Quy tắc hình hộp
Vectơ trong không gian
Trong chương trình hình học vectơ, quy tắc hình hộp là kiến thức nền tảng giúp học sinh hiểu rõ cách phân tích vectơ theo nhiều hướng khác nhau. Quy tắc này thường được áp dụng để biểu diễn tổng vectơ, giải bài toán hình học không gian và rút gọn các biểu thức vectơ. Bài viết sẽ giúp bạn tiếp cận quy tắc hình hộp một cách ngắn gọn, trực quan và dễ vận dụng.
Quy tắc hình hộp được phát biểu và áp dụng vào giải toán như thế nào? Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về phần này, VnDoc gửi tới các em lý thuyết Toán 12: Vectơ trong không gian Oxyz. Sau đây mời các em tham khảo chi tiết.
Phát biểu Quy tắc hình hộp
Cho hình hộp 
\(ABCD.A'B'C'D'\), ta có: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}\)
Bài tập minh họa áp dụng quy tắc hình hộp
Ví dụ 1. Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\), \(G\) là trung điểm của \(IJ\). Cho các đẵng thức sau, đẳng thức nào đúng?
- \(\overrightarrow{GA} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} =
\overrightarrow{0}\)
- \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +
\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} =
2\overrightarrow{IJ}\)
- \(\overrightarrow{GA} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} =
\overrightarrow{JI}\)
- \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +
\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = -
2\overrightarrow{JI}\)
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có:
\(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB}
+ \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}\)
\(= \left( \overrightarrow{GA}
+ \overrightarrow{GB} \right) + \left( \overrightarrow{GC} +
\overrightarrow{GD} \right)\)
\(= 2\overrightarrow{GI} +
2\overrightarrow{GJ}\)\(= 2\left( \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{GJ}
\right) = \overrightarrow{0}\).
Ví dụ 2. Cho hình hộp \(ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- \(\overrightarrow{AC_{1}} +
\overrightarrow{A_{1}C} = 2\overrightarrow{AC}\).
- \(\overrightarrow{AC_{1}} + \overrightarrow{CA_{1}}
+ 2\overrightarrow{C_{1}C} = \overrightarrow{0}\).
- \(\overrightarrow{AC_{1}} +
\overrightarrow{A_{1}C} = \overrightarrow{AA_{1}}\).
- \(\overrightarrow{CA_{1}} + \overrightarrow{AC} =
\overrightarrow{CC_{1}}\).
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Hình vẽ minh họa:
+ Gọi \(O\) là tâm của hình hộp \(ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\).
+ Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.
Ví dụ 3. Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) với tâm \(O\). Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau đây:
- \(\overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} =
\overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} +
\overrightarrow{OC'}\)
- \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'}\)
- \(\overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{CD} +
\overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0}\)
- \(\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}\).
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: \(\overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{DD'} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{AD}\) (vô lí)
Ví dụ. Cho hình hộp \(ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Chọn đẳng thức sai?
- \(\overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}C_{1}} +
\overrightarrow{B_{1}A_{1}}\).
- \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}}
+ \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{DC}\).
- \(\overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} =
\overrightarrow{BD_{1}}\).
- \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} +
\overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BC}\).
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Hình vẽ minh họa:
Ta có : \(\overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA}
+ \overrightarrow{BB_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} =
\overrightarrow{BA_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} \neq
\overrightarrow{BC}\) nên D sai.
Do \(\overrightarrow{BC} =
\overrightarrow{B_{1}C_{1}}\)và \(\overrightarrow{BA} =
\overrightarrow{B_{1}A_{1}}\) nên \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} =
\overrightarrow{B_{1}C_{1}} + \overrightarrow{B_{1}A_{1}}\). A đúng
Do \(\overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} =
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}B_{1}} =
\overrightarrow{A_{1}D_{1}} + \overrightarrow{D_{1}B_{1}} =
\overrightarrow{A_{1}B_{1}} = \overrightarrow{DC}\) nên
\(\overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} =
\overrightarrow{DC}\) nên B đúng.
Do \(\overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} = \overrightarrow{BD} +
\overrightarrow{DD_{1}} = \overrightarrow{BD_{1}}\) nên C đúng.
---------------------------------------------
Có thể thấy rằng, quy tắc hình hộp giữ vai trò quan trọng trong việc hiểu và vận dụng cách phân tích vectơ trong hình học. Khi nắm vững quy tắc này, học sinh không chỉ biểu diễn chính xác tổng các vectơ trong không gian mà còn dễ dàng chuyển đổi giữa các cách nhìn hình học và đại số, từ đó làm bài một cách mạch lạc và logic hơn.
Việc luyện tập thường xuyên các bài toán áp dụng quy tắc hình hộp sẽ giúp người học tránh được những sai lầm phổ biến khi phân tích vectơ, đồng thời nâng cao khả năng tư duy không gian. Đây cũng là nền tảng cần thiết để tiếp cận các chuyên đề nâng cao như tích vô hướng, tích có hướng hay các bài toán hình học không gian phức tạp hơn.
Vì vậy, để học tốt phần vectơ, học sinh nên dành thời gian rèn luyện quy tắc hình hộp qua nhiều dạng bài khác nhau, kết hợp với hình vẽ minh họa rõ ràng. Khi đã làm chủ được phương pháp này, việc giải các bài toán vectơ sẽ trở nên đơn giản, chính xác và hiệu quả hơn rất nhiều.
