 0\), nên loại A.
Hàm trùng phương có \(3\) cực trị nên \(a.b < 0\). Suy ra loại C.
Điểm cực đại \(A\left( \sqrt{2},4
\right)\), nên loại B
Vậy \(y = - x^{4} + 4x^{2}\) có bảng biến thiên như hình vẽ.
Ví dụ 2. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số nào dưới đây?
A. \(y = - x^{4} - 2x^{2} - 3\). B. \(y = x^{4} + 2x^{2} - 3\).
C. \(y = x^{4} - x^{2} - 3\). D. \(y = x^{4} - 2x^{2} - 3\).
Hướng dẫn giải
Chọn C
Từ đồ thị hàm số thì đây là hàm bậc 4 với hệ số \(a > 0\) nên loại đáp án A.
Hàm số có 3 cực trị nên hệ số \(b <
0\) loại đáp án B.
Lại thấy \(y = x^{4} - x^{2} - 3,y' =
4x^{3} - 2x,x_{CT} = \frac{1}{\sqrt{2}},y_{CT} = - 3,25\) thỏa mãn với đồ thị hàm cần tìm.
Ví dụ 3. Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( x^{4} - 2x^{2} + 1 \right) = m\) có nghiệm là:
A. \(\lbrack - 4\ ;\ + \infty)\). B. \(( - 4\ ;\ 1)\). C. \(\lbrack 0\ ;\ 1\rbrack\). D. \(\lbrack 0\ ;\ + \infty)\).
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đặt \(t = x^{4} - 2x^{2} + 1 = \left( x^{2}
- 1 \right)^{2}\). Với \(x\mathbb{\in
R}\) thì \(t \in \lbrack 0\ ;\ +
\infty)\).
Do đó phương trình \(f\left( x^{4} - 2x^{2}
+ 1 \right) = m\) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình \(f(t) = m\) có nghiệm thuộc nửa khoảng \(\lbrack 0\ ;\ + \infty)\).
Quan sát đồ thị ta suy ra điều kiện của tham số \(m\) là \(m \in
\lbrack - 4\ ;\ + \infty)\).
C. Bài tập tự rèn luyện khảo sát hàm trùng phương có đáp án
Bài tập 1. Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?
A. \(y = x^{4} + 2x^{2} - 3\). B. \(y = - x^{4} + 2x^{2} - 3\).
C. \(y = x^{4} - 2x^{2} - 3\). D. \(y = x^{4} + 2x^{2} + 3\).
Bài tập 2. Đường cong hình bên là đồ thị của một trong các hàm số sau, hỏi đó là hàm số nào?
A. \(y = x^{4} + 3x^{2} + 1\). B. \(y = x^{4} - 3x^{2} + 1\).
C. \(y = - x^{4} + 3x^{2} + 1\). D. \(y = x^{3} - 3x^{2} + 1\).
Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!
---------------------------------------------------------------
Với phần hướng dẫn chi tiết trong bài viết Hướng dẫn khảo sát hàm số trùng phương có đáp án Toán 12, học sinh có thể nắm chắc quy trình khảo sát hàm số, hiểu rõ cách tìm cực trị, tiệm cận và vẽ đồ thị.
Hãy luyện tập thêm các bài tập hàm số trùng phương Toán 12 có đáp án khác để củng cố kỹ năng, tránh sai sót thường gặp và tự tin đạt điểm cao trong các kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán.
