Giải Toán 8 bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Mời các bạn tham khảo Giải Toán 8 bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ trang 10, 11, 12 SGK Toán lớp 8 tập 1. Tài liệu tổng hợp câu hỏi về những hằng đẳng thức đáng nhớ kèm theo đáp án cho các em so sánh đánh giá. Dưới đây là nội dung chi tiết, mời các em cùng tham khảo.

A. Một số kiến thức cơ bản về hằng đẳng thức đáng nhớ:

Bình phương của một tổng: (A + B )² = A² + 2AB + B²

Bình phương của một hiệu: (A – B )² = A² – 2AB + B²

Hiệu của hai bình phương: A² – B² = (A +B ) (A-B)

B. Trả lời câu hỏi trang 9, 10, 11 SGK Toán 8 tập 1

Câu hỏi 1 trang 9 SGK Toán 7 tập 1

Với a và b là hai số bất kì, thức hiện phép tính (a + b)(a + b)

Hướng dẫn giải:

\((a + b)(a + b)\)

\(= a(a + b) + b(a + b)\)

\(=a.a+a.b+b.a+b.b\)

\(= {a^2} + ab + ab + {b^2}\)

\(= {a^2} +( ab + ab) + {b^2}\)

\(= {a^2} + 2ab + {b^2}\)

Câu hỏi 2 trang 9 SGK Toán 7 tập 1

Phát biểu hằng đẳng thức (1) bằng lời:

Áp dụng:

a. Tính \({\left( {a + 1} \right)^2}\)

b. Viết biểu thức \({x^2} + 4x + 4\) dưới dạng bình phương của một tổng

c. Tính nhanh \({51^2};{301^2}\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l} a)\,{\left( {a + 1} \right)^2} = {a^2} + 2a + 1\\ b)\,{x^2} + 4x + 4 = {x^2} + 2.2x + {2^2}\\ = {\left( {x + 2} \right)^2}\\ c)\,{51^2} = {\left( {50 + 1} \right)^2}\\ = {50^2} + 2.50.1 + {1^2}\\ = 2500 + 100 + 1\\ = 2601\\ {301^2} = {\left( {300 + 1} \right)^2}\\ = {300^2} + 2.300.1 + {1^2}\\ = 90000 + 600 + 1\\ = 90601 \end{array}\)

Câu hỏi 3 Trang 10 SGK Toán 8 tập 1

Tính \({\left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]^2}\) (Với a, b là các số tùy ý).

Hướng dẫn giải

\({\left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]^2} = {a^2} + 2.a.\left( { - b} \right) + {\left( { - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)

Câu hỏi 4 Trang 10 SGK Toán 8 tập 1

Phát biểu hằng đằng thức (2) bằng lời:

Áp dụng:

a. Tính \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2}\)

b. Tính \({\left( {2x - 3y} \right)^2}\)

c. Tính nhanh \({99^2}\)

Hướng dẫn giải:

- Phát biểu: Bình phương của hiệu hai biểu thức bằng tổng của bình phương biểu thức thứ nhất và bình phương biểu thức thứ hai, sau đó trừ đi hai lần tích hai biểu thức đó

a. \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} = {x^2} - 2.x.\frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = {x^2} - x + \frac{1}{4}\)

b. \({\left( {2x - 3y} \right)^2} = {\left( {2x} \right)^2} - 2.2x.3y + {\left( {3y} \right)^2} = 4{x^2} - 12xy + 9{y^2}\)

c. \({99^2} = {\left( {100 - 1} \right)^2} = {100^2} - 2.100.1 + {1^2} = 10000 - 200 + 1 = 9801\)

Câu hỏi 5 Trang 10 SGK Toán 8 tập 1

Thực hiện phép tính (a + b)(a – b) với (a, b là các số tùy ý)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{matrix} \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) \hfill \\ = a\left( {a - b} \right) + b\left( {a - b} \right) \hfill \\ = {a^2} - ab + ab - {b^2} \hfill \\ = {a^2} + \left( { - ab + ab} \right) - {b^2} \hfill \\ = {a^2} - {b^2} \hfill \\ \end{matrix}\)

Câu hỏi 6 Trang 10 SGK Toán 8 tập 1

Phát biểu hằng đẳng thức (3) bằng lời.

Áp dụng:

a. Tính (x + 1)(x – 1)

b. Tính (x – 2y)(x + 2y)

c. Tính nhanh 56.64

Hướng dẫn giải:

Phát biểu: Hiệu của bình phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và hiệu hai biểu thức.

a. \(\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = {x^2} - {1^2} = {x^2} - 1\)

b. \(\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right) = {x^2} - {\left( {2y} \right)^2} = {x^2} - 4{y^2}\)

c. \(56.64 = \left( {60 - 4} \right)\left( {60 + 4} \right) = {60^2} - {4^2} = 3600 - 16 = 3584\)

Câu hỏi 7 Trang 11 SGK Toán 8 tập 1

Ai đúng, ai sai?

\({x^2} - 10x + 25 = {\left( {x - 5} \right)^2}\)

Thọ viết:

\({x^2} - 10x + 25 = {\left( {5 - x} \right)^2}\)

Hương nêu nhận xét: Thọ viết sai, Đức viết đúng.

Sơn nói: Qua ví dụ trên mình rút ra được một hằng đẳng thức rất đẹp!

Hãy nêu ý kiến của em. Sơn rút ra được hằng đẳng thức nào?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\({x^2} - 10x + 25 = {\left( {5 - x} \right)^2} = {\left[ { - 1.\left( {x - 5} \right)} \right]^2} = {\left( { - 1} \right)^2}.{\left( {x - 5} \right)^2} = 1.{\left( {x - 5} \right)^2} = {\left( {x - 5} \right)^2}\)

Vậy Thọ, Đức đều viết đúng.

Sơn rút ra được hằng đẳng thức \({\left( {x - 5} \right)^2} = {\left( {5 - x} \right)^2}\)

Nhận xét: \({\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {b - a} \right)^2}\)

C. Giải bài tập trang 11, 12 SGK Toán 8 tập 1

Bài 16 trang 11 SGK Toán 8 tập 1

Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

Hướng dẫn giải:

a) x² + 2x + 1 = x²+ 2.x.1 + 12

= (x + 1)²

b) 9x² + y²+ 6xy = (3x)² + 2.3. x.y + y2 = (3x + y)²

c) 25a² + 4b²– 20ab = (5a)² – 2.5a.2b + (2b)² = (5a – 2b)²

Hoặc 25a² + 4b² – 20ab = (2b)² – 2.2b.5a + (5a)² = (2b – 5a)²

d) \({x^2} - x + \dfrac{1}{4}\)

\(= {x^2} - 2.x.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2}\)

\(= {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)

Hoặc

\({x^2} - x + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4} - x + {x^2}\)

\(= {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} - 2.\dfrac{1}{2}.x + {x^2} = {\left( {\dfrac{1}{2} - x} \right)^2}\)

Bài 17 trang 11 SGK Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng:

(10a + 5)² = 100a . (a + 1) + 25.

Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5.

Áp dụng để tính: 25², 35², 65², 75².

Hướng dẫn giải:

Ta có: (10a + 5)² = (10a)² + 2.10a.5 + 5²

= 100a² + 100a + 25

= 100a(a + 1) + 25.

Cách tính nhẩm bình thường của một số tận cùng bằng chữ số 5;

Ta gọi a là số chục của số tự nhiên có tận cùng bằng 5 => số đã cho có dạng 10a + 5 và ta được

(10a + 5)² = 100a(a + 1) + 25

Vậy để tính bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bởi chữ số 5 ta tính tích a(a + 1) rồi viết 25 vào bên phải.

Áp dụng;

Để tính 25² ta tính 2(2 + 1) = 6 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 625.

Để tính 35² ta tính 3(3 + 1) = 12 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 1225.

65² = (10.6 + 5)²= 100.6(6+1) +25= 600.7 +25 =4200 +25= 4225

75² =(10.7+5)2 = 100.7(7+1) +25 = 700.8 +25=5600 +25 = 5625

Bài 18 trang 11 SGK Toán 8 tập 1

Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ:

a) x² + 6xy + … = (… + 3y)²;

b) … – 10xy + 25y² = (… – …)²;

Hãy nêu một số đề bài tương tự.

Hướng dẫn giải:

a) x² + 6xy + … = (… + 3y)² nên x² + 2x . 3y + … = (…+3y)²

= x² + 2x . 3y + (3y)² = (x + 3y)²

Vậy: x² + 6xy +9y² = (x + 3y)²

b) …-2x . 5y + (5y)2 = (… – …)²;

x² – 2x . 5y + (5y)² = (x – 5y)²

Vậy: x² – 10xy + 25y² = (x – 5y)²

Bài 19 trang 12 SGK Toán 8 tập 1

Tính diện tích phần hình còn lại mà không cần đo.

Từ một miếng tôn hình vuông có cạnh bằng a + b, bác thợ cắt đi một miếng cũng hình vuông có cạnh bằng a – b (cho a > b). Diện tích phần hình còn lại là bao nhiêu? Diện tích phần hình còn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không?

Hướng dẫn giải:

Diện tích của miếng tôn là (a + b)²

Diện tích của miếng tôn phải cắt là (a – b)².

Phần diện tích còn lại là (a + b)2 – (a – b)².

Ta có: (a + b)² – (a – b)² = a² + 2ab + b² – (a² – 2ab + b²)

= a² + 2ab + b² – a² + 2ab – b²

= 4ab

Vậy phần diện tích hình còn lại là 4ab và không phụ thuộc vào vị trí cắt.

Bài 20 trang 12 SGK Toán 8 tập 1

Nhận xét sự đúng, sai của kết quả sau:

x² + 2xy + 4y² = (x + 2y)²

Hướng dẫn giải:

Nhận xét sự đúng, sai:

Ta có: (x + 2y)² = x² + 2 . x . 2y + 4y²

= x² + 4xy + 4y²

Nên kết quả x² + 2xy + 4y² = (x + 2y)² sai.

Bài 21 trang 12 SGK Toán 8 tập 1

Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) 9x² – 6x + 1;

b) (2x + 3y)² + 2.(2x + 3y) + 1.

Hãy nêu một đề bài tương tự.

Hướng dẫn giải:

a) 9x² – 6x + 1 = (3x)² – 2 . 3x . 1 + 1² = (3x – 1)²

Hoặc 9x² – 6x + 1 = 1 – 6x + 9x² = (1 – 3x)²

b) (2x + 3y) = (2x + 3y)² + 2 . (2x + 3y) . 1 + 1²

= [(2x + 3y) + 1]²

= (2x + 3y + 1)²

Đề bài tương tự. Chẳng hạn:

1 + 2(x + 2y) + (x + 2y)²

4x² – 12x + 9…

16x² y⁴ – 8xy² +1

Bài 22 trang 12 SGK Toán 8 tập 1

Tính nhanh:

a) 1012; b) 1992; c) 47.53.

Hướng dẫn giải:

a) 101² = (100 + 1)² = 100² + 2 . 100 + 1 = 10201

b) 199²= (200 – 1)² = 200² – 2 . 200 + 1 = 39601

c) 47.53 = (50 – 3)(50 + 3) = 50² – 3² = 2500 – 9 = 2491.

Bài 23 trang 12 SGK Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng:

(a + b)² = (a – b)² + 4ab;

(a – b)² = (a + b)² – 4ab.

Áp dụng:

a) Tính (a – b)², biết a + b = 7 và a . b = 12.

b) Tính (a + b)², biết a – b = 20 và a . b = 3.

Hướng dẫn giải:

a) (a + b)² = (a – b)² + 4ab

Biến đổi vế trái:

(a + b)² = a² +2ab + b² = a² – 2ab + b² + 4ab

= (a – b)² + 4ab

Vậy (a + b)² = (a – b)2 + 4ab

Hoặc biến đổi vế phải:

(a – b)2 + 4ab = a² – 2ab + b² + 4ab = a² + 2ab + b²

= (a + b)²

Vậy (a + b)² = (a – b)² + 4ab

b) (a – b)² = (a + b)² – 4ab

Biến đổi vế phải:

(a + b)² – 4ab = a² +2ab + b² – 4ab

= a² – 2ab + b² = (a – b)²

Vậy (a – b)² = (a + b)² – 4ab

Áp dụng: Tính:

a) (a – b)² = (a + b)² – 4ab = 7² – 4 . 12 = 49 – 48 = 1

b) (a + b)² = (a – b)² + 4ab = 20² + 4 . 3 = 400 + 12 = 412

Bài 24 trang 12 SGK Toán 8 tập 1

Tính giá trị của biểu thức 49x² – 70x + 25 trong mỗi trường hợp sau:

a) x = 5; b) x = 1/7.

Hướng dẫn giải:

49x² – 70x + 25 = (7x)² – 2 . 7x . 5 + 5² = (7x – 5)²

a) Với x = 5: (7 . 5 – 5)² = (35 – 5)² = 302 = 900

b) Với x = 1/7: (7 . 1/7 – 5)² = (1 – 5)² = (-4)² = 16

Bài 25 trang 12 SGK Toán 8 tập 1

Tính:

a) (a + b + c)²; b) (a + b – c)²;

c) (a – b – c)²

Hướng dẫn giải:

a) (a + b + c)² = [(a + b) + c]² = (a + b)² + 2(a + b)c + c²

= a²+ 2ab + b² + 2ac + 2bc + c²

= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac.

b) (a + b – c)² = [(a + b) – c]² = (a + b)² – 2(a + b)c + c²

= a² + 2ab + b² – 2ac – 2bc + c²

= a² + b² + c² + 2ab – 2bc – 2ac.

c) (a – b –c)² = [(a – b) – c]² = (a – b)² – 2(a – b)c + c²

= a² – 2ab + b² – 2ac + 2bc + c²

= a² + b² + c² – 2ab + 2bc – 2ac.

D. Trắc nghiệm Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài tiếp theo: Giải Toán 8 bài 4: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

Xem thêm:

• Bài tập Những hằng đẳng thức đáng nhớ
• Bài tập Những hằng đẳng thức đáng nhớ nâng cao
• Trắc nghiệm Đại số 8 bài 3

Trên đây, VnDoc đã gửi tới các bạn tài liệu Giải Toán 8 bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ. Để tham khảo lời giải những bài tiếp theo, mời các bạn vào chuyên mục Giải bài tập Toán lớp 8 trên VnDoc nhé. Chuyên mục tổng hợp lời giải Toán lớp 8 theo từng đơn vị bài học giúp các em nắm vững kiến thức được học trong từng bài, từ đó học tốt Toán 8 hơn.

Ngoài Soạn Toán 8, mời các bạn tham khảo thêm Giải SBT Toán 8, Giải Vở BT Toán 8 và các đề thi học học kì 1 lớp 8, đề thi học học kì 2 lớp 8 các môn Toán, Văn, Anh, Hóa... được cập nhật liên tục trên VnDoc.