Tìm M thuộc (P) sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất
Tìm điểm M thuộc mặt phẳng để biểu thức nhỏ nhất - Có đáp án
Trong chương trình Toán 12 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz, dạng bài Tìm M thuộc (P) sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là một trong những dạng bài tập hình học giải tích nâng cao, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tư duy và vận dụng linh hoạt công thức khoảng cách trong không gian.
Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất, thông qua phân tích hình học – đại số kết hợp và các ví dụ minh họa có đáp án chi tiết, giúp bạn nắm chắc phương pháp giải nhanh, tự tin chinh phục các bài thi học kỳ và kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán.
A. Bài tập minh họa tìm M ∈ (P) sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất
Ví dụ 1. Trong không gian 
\(Oxyz\), cho ba điểm \(A(1\ ;\ 4\ ;\ 5)\), \(B(3\ ;\ 4\ ;\ 0)\), \(C(2\ ;\ - 1\ ;\ 0)\) và mặt phẳng \((P):3x - 3y - 2z - 12 = 0\). Gọi \(M(a\ ;\ b\ ;\ c)\) thuộc \((P)\) sao cho \(MA^{2} + MB^{2} + 3MC^{2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng \(a + b + c\).
A. \(3\). B. \(2\). C. \(-
2\). D. \(- 3\).
Hướng dẫn giải
Gọi \(I(2;1;1)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +
3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}\).
Đặt \(T = MA^{2} + MB^{2} +
3MC^{2}\), ta có:
\(T = 5MI^{2} + IA^{2} + IB^{2} +
3IC^{2}\) nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên (P).
Ghi \(- \frac{3x - 3y - 2z -
12}{22}\) CALC nhập tọa độ I, STO M bấm AC
Ghi \((3M + x) + ( - 3M + y) + ( - 2M + z)
=\) kết quả bằng 3. Chọn A.
Ví dụ 2. Trong không gian \(Oxyz,\) cho điểm \(A(3;3;3)\) và mặt phẳng \((P):2x + 2y + z - 14 = 0.\) Xét \(M\) là điểm thay đổi thuộc \((P),\) giá trị nhỏ nhất của \(2MO^{2} + MA^{2}\) là:
A. \(26.\) B. \(89.\) C. \(45.\) D. \(24.\)
Hướng dẫn giải
Gọi I là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow{IO} + \overrightarrow{IA} =
\overrightarrow{0}\), tọa độ \(I(1;1;1)\) và tìm hình chiếu của I trên (P).
Ghi \(- \frac{2x + 2y + z - 14}{9}\) CALC (nhập tọa độ I) \(1 = 1 = 1 = \
\ =\) STO M.
Ghi
\(2\left( (2M + x)^{2} + (2M + y)^{2} +(M + z)^{2} \right)\)\(+ (2M + x - 3)^{2} + (2M + y - 3)^{2} + (M + z -3)^{2}\)
Bấm = ta được 45. Chọn C.
Ví dụ 3. Trong không gian \(Oxyz,\) cho 3 điểm \(A( - 2;\ \ \ 2;\ \ \ 3);\ B(1;\ \ - \
1;\ \ 3);\ C(3;\ \ \ 1;\ \ - 1)\). Điểm \(M\ \in \ (P):\ x + 2z - 8 = 0\) sao cho giá trị của biểu thức \(T = 2MA^{2} +
MB^{2}\ + \ 3MC^{2}\) nhỏ nhất. Khi đó điểm \(M\) cách \((Q):\ - x + 2y - 2z - 6 = 0\) một khoảng bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Gọi \(I(1;1;1)\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +
3\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}\).
Ta tìm M là hình chiếu của I trên \((P).\)
Ghi \(-
\frac{x + 0y + 2z - 8}{5}\) CALC (nhập tọa độ I) \(1 = 1 = 1 = \ \ =\) STO M.
Ghi \(\frac{| - x + 2y - 2z -
6|}{3}\) CALC nhập \(M + x = 0M + y =
2M + z = \ \ =\) kết quả \(4\).
Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz, cho \((P)\): \(x - y +
z + 1 = 0\), \(A(1;1;1)\) , \(B(0;1;2)\),\(C( -
2;0;1)\) và \(M(a;b;c) \in (P)\) sao cho \(S = 2MA^{2} + MB^{2} +
MC^{2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị \((3a + 2b + c)\) bằng bao nhiêu?
A. \(\frac{25}{4}\). B. \(\frac{7}{4}\). C. \(- \frac{25}{4}\). D. \(- \frac{25}{2}\) .
Hướng dẫn giải
Gọi \(I\left( 0;\frac{3}{4};\frac{5}{4}
\right)\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} +
\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}\).
Ta tìm hình chiếu của I trên \((P).\)
Ghi \(- \frac{x - y + z + 1}{3}\) CALC (nhập tọa độ I) \(0 = \frac{3}{4} = \frac{5}{4}
= \ \ =\) STO M.
Bấm \(3(M + x) + 2( - M + y) + (M +
z)\) bấm \(=\) kết quả \(\frac{7}{4}\). Chọn B.
B. Bài tập tự rèn luyện tìm M thuộc mặt phẳng (P) để biểu thức đạt GTNN
Bài tập 1. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\),cho hai điểm \(A(1;0;2),B(3;1; - 1)\) và mặt phẳng \((P):x + y + z - 1 = 0\). Gọi \(M(a;b;c) \in (P)\) sao cho \(\left| 3\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB}
\right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(S = 9a + 3b + 6c.\)
Bài tập 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm \(A(1;2;3), B(0;1; 1),C(1;0; - 2)\) và mặt phẳng \((P): x + y + z +2 = 0\). Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho giá trị của biểu thức \(T = MA^{2} + 2MB^{2} +3MC^{2}\) nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng \((Q):2x - y - 2z + 3 = 0\)?
Bài tập 3. Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{matrix}
x = 1 - t \\
y = 2 + t \\
z = - t
\end{matrix} \right.\) và ba điểm \(A(6;0;0)\),\(B(0;3;0)\),\(C(0;0;4)\). Gọi \(M(a;b;c)\) là điểm thuộc \(d\) sao cho biểu thức \(P = MA^{2} + 2MB^{2} + 3MC^{2}\) đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó \(a + b + c\) bằng bao nhiêu?
Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!
-----------------------------------------------------------------------
Dạng bài tìm M thuộc (P) sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất không chỉ củng cố kiến thức về tọa độ điểm, mặt phẳng và khoảng cách trong không gian Oxyz, mà còn rèn cho học sinh khả năng phân tích và tối ưu hóa biểu thức hình học.
Hãy luyện tập thêm các bài tập phương pháp tọa độ không gian có đáp án chi tiết để làm quen nhiều dạng toán khác nhau, giúp bạn học vững – nhớ lâu – đạt điểm tối đa trong các kỳ thi sắp tới.
