Tìm m để tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng cho trước
Tiếp tuyến đồ thị hàm số chứa tham số m - Có đáp án
Trong các bài toán chuyên đề hàm số, dạng tìm m để tiếp tuyến tại M song song với đường thẳng cho trước thường xuất hiện trong đề kiểm tra và đề thi, yêu cầu học sinh vận dụng linh hoạt kiến thức về đạo hàm và hệ số góc. Nếu không xác định đúng điều kiện song song, lời giải rất dễ sai ngay từ bước đầu.
Bài viết này sẽ hướng dẫn cách tìm m để tiếp tuyến tại M song song với một đường thẳng cho trước, giúp người học hiểu rõ phương pháp và giải bài toán một cách chính xác.
A. Bài tập minh họa tìm m để tiếp tuyến song song với d
Ví dụ 1. Cho hàm số 
\(y = x^{3} - 3x^{2}\
(C)\). Gọi \(M\) là điểm thuộc đồ thị \((C)\) có hoành độ bằng \(1\). Với giá trị nào của tham số \(m\) thì tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M\) song song với đường thẳng \(d:y = \left( m^{2} - 4 \right)x + m\)?
Hướng dẫn giải
Ta có: \(y' = 3x^{2} - 6x \Rightarrow
f'\left( x_{0} \right) = 3x_{0}^{2} - 6x_{0}\)
Tại hoành độ \(x_{0} = 1\) ta có hệ số góc tiếp tuyến là \(f'(1) = -
3\)
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng \(d:y = \left( m^{2} - 4 \right)x + m\)
nên \(f'(1) = - 3 = m^{2} - 4
\Leftrightarrow m = \mp 1\)
Ví dụ 2. Tìm tập hợp tất cả các giá trị tham số thực \(m\) để đồ thị \((C)\) của hàm số \(y = \frac{2x + 3}{x + 1}\) cắt đường thẳng \(y = 2x + m^{2}\) tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến của \((C)\) tại hai điểm đó song song với nhau ?
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{2x
+ 3}{x + 1} = 2x + m^{2}\)
\(\Leftrightarrow f(x) = 2x^{2} + m^{2}x +
m^{2} - 3 = 0\) (1)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi \(\left\{ \begin{matrix}
\Delta = m^{4} - 2m^{2} + 6 > 0 \\
f( - 1) = - 1 \neq 0
\end{matrix} \right.\) luôn đúng
Gọi hoành độ hai tiếp điểm là \(x_{1},x_{2}\) là nghiệm của phương trình (1)
Ta có: \(k_{1} = \frac{- 1}{\left( x_{1} +
1 \right)^{2}}\) và \(k_{2} = \frac{-
1}{\left( x_{2} + 1 \right)^{2}}\) là hai hệ số góc của hai tiếp điểm
Do hai tiếp tuyến song song \(\frac{-
1}{\left( x_{2} + 1 \right)^{2}} = \frac{- 1}{\left( x_{1} + 1
\right)^{2}}\)\(\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} + 2 =
0\)
Áp dụng định lí Viète ta có: \(x_{1} +
x_{2} = - \frac{m^{2}}{2}\)
Vậy \(- \frac{m^{2}}{2} + 2 = 0
\Leftrightarrow m = \pm 2\)
B. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn giải
Bài tập 1. Cho hàm số \(y = x^{3} - 3x^{2}
+ 1\ \ (C)\). Gọi \(M\) là điểm thuộc đồ thị \((C)\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để kẻ được hai tiếp diểm tại điểm \(M\) song song với đường thẳng \(d:y = \left( m^{2} - 1 \right)x +
m\).
Bài tập 2. Cho hàm số \(y = 3x^{3} - 3x^{2}
- 1\ \ (C)\). Gọi \(M\) là điểm thuộc đồ thị \((C)\) có hoành độ bằng ba. Với giá trị nào của tham số \(m\) thì tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M\) song song với đường thẳng \(d:y = \left( 9m^{2} - 4 \right)x\) ?
Bài tập 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C):y = \frac{2x - 4}{x + 1}\) tại \(M\) có dạng \(y =
kx + m\) . Biết tiếp tuyến tại \(M\) song song với đường thẳng \(\Delta:3x - 2y + 10 = 0\). Tính tổng \(k + m\) có giá trị âm?
Bài tập 4. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C):y = \frac{x - 3}{x + 1}\) tại \(M\) có dạng\(y =
kx + m\). Biết tiếp tuyến tại \(M\) song song với đường thẳng\(\Delta:x - y + 19 = 0\). Khi đó, tổng \(k - m\) có giá trị dương bằng bao nhiêu?
📄 Do dung lượng nội dung lớn, tài liệu chi tiết được cung cấp dưới dạng file tải về.
-----------------------------------------------------
Khi nắm vững phương pháp tìm m để tiếp tuyến song song với đường thẳng, học sinh sẽ giải quyết nhanh và chính xác các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Việc hiểu rõ bản chất điều kiện song song giúp nâng cao khả năng vận dụng kiến thức hàm số vào các dạng bài nâng cao và luyện thi.
