Cách giải các dạng phương trình chứa căn thức

Phương trình chứa căn thức là một trong những dạng bài toán thường gặp trong chương trình Toán THCS và THPT, đặc biệt trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hoặc tốt nghiệp THPT. Để giải quyết hiệu quả các dạng bài này, học sinh cần nắm vững phương pháp, kỹ thuật đặt điều kiện xác định, khử căn đúng cách và tránh những sai lầm phổ biến. Bài viết sau đây sẽ tổng hợp cách giải các dạng phương trình chứa căn thức một cách chi tiết, dễ hiểu kèm ví dụ minh họa và bài tập luyện tập có đáp án.

A. Một số dạng phương trình chứa căn đặc biệt

Dạng 1: $\sqrt{f(x)}=e$với e ≥ 0 là hằng số

Phương pháp giải:

1. Trường hợp: f(x) = ax + b hoặc f(x) = $\frac{ax+b}{cx+d}$ thì:

• Bước 1: Giải điều kiện f(x) ≥ 0 để tìm điều kiện của x
• Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình (để làm mất căn).
• Bước 3: Giải phương trình để tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện.

2. Trường hợp: f(x) = ax² + bx + c thì kiểm tra biểu thức f(x)

Nếu f(x) = ax² + bx + c = (Ax ± B)² tức là có dạng hằng đẳng thức thì: KHAI CĂN.

• Phương trình $|Ax\pm B|=e\iff [\begin{array}{c}Ax\pm B=e\\ Ax\pm B=-e\end{array}$ => Tìm x

Ví dụ: Giải các phương trình sau: $\sqrt{x^2-4x+4}=3$

Hướng dẫn giải

Vì x² – 4x + 4 = (x – 2)², ta có

PT $\iff \sqrt{(x-2{)}^2}=3$ $\iff |x-2|=3\iff [\begin{array}{c}x-2=3\\ x-2=-3\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=5\\ x=-1\end{array}$

Nếu f(x) = ax² + bx + c không có dạng hằng đẳng thức thì: BÌNH PHƯƠNG 2 VẾ.

• Bước 1: Viết điều kiện f(x) ≥ 0.
• Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình (để làm mất căn).
• Bước 3: Giải phương trình bậc hai có được bằng cách: Phân tích thành nhân tử, đưa về phương trình tích.

Ví dụ: Giải phương trình sau: $\sqrt{x^2-4x-6}=\sqrt{15}$

Hướng dẫn giải

Nhận xét: x² – 4x – 6 không có dạng (Ax ± B)² nên ta không đưa được về phương trình trị tuyệt đối như Ví dụ 2.

Điều kiện: x² – 4x – 6 ≥ 0

Bình phương hai vế phương trình ta được:

x² – 4x – 6 = 15 $\iff$ x² – 4x – 21 = 0 $\iff$ (x – 7) (x + 3) = 0

$\iff$x = 7 hoặc x = - 3

Thay x tìm được vào điều kiện ta thấy cả x = 7 và x = - 3 đều thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm x = 7; x = - 3

Dạng 2: $\sqrt{f(x)}=g(x)$

Phương pháp giải

Bước 1: Viết điều kiện của phương trình: $\{\begin{array}{c}f(x)\ge 0\\ g(x)\ge 0\end{array}$

Nếu f(x) có dạng (Ax ± B)² thì chỉ cần điều kiện $g(x)\ge 0$

Bước 2: Nhận dạng từng loại từng dạng tương ứng với phương pháp giải sau:

• LOẠI 1: Nếu f(x) có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)² thì KHAI CĂN đưa về phương trình trị tuyệt đối để giải.
• LOẠI 2: Nếu f(x) = Ax ± B và g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ.
• LOẠI 3: Nếu f(x) = Ax² + Bx + C (không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)² ) và g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ.
• LOẠI 4: Nếu f(x) = Ax² + Bx + C và g(x) = Ex² + Dx + F thì thử phân tích f(x) và g(x) thành nhân tử, nếu chúng có nhân tử chung thì đặt nhân tử chung đưa về phương trình tích.

Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được xem có thỏa mãn điều kiện không, rối kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình: $\sqrt{(2x+3{)}^2}=x-5$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $x-5\ge 0\iff x\ge 5$

$PT\iff |2x+3|=x-5$

$\iff [\begin{array}{c}2x+3=x-5\\ 2x+3=-(x-5)\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=-8\\ x=\frac{2}{3}\end{array}$

Kết hợp điều kiện => Phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình: $\sqrt{x^2-5x-6}=x-2$

Hướng dẫn giải

Nhận xét: f(x) = x² - 5x – 6 không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)² nên để phá căn ta dùng phương pháp BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ.

Điều kiện: $\{\begin{array}{c}{x}^2-5x-6\ge 0\\ x-2\ge 0\end{array}$

$PT\iff x^2-5x-6=x^2-4x+4\iff x=-10$

Thay x = - 10 vào điều kiện thấy không thỏa mãn

Vậy phương trình vô nghiệm.

Dạng 3: $\sqrt{{[f(x)]}^2}\pm \sqrt{{[h(x)]}^2}=g(x)$

Phương pháp giải:

• Bước 1: Nếu bản thân f(x) và g(x) có chứa căn bậc hai thì có điều kiện trong căn.
• Bước 2: Đưa phương trình về dạng phương trình trị tuyệt đối.

$|f(x)|\pm |h(x)|=g(x)$

• Bước 3: Xét dấu trị tuyệt đối và giải phương trình.

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{x+4-4\sqrt{x}}-\sqrt{x+9-6\sqrt{x}}=1$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x ≥ 0

Với phương trình này ta dễ dàng nhận thấy:

$\begin{array}{c}x+4-4\sqrt{x}={(\sqrt{x}-2)}^2\\ x+9-6\sqrt{x}={(\sqrt{x}-3)}^2\end{array}$

$PT\iff |\sqrt{x}-2|-|\sqrt{x}-3|=1$

TH1: Nếu $\{\begin{array}{c}\sqrt{x}-2\ge 0\\ \sqrt{x}-3\ge 0\end{array}\iff \sqrt{x}\ge 3\iff x\ge 9$

Ta có

0.$\sqrt{x}$ = 0 => PT có vô số nghiệm x ≥ 0

TH2: Nếu $\{\begin{array}{c}\sqrt{x}-2\ge 0\\ \sqrt{x}-3<0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\ge 4\\ x<9\end{array}$ .

Ta có

$(\sqrt{x}-2)-(3-\sqrt{x})=1\iff 2\sqrt{x}=6\iff x=9$ (Loại)

TH3: Nếu $\{\begin{array}{c}\sqrt{x}-2<0\\ \sqrt{x}-3\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x<4\\ x\ge 9\end{array}\iff x\in \varnothing$

TH4: Nếu $\{\begin{array}{c}\sqrt{x}-2<0\\ \sqrt{x}-3<0\end{array}\iff \sqrt{x}<2\iff x<4$ ta có

$(2-\sqrt{x})-(3-\sqrt{x})=1\iff 0.\sqrt{x}=2$=> Pt có vô nghiệm

Kết luận: Vậy phương trình có vô số nghiệm x ≥ 0

B. Phương pháp đặc biệt trong giải phương trình chứa căn

1. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai hoặc phương trình đơn giản hơn

Ví dụ: Giải phương trình x - 5$\sqrt{x}$+ 6 = 0

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x ≥ 0

Đặt $\sqrt{x}$ = t ≥ 0 => x = t², ta có phương trình: t² – 5t + 6 = 0 (Cách giải phương trình bậc 2 chúng ta sẽ được học trong chương sau).

Với phương trình này chúng ta cũng hoàn toàn có thể phân tích vế trái thành nhân tử để đưa về phương trình tích.

Ví dụ: Giải phương trình $x^2-2x+3\sqrt{x^2-2x-3}=7$

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x² – 2x – 3 ≥ 0

PT $\iff$ $x^2-2x+3+3\sqrt{x^2-2x-3}-10=0$

Đặt $t=\sqrt{x^2-2x-3}\ge 0\Rightarrow t^2=x^2-2x-3$ ta có:

t² + 3t – 10 = 0 $\iff$ (t – 2)(t + 5) = 0 $\iff [\begin{array}{c}t=2\\ t=-5\end{array}$

Với t = - 5 (loại)

Với t = 2 => $x^2-2x-3=4$ $\iff$x² – 2x – 7 = 0

$\iff$ (x² – 2x + 1) – 8 = 0

$\iff$ (x - 1)² = 8 $[\begin{array}{c}x-1=2\sqrt{2}\\ x-1=-2\sqrt{2}\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=1+2\sqrt{2}\\ x=1-2\sqrt{2}\end{array}$ (thỏa mãn điều kiện)

2. Đánh giá biểu thức dưới dấu căn lớn hơn hoặc nhỏ hơn một hằng số.

Áp dụng với phương trình: $\sqrt{{[f(x)]}^2+c}+\sqrt{{[h(x)]}^2+d}=\pm {[g(x)]}^2+e$ với $\{\begin{array}{c}c>0\\ d>0\\ c+d=e\end{array}$

Thường thì chúng ta chưa nhìn thấy ngay dạng phương trình này, mà đôi khi tách một hệ số nào đó mới có [f(x)]²; [h(x)]² và [g(x)]²

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt{3x^2+6x+12}+\sqrt{5x^4-10x^2+30}=8$

Hướng dẫn giải

Nhận xét:

3x² + 6x + 12 = 3(x² + 2x + 1) + 9 = 3(x + 1)² + 9 ≥ 9 => $\sqrt{3x^2+6x+12}$ ≥ 3

5x⁴ - 10x² + 30 = 5(x² - 2x + 1) + 25 = 5(x - 1)² + 25 ≥ 25 => $\sqrt{5x^4-10x^2+30}$ ≥ 5

Do đó: $\sqrt{3x^2+6x+12}+\sqrt{5x^4-10x^2+30}\ge 8$

Phương trình thỏa mãn$\iff \{\begin{array}{c}\sqrt{3x^2+6x+12}=3\\ \sqrt{5x^4-10x^2+30}=5\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}3(x+1{)}^2+9=9\\ 5{(x^2-1)}^2+25=25\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x+1=0\\ x^2-1=0\end{array}\iff x=-1$

Vậy phương trình có nghiệm x = - 1

C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án

Bài 1: Giải phương trình sau: $\sqrt{(x-2)(x+3)}=5$

Bài 2: Giải phương trình: $\sqrt{x^2-6x+9}=x+7$

Bài 3: Giải phương trình: $\sqrt{2x-3}=x-1$

Bài 4: Giải phương trình: $\sqrt{x+1}+\sqrt{x+6}=5$

Bài 5: Giải phương trình: $\sqrt{3x^2+6x+7}+\sqrt{5x^2+10x+14}=4-2x-x^2$.

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

----------------------------------------------------

Với các phương pháp giải được trình bày rõ ràng cùng hệ thống ví dụ cụ thể, bạn đã có trong tay chìa khóa để chinh phục mọi dạng phương trình chứa căn thức thường gặp trong chương trình học. Hãy luyện tập thường xuyên để tăng tốc độ và độ chính xác khi làm bài. Đừng quên theo dõi thêm các chuyên đề Toán học khác để nâng cao kỹ năng giải toán và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng nhé!