Tìm M thuộc (P) sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất
Tìm điểm M thuộc mặt phẳng để biểu thức nhỏ nhất - Có đáp án
Trong chương trình Toán 12 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz, dạng bài Tìm M thuộc (P) sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là một trong những dạng bài tập hình học giải tích nâng cao, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tư duy và vận dụng linh hoạt công thức khoảng cách trong không gian.
Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất, thông qua phân tích hình học – đại số kết hợp và các ví dụ minh họa có đáp án chi tiết, giúp bạn nắm chắc phương pháp giải nhanh, tự tin chinh phục các bài thi học kỳ và kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán.
A. Bài tập minh họa tìm M ∈ (P) sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất
Ví dụ 1. Trong không gian 
\(Oxyz\), cho ba điểm \(A(1\ ;\ 4\ ;\ 5)\), \(B(3\ ;\ 4\ ;\ 0)\), \(C(2\ ;\ - 1\ ;\ 0)\) và mặt phẳng \((P):3x - 3y - 2z - 12 = 0\). Gọi \(M(a\ ;\ b\ ;\ c)\) thuộc \((P)\) sao cho \(MA^{2} + MB^{2} + 3MC^{2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng \(a + b + c\).
A. \(3\). B. \(2\). C. \(-
2\). D. \(- 3\).
Hướng dẫn giải
Gọi \(I(2;1;1)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +
3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}\).
Đặt \(T = MA^{2} + MB^{2} +
3MC^{2}\), ta có:
\(T = 5MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} +
3IC^{2}\) nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên (P).
Ghi \(- \frac{3x - 3y - 2z -
12}{22}\) CALC nhập tọa độ I, STO M bấm AC
Ghi \((3M + x) + ( - 3M + y) + ( - 2M + z)
=\) kết quả bằng 3. Chọn A.
Ví dụ 2. Trong không gian \(Oxyz,\) cho điểm \(A(3;3;3)\) và mặt phẳng \((P):2x + 2y + z - 14 = 0.\) Xét \(M\) là điểm thay đổi thuộc \((P),\) giá trị nhỏ nhất của \(2MO^{2} + MA^{2}\) là:
A. \(26.\) B. \(89.\) C. \(45.\) D. \(24.\)
Hướng dẫn giải
Gọi I là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow{IO} + \overrightarrow{IA} =
\overrightarrow{0}\), tọa độ \(I(1;1;1)\) và tìm hình chiếu của I trên (P).
Ghi \(- \frac{2x + 2y + z - 14}{9}\) CALC (nhập tọa độ I) \(1 = 1 = 1 = \
\ =\) STO M.
Ghi
\(2\left( (2M + x)^{2} + (2M + y)^{2} +(M + z)^{2} \right)\)\(+ (2M + x - 3)^{2} + (2M + y - 3)^{2} + (M + z -3)^{2}\)
Bấm = ta được 45. Chọn C.
Ví dụ 3. Trong không gian \(Oxyz,\) cho 3 điểm \(A( - 2;\ \ \ 2;\ \ \ 3);\ B(1;\ \ - \
1;\ \ 3);\ C(3;\ \ \ 1;\ \ - 1)\). Điểm \(M\ \in \ (P):\ x + 2z - 8 = 0\) sao cho giá trị của biểu thức \(T = 2MA^{2} +
MB^{2}\ + \ 3MC^{2}\) nhỏ nhất. Khi đó điểm \(M\) cách \((Q):\ - x + 2y - 2z - 6 = 0\) một khoảng bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Gọi \(I(1;1;1)\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +
3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}\).
Ta tìm M là hình chiếu của I trên \((P).\)
Ghi \(-
\frac{x + 0y + 2z - 8}{5}\) CALC (nhập tọa độ I) \(1 = 1 = 1 = \ \ =\) STO M.
Ghi \(\frac{| - x + 2y - 2z -
6|}{3}\) CALC nhập \(M + x = 0M + y =
2M + z = \ \ =\) kết quả \(4\).
Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz, cho \((P)\): \(x - y +
z + 1 = 0\), \(A(1;1;1)\) , \(B(0;1;2)\),\(C( -
2;0;1)\) và \(M(a;b;c) \in (P)\) sao cho \(S = 2MA^{2} + MB^{2} +
MC^{2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị \((3a + 2b + c)\) bằng bao nhiêu?
A. \(\frac{25}{4}\). B. \(\frac{7}{4}\). C. \(- \frac{25}{4}\). D. \(- \frac{25}{2}\) .
Hướng dẫn giải
Gọi \(I\left( 0;\frac{3}{4};\frac{5}{4}
\right)\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +
\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}\).
Ta tìm hình chiếu của I trên \((P).\)
Ghi \(- \frac{x - y + z + 1}{3}\) CALC (nhập tọa độ I) \(0 = \frac{3}{4} = \frac{5}{4}
= \ \ =\) STO M.
Bấm \(3(M + x) + 2( - M + y) + (M +
z)\) bấm \(=\) kết quả \(\frac{7}{4}\). Chọn B.
B. Bài tập tự rèn luyện tìm M thuộc mặt phẳng (P) để biểu thức đạt GTNN
Bài tập 1. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\),cho hai điểm \(A(1;0;2),B(3;1; - 1)\) và mặt phẳng \((P):x + y + z - 1 = 0\). Gọi \(M(a;b;c) \in (P)\) sao cho \(\left| 3\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB}
\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(S = 9a + 3b + 6c.\)
Bài tập 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm \(A(1;2;3), B(0;1; 1),C(1;0; - 2)\) và mặt phẳng \((P): x + y + z +2 = 0\). Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho giá trị của biểu thức \(T = MA^{2} + 2MB^{2} +3MC^{2}\) nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng \((Q):2x - y - 2z + 3 = 0\)?
Bài tập 3. Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{matrix}
x = 1 - t \\
y = 2 + t \\
z = - t
\end{matrix} \right.\) và ba điểm \(A(6;0;0)\),\(B(0;3;0)\),\(C(0;0;4)\). Gọi \(M(a;b;c)\) là điểm thuộc \(d\) sao cho biểu thức \(P = MA^{2} + 2MB^{2} + 3MC^{2}\) đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó \(a + b + c\) bằng bao nhiêu?
Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!
-----------------------------------------------------------------------
FAQ?
1. Muốn tìm M thuộc (P) để biểu thức nhỏ nhất cần bắt đầu từ đâu?
Trước tiên, hãy xác định điểm bị ràng buộc trên mặt phẳng và đại lượng nào phụ thuộc vào . Sau đó chuyển bài toán về một trong các dạng quen thuộc như tối ưu khoảng cách, sử dụng hình chiếu vuông góc, phép đối xứng hoặc bất đẳng thức. Việc nhận dạng đúng cấu trúc ngay từ đầu thường quyết định độ dài của lời giải.
2. Vì sao bài toán tìm điểm M trên mặt phẳng thường liên quan đến khoảng cách?
Trong hình học giải tích, vị trí của thay đổi trên , trong khi các điểm hoặc đối tượng còn lại thường cố định. Do đó, biểu thức cần tối ưu thường có thể diễn giải thành độ dài đoạn thẳng hoặc tổng, hiệu các khoảng cách. Chuyển từ biểu thức đại số sang ý nghĩa hình học giúp lựa chọn phương pháp giải hiệu quả hơn.
3. Khi nào dùng phép đối xứng qua mặt phẳng để tìm GTNN?
Phép đối xứng phù hợp khi biểu thức chứa tổng khoảng cách từ đến các điểm cố định và nằm trên mặt phẳng . Thay một điểm bằng điểm đối xứng qua có thể biến tổng hai đoạn thẳng thành một đường gấp khúc. Khi đó, bất đẳng thức tam giác cho phép xác định vị trí ngắn nhất và suy ra .
4. Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng (P) trong Oxyz?
Nếu biết tọa độ điểm và phương trình mặt phẳng, có thể xác định hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng rồi suy ra điểm đối xứng. Đây là kỹ thuật quan trọng trong các bài cực trị hình học không gian Oxyz, đặc biệt khi cần biến đổi bài toán tổng khoảng cách thành bài toán tìm khoảng cách ngắn nhất.
5. Nếu biểu thức cần tìm GTNN là MA + MB thì giải thế nào?
Với , nếu là hai điểm cố định, cần xem xét vị trí của đối với mặt phẳng. Một hướng thường gặp là lấy điểm đối xứng của một điểm qua , sau đó áp dụng bất đẳng thức tam giác. Điểm cần tìm thường là giao điểm của với đường thẳng thích hợp nối điểm cố định và điểm đối xứng.
6. Có phải bài toán nào chứa MA + MB cũng dùng đối xứng không?
Không. Phép đối xứng chỉ thực sự hiệu quả khi điều kiện hình học cho phép chuyển tổng khoảng cách thành một đường đi thẳng ngắn nhất. Nếu biểu thức còn chứa hệ số, bình phương khoảng cách hoặc những đại lượng khác, cần phân tích cấu trúc cụ thể trước khi lựa chọn phương pháp.
7. Nếu biểu thức chứa MA² + MB² thì nên giải bằng cách nào?
Với tổng bình phương khoảng cách, có thể khai thác các tính chất vectơ và tọa độ để đưa biểu thức về dạng đại số thuận tiện hơn. Trong một số trường hợp, biểu thức có thể được biến đổi về tổng các bình phương không âm, từ đó xác định trực tiếp vị trí của điểm đạt giá trị nhỏ nhất.
--------------------------------
Dạng bài tìm M thuộc (P) sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất không chỉ củng cố kiến thức về tọa độ điểm, mặt phẳng và khoảng cách trong không gian Oxyz, mà còn rèn cho học sinh khả năng phân tích và tối ưu hóa biểu thức hình học.
Hãy luyện tập thêm các bài tập phương pháp tọa độ không gian có đáp án chi tiết để làm quen nhiều dạng toán khác nhau, giúp bạn học vững – nhớ lâu – đạt điểm tối đa trong các kỳ thi sắp tới.
