Quy tắc hình hộp
Vectơ trong không gian
Quy tắc hình hộp được phát biểu và áp dụng vào giải toán như thế nào? Để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về phần này, VnDoc gửi tới các em lý thuyết Toán 12: Vectơ trong không gian Oxyz. Sau đây mời các em tham khảo chi tiết.
Phát biểu Quy tắc hình hộp
Cho hình hộp 
\(ABCD.A'B'C'D'\), ta có: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}\)
Ví dụ 1. Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\), \(G\) là trung điểm của \(IJ\). Cho các đẵng thức sau, đẳng thức nào đúng?
- \(\overrightarrow{GA} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} =
\overrightarrow{0}\)
- \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +
\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} =
2\overrightarrow{IJ}\)
- \(\overrightarrow{GA} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} =
\overrightarrow{JI}\)
- \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +
\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = -
2\overrightarrow{JI}\)
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có: \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB}
+ \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}\)
\(= \left( \overrightarrow{GA}
+ \overrightarrow{GB} \right) + \left( \overrightarrow{GC} +
\overrightarrow{GD} \right)\)
\(= 2\overrightarrow{GI} +
2\overrightarrow{GJ}\)\(= 2\left( \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{GJ}
\right) = \overrightarrow{0}\).
Ví dụ 2. Cho hình hộp \(ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
- \(\overrightarrow{AC_{1}} +
\overrightarrow{A_{1}C} = 2\overrightarrow{AC}\).
- \(\overrightarrow{AC_{1}} + \overrightarrow{CA_{1}}
+ 2\overrightarrow{C_{1}C} = \overrightarrow{0}\).
- \(\overrightarrow{AC_{1}} +
\overrightarrow{A_{1}C} = \overrightarrow{AA_{1}}\).
- \(\overrightarrow{CA_{1}} + \overrightarrow{AC} =
\overrightarrow{CC_{1}}\).
Hướng dẫn giải
Chọn A.
+ Gọi \(O\) là tâm của hình hộp \(ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\).
+ Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.
Ví dụ 3. Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) với tâm \(O\). Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau đây:
- \(\overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} =
\overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} +
\overrightarrow{OC'}\)
- \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'}\)
- \(\overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{CD} +
\overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0}\)
- \(\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}\).
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có :\(\overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{DD'} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{AD}\) (vô lí)
Ví dụ. Cho hình hộp \(ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Chọn đẳng thức sai?
- \(\overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}C_{1}} +
\overrightarrow{B_{1}A_{1}}\).
- \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}}
+ \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{DC}\).
- \(\overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} =
\overrightarrow{BD_{1}}\).
- \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} +
\overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BC}\).
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Hình vẽ minh họa
Ta có : \(\overrightarrow{BA} +
\overrightarrow{DD_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BA}
+ \overrightarrow{BB_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} =
\overrightarrow{BA_{1}} + \overrightarrow{BD_{1}} \neq
\overrightarrow{BC}\) nên D sai.
Do \(\overrightarrow{BC} =
\overrightarrow{B_{1}C_{1}}\)và \(\overrightarrow{BA} =
\overrightarrow{B_{1}A_{1}}\) nên \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} =
\overrightarrow{B_{1}C_{1}} + \overrightarrow{B_{1}A_{1}}\). A đúng
Do \(\overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} =
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}B_{1}} =
\overrightarrow{A_{1}D_{1}} + \overrightarrow{D_{1}B_{1}} =
\overrightarrow{A_{1}B_{1}} = \overrightarrow{DC}\) nên
\(\overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{D_{1}C_{1}} + \overrightarrow{D_{1}A_{1}} =
\overrightarrow{DC}\) nên B đúng.
Do \(\overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} = \overrightarrow{BD} +
\overrightarrow{DD_{1}} = \overrightarrow{BD_{1}}\) nên C đúng.
