Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng, đoạn

Hàm số Toán 12 ôn thi THPT Quốc gia

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Chuyên đề Toán Lớp 12

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập tìm m để phương trình có nghiệm trong đoạn

A. Phương pháp tìm m để phương trình có nghiệm trong đoạn
B. Bài tập minh họa tìm m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng đoạn
C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn chi tiết

Trong chương Hàm số Toán 12, dạng toán tìm m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng, đoạn là nội dung then chốt giúp đánh giá khả năng vận dụng kiến thức hàm số vào bài toán tham số. Đây cũng là dạng bài xuất hiện thường xuyên trong đề thi THPT Quốc gia, đòi hỏi học sinh xác định chính xác mối liên hệ giữa nghiệm phương trình và miền giá trị của biến. Bài viết này sẽ hệ thống cách tiếp cận rõ ràng, giúp bạn xử lý dạng toán nhanh và chính xác.

A. Phương pháp tìm m để phương trình có nghiệm trong đoạn

Biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = f(m) (*)

Phương pháp:

Bước 1: Cô lập tham số và đưa về dạng f(x) = f(m).
Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D.
Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để sác định giá trị tham số f(m) sao cho đường thẳng y = f(m) nằm ngang vắt đồ thị hàm số y = f(x).
Bước 4: Kết luận giá trị của f(m) để phương trình f(x) = f(m) có nghiệm trên D.

Chú ý:

⏵Nếu hàm số y = f(x) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì phương trình $f(x) = A(m) \Leftrightarrow \min_{D}f(x) \leq f(m) \leq \max_{D}f(x)$

⏵Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng y = f(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại k điểm phân biệt.

B. Bài tập minh họa tìm m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng đoạn

Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình (m - 1)x² + 2mx² - x + 3m = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho $\Leftrightarrow m = \frac{x^{3} + x}{x^{3} + 2x^{2} + 3}$ .

Xét $f(x) = \frac{x^{3} + x}{x^{3} + 2x^{2} + 3}$ có $f'(x) = \frac{2x^{4} - 2x^{3} + 7x^{2} + 3}{\left( x^{3} + 2x^{2} + 3 \right)^{2}} > 0,\ \ \forall x \in (0;1)$

Nên để phương trình đã cho có nghiệm thì f(0) < m < f(1) hay $0 < m < \frac{1}{3}$ .

Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá tri của để phương trình $x^{4} + \frac{16}{x^{4}} - 4\left( x^{2} + \frac{4}{x^{2}} \right) - 12\left( x - \frac{2}{x} \right) = m$ có nghiệm x ∈ [1; 2].

A. -13 ≤ m ≤ 11. B. -15 ≤ m ≤ 9.

C. -15 < m < 9. D. -16 ≤ m ≤ 9.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt $t = x - \frac{2}{x}$ , $x \in \lbrack 1;\ \ 2\rbrack$

Đạo hàm $t' = 1 + \frac{2}{x^{2}} > 0$ , ∀x ∈ [1; 2].

Do đó t(1) ≤ t ≤ t(2), ∀x ∈ [1; 2] suy ra -1 ≤ t ≤ 1.

Ta có:

$x^{2} + \frac{4}{x^{2}} = t^{2} + 4$

$x^{4} + \frac{16}{x^{4}} = \left( x^{2} + \frac{4}{x^{2}} \right)^{2} - 8 = \left( t^{2} + 4 \right)^{2} - 8 = t^{4} + 8t^{2} + 8.$

Phương trình đã cho trở thành:

t⁴ + 8t² + 8 - 4(t² + 4) - 12t = m <=> t⁴ + 4t² - 12t = m + 8 (*).

Phương trình đã cho có nghiệm trong đoạn [1; 2] khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm trong [-1; 1]

Xét hàm số y = f(t) = t⁴ + 4t² - 12t trên [-1; 1]

Đạo hàm y' = 4t³ + 8t - 12, t ∈ (-1; 1), y' = 4(t - 1)(t² + t + 3) < 0, ∀t ∈ (-1; 1).

Bảng biến thiên:

Do đó để phương trình đã cho có nghiệm trên [1; 2] thì -7 ≤ m + 8 ≤ 17 <=> -15 ≤ m ≤ 9.

Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos3x - cos2x + m.cosx = 1 có bảy nghiệm khác nhau thuộc khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};2\pi \right)$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

cos3x - cos2x + m.cosx = 1

<=> cosx.(4cos²x - 2cosx - 3 + m) = 0

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos x = 0 \\ 4cos^{2}x - 2cosx - 3 + m = 0 \end{matrix} \right.$

$\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} \right)$ .

Do $x \in \left( - \frac{\pi}{2};2\pi \right)$ nên $x = \frac{\pi}{2};x = \frac{3\pi}{2}$ .

<=> 4cos²x - 2cosx - 3 + m = 0 (2)

Phương trình (1) có có bảy nghiệm khác nhau thuộc khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};2\pi \right)$ khi phương trình (2) có có năm nghiệm khác nhau thuộc khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};2\pi \right)$ .

Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm -1 < t₁ < 0 < t₂ < 1 trong đó t = cosx.

Ta có: (2) <=> 4t2 - 2t - 3 = -m

Xét f(t) = 4t² - 2t - 3; t ∈ [-1; 1].

Khi đó -3 < -m < -1 <=> 1 < m < 3.

Do $m\mathbb{\in Z}$ nên m = 2.

C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn chi tiết

Bài tập 1. Tìm tất cả số thực của tham số m để phương trình 2x - 1 = m(x - 1) có nghiệm thuộc đoạn [-1; 0].

A. $m \leq \frac{3}{2}$ . B. $m \geq 1$ . C. $1 \leq m \leq \frac{3}{2}$ . D. $1 \leq m \leq 2$ .

Bài tập 2. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sin⁴x + cos⁴x + cos²4x = m có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left\lbrack - \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4} \right\rbrack$ .

A. $m \leq \frac{47}{64}$ hoặc $m \geq \frac{3}{2}$ . B. $\frac{47}{64} < m < \frac{3}{2}$ .

C. $\frac{47}{64} < m \leq \frac{3}{2}$ . D. $\frac{47}{64} \leq m \leq \frac{3}{2}$ .

Bài tập 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình $f\left( 2\left| \sin x \right| \right) = f\left( \frac{m}{2} \right)$ có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [-π; 2π]?

A. 3. B. 4. C. 2. D. 5.

Bài tập 4. Tìm các giá trị thực của tham số để phương trình (sinx - 1)(cos³x - cosx + m) = 0 có đúng 5 nghiệm thuộc đoạn [0; 2π].

A. $0 \leq m < \frac{1}{4}$ . B. $- \frac{1}{4} < m \leq 0$ . C. $0 < m < \frac{1}{4}$ . D. $- \frac{1}{4} < m < 0$

Bài tập 5. Gọi K là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $sin2x + \sqrt{2}\sin\left( x + \frac{\pi}{4} \right) - 2 = m$ có đúng hai nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\ \frac{3\pi}{4} \right)$ . Hỏi là tập con của tập hợp nào dưới đây?

A. $\left( - \frac{\sqrt{2}}{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right\rbrack$ . B. $\left( 1 - \sqrt{2};\ \sqrt{2} \right)$ . C. $\left( - \sqrt{2};\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ . D. $\left( - \frac{\sqrt{2}}{2};\ \sqrt{2} \right\rbrack$ .

Bài tập 6. Cho phương trình $3\sqrt{\tan x + 1}\left( \sin x + 2cosx \right) = m\left( \sin x + 3cosx \right)$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [0; 2019] để phương trình có đúng một nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$ .

A. 2017. B. 2018. C. 2019. D. 2020.

Đáp án bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1.

Chọn C

Với $x \in \lbrack - 1;0\rbrack$ , ta có $2x - 1 = m(x - 1) \Leftrightarrow \frac{2x - 1}{x - 1} = m$ .

Xét hàm số $f(x) = \frac{2x - 1}{x - 1}$ trên $\lbrack - 1;0\rbrack$ , ta có hàm số f(x) liên tục trên [-1; 0] và $f^{'(x)} = \frac{- 1}{(x - 1)^{2}} < 0,\forall x \in \lbrack - 1;\ 0\rbrack$

$\Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên [-1; 0].

Suy ra phương trình f(x) = m có nghiệm trên [-1; 0].

$\Leftrightarrow f(0) \leq m \leq f( - 1) \Leftrightarrow 1 \leq m \leq \frac{3}{2}$ .

Bài tập 2.

Chọn C.

$sin^{4}x + cos^{4}x + cos^{2}4x = m$

$\Leftrightarrow \left( sin^{2}x + cos^{2}x \right)^{2} - 2sin^{2}x.cos^{2}x + cos^{2}4x = m$ .

$\Leftrightarrow 1 - \frac{sin^{2}2x}{2} + cos^{2}4x = m$ $\Leftrightarrow \frac{3}{4} + \frac{cos4x}{4} + cos^{2}4x = m$ .

Đặt t = cos4x, t ∈ [-1; 1].

Phương trình trở thành $\frac{3}{4} + \frac{t}{4} + t^{2} = m$ .

Xét hàm số $f(t) = \frac{3}{4} + \frac{t}{4} + t^{2},\ t \in \lbrack - 1;\ 1\rbrack$ .

$f'(t) = 2t + \frac{1}{4}0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{8}$

$f\left( - \frac{1}{8} \right) = \frac{47}{64}$ , $f( - 1) = \frac{3}{2}$ , f(1) = 2.

Phương trình $sin^{4}x + cos^{4}x + cos^{2}4x = m$ có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left\lbrack - \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4} \right\rbrack$ .

Khi và chỉ khi phương trình f(t) = m có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn [-1; 1].

$\Leftrightarrow \frac{47}{64} < m \leq \frac{3}{2}$ .

📖 Toàn bộ nội dung, bài tập và lời giải đã được tổng hợp trong tài liệu tải về.

---------------------------------------------------

FAQ – Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng, đoạn | Hàm số Toán 12 ôn thi THPT Quốc gia

1. Dạng toán tìm m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng, đoạn là gì?

Đây là dạng toán yêu cầu tìm các giá trị của tham số m để phương trình có ít nhất một nghiệm nằm trong một khoảng hoặc đoạn xác định như (a;b); [ a ; b ], (a;b]; [a;b). Dạng bài xuất hiện thường xuyên trong đề thi tốt nghiệp THPT và các đề đánh giá năng lực.

2. Muốn tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn cần làm như thế nào?

Thông thường cần thực hiện các bước:

Xác định điều kiện xác định của phương trình.
Biến đổi phương trình về dạng chứa tham số m.
Xét hàm số theo biến còn lại.
Khảo sát miền giá trị của hàm trên đoạn yêu cầu.
Dựa vào giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hoặc tính đơn điệu để suy ra điều kiện của m.

3. Khi nào nên sử dụng phương pháp khảo sát hàm số?

Nên sử dụng khi phương trình có thể viết về dạng

m=f(x)
g(x)=m

Sau đó khảo sát hàm số trên khoảng hoặc đoạn đã cho để xác định miền giá trị của hàm. Đây là phương pháp nhanh và được áp dụng nhiều nhất trong chương trình Toán 12.

4. Sự khác nhau giữa "nghiệm thuộc khoảng" và "nghiệm thuộc đoạn" là gì?

Khoảng không chứa hai đầu mút nên cần loại các giá trị tại biên.
Đoạn chứa hai đầu mút nên phải xét thêm trường hợp nghiệm nằm đúng tại đầu mút.

Việc phân biệt khoảng và đoạn giúp tránh mất điểm trong các câu hỏi tham số.

5. Dạng toán này thường xuất hiện ở mức độ nào trong đề thi THPT Quốc gia?

Phần lớn xuất hiện ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Đây là dạng bài đánh giá khả năng kết hợp kiến thức về:

Hàm số
Đạo hàm
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Phương trình
Tham số

6. Những sai lầm thường gặp khi giải bài toán tìm m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng, đoạn là gì?

Một số lỗi phổ biến gồm:

Quên điều kiện xác định.
Không xét đầy đủ các đầu mút.
Nhầm giữa khoảng và đoạn.
Khảo sát sai tính đơn điệu.
Kết luận thiếu điều kiện của tham số m.

----------------------------------------------------

Nắm vững phương pháp tìm m để phương trình có nghiệm trong khoảng, đoạn cho trước sẽ giúp học sinh chủ động xử lý các bài toán tham số m một cách linh hoạt. Khi hiểu rõ bản chất bài toán hàm số và điều kiện nghiệm, bạn sẽ dễ dàng chinh phục các câu hỏi vận dụng trong đề THPT Quốc gia môn Toán và các kỳ kiểm tra quan trọng.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: