VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 10 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu!!

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:

Quãng đường (km)

[2,7; 3,0)

[3,0; 3,3)

[3,3; 3,6)

[3,6; 3,9)

[3,9; 4,2)

Số ngày

3

6

5

4

2

Biết phương sai của mẫu số liệu được tính theo công thức:

$S^{2} = \frac{1}{n}\left\lbrack m_{1}x_{1}^{2} + m_{2}x_{2}^{2} + ... + m_{k}x_{k}^{2} \right\rbrack - {\overline{x}}^{2}.$ Khi đó giá trị của phương sai là
- A.
  11,62.
- B.
  3,39.
- C.
  0,36.
- D.
  0,1314.
Hướng dẫn:
Ta có bảng sau:

Quãng đường (km)

[2,7; 3,0)

[3,0; 3,3)

[3,3; 3,6)

[3,6; 3,9)

[3,9; 4,2)

Giá trị đại diện

2,85

3,15

3,45

3,75

4,05

Số ngày

3

6

5

4

2

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x} = \frac{3.2,85 + 6.3,15 + 5.3,45 + 4.3,75 + 2.4,05}{20} = 3,39$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^{2} = \frac{1}{20}\lbrack 3.(2,85)^{2} + 6.(3,15)^{2} + 5.(3,45)^{2}$

$+ 4.(3,75)^{2} + 2.(4,05)^{2}\rbrack - (3,39)^{2} = 0,1314$
Câu 2: Thông hiểu
Xác định độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho
Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: $km$ ) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có giá trị gần nhất với giá trị nào dưới đây?
- A.
  3,41.
- B.
  11,62.
- C.
  0,36.
- D.
  0,017.
Hướng dẫn:
Ta có bảng giá trị như sau:

Giá trị đại diện

2,85

3,15

3,45

3,75

4,05

Số ngày

3

6

5

4

2

Số trung bình:

$\overline{x} = \frac{3.2,85 + 6.3,15 + 5.3,45 + 4.3,75 + 2.4,05}{20} = 3,39$

Phương sai:

$S^{2} = \frac{3.2,85^{2} + 6.3,15^{2} + 5.3,45^{2} + 4.3,75^{2} + 2.4,05^{2}}{20} - 3,39^{2} = 0,1314$

Độ lệch chuẩn:

$\sigma = \sqrt{0,1314} \approx 0,36$

Câu 3: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Bạn Trang thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của các bạn học sinh nữ lớp 12C và lớp 12D ở bảng sau:

Chiều cao (cm)	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)	[170; 175)	[175; 180)	[180; 185)
Số học sinh nữ lớp 12C	2	7	12	3	1	1
Số học sinh nữ lớp 12D	5	9	8	2	2	0

Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

a) [NB] Giá trị đại điện của nhóm $\lbrack 165;\ 170)$ là $167,5$ . Đúng||Sai

b) [TH] Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12D là 30. Sai|||Đúng

c) [VD, VDC] Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh nữ lớp 12C có chiều cao trung bình đồng đều hơn học sinh nữ lớp 12D. Đúng||Sai

d) [VD, VDC] Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh nữ lớp 12D có chiều cao trung bình đồng đều hơn. Sai|||Đúng

Đáp án là:

Bạn Trang thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của các bạn học sinh nữ lớp 12C và lớp 12D ở bảng sau:

Chiều cao (cm)	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)	[170; 175)	[175; 180)	[180; 185)
Số học sinh nữ lớp 12C	2	7	12	3	1	1
Số học sinh nữ lớp 12D	5	9	8	2	2	0

Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

a) [NB] Giá trị đại điện của nhóm $\lbrack 165;\ 170)$ là $167,5$ . Đúng||Sai

b) [TH] Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12D là 30. Sai|||Đúng

d) [VD, VDC] Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh nữ lớp 12D có chiều cao trung bình đồng đều hơn. Sai|||Đúng

a) Đúng

Giá trị đại điện của nhóm $\left\lbrack \mathbf{165}\mathbf{}\mathbf{;}\mathbf{\ }\mathbf{170} ight)$ là $\frac{165 + 170}{2} = 167,5$ .

b) Sai

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12D là $180 - 155 = 25$ .

c) Đúng

Xét mẫu số liệu của lớp 12C:

Cỡ mẫu $n_{C} = 2 + 7 + 12 + 3 + 1 + 1 = 26.$

Gọi $x_{1}\ ;\ ...\ ;\ x_{26}$ là mẫu số liệu gốc về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12C được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có

$x_{1}\ ;\ x_{2} \in \lbrack 155\ ;\ 160)$ ,

$x_{3}\ ;\ ...\ ;\ x_{9} \in \lbrack 160\ ;\ 165)$ ,

$x_{10}\ ;\ ...\ ;\ x_{21} \in \lbrack 165\ ;\ 170)$ ,

$x_{22}\ ;\ x_{23}\ ;x_{24} \in \lbrack 170\ ;\ 175)$ ,

$x_{25} \in \lbrack 175\ ;\ 180)$ ,

$x_{26} \in \lbrack 180\ ;\ 185)$ .

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $x_{7} \in \lbrack 160\ ;\ 165)$ .

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_{1} = 160 + \frac{\frac{26}{4} - 2}{7}(165 - 160) \approx 163,214.$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $x_{20} \in \lbrack 165\ ;\ 170)$ .

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_{3} = 165 + \frac{\frac{3.26}{4} - (2 + 7)}{12}(170 - 165) = 169,375$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\Delta_{C} = Q_{3} - Q_{1} \approx 169,375 - 163,214 \approx 6,161$ .

Xét mẫu số liệu của lớp 12D:

Cỡ mẫu $n_{D} = 5 + 9 + 8 + 2 + 2 + 0 = 26.$

Gọi $x_{1}\ ;\ ...\ ;\ x_{26}$ là mẫu số liệu gốc về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12D được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có

$x_{1}\ ;\ ...\ ;x_{5} \in \lbrack 155\ ;\ 160)$ ,

$x_{6}\ ;\ ...\ ;\ x_{14} \in \lbrack 160\ ;\ 165)$ ,

$x_{15}\ ;\ ...\ ;\ x_{22} \in \lbrack 165\ ;\ 170)$ ,

$x_{23}\ ;\ x_{24} \in \lbrack 170\ ;\ 175)$ ,

$x_{25}\ ;\ x_{26} \in \lbrack 175\ ;\ 180)$ .

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $x_{7} \in \lbrack 160\ ;\ 165)$ . Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q'}_{1} = 160 + \frac{\frac{26}{4} - 5}{9}(165 - 160) \approx 160,833.$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $x_{20} \in \lbrack 165\ ;\ 170)$ .

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q'}_{3} = 165 + \frac{\frac{3.26}{4} - (5 + 9)}{8}(170 - 165) = 168,4375$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\Delta_{D} = {Q'}_{3} - {Q'}_{1} \approx 168,4375 - 160,833 \approx 7,6045$ .

Vì $\Delta_{C} < \Delta_{D}$ nên nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh nữ lớp 12C có chiều cao trung bình đồng đều hơn học sinh nữ lớp 12D.

d) Sai

Ta có bảng giá trị đại diện của nhóm:

Chiều cao (cm)	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)	[170; 175)	[175; 180)	[180; 185)
Giá trị đại diện	157,5	162,5	167,5	172,5	177,5	182,5
Số học sinh nữ lớp 12C	2	7	12	3	1	1
Số học sinh nữ lớp 12D	5	9	8	2	2	0

Xét mẫu số liệu của lớp 12C:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}_{C} = \frac{2.157,5 + 7.162,5 + 12.167,5 + 3.172,5 + 1.177,5 + 1.182,5}{26} = \frac{2170}{13}$ .

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_{C}^{2} = \frac{1}{26}[ 2.(157,5)^{2} + 7.(162,5)^{2} + 12.(167,5)^{2}$ $+ 3.(172,5)^{2} + 1.(177,5)^{2} + 1.(182,5)^{2} ] - \left( \frac{2170}{13} ight)^{2} \approx 29,475$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S_{C} = \sqrt{S_{C}^{2}} = \sqrt{29,475} \approx 5,429$ .

Xét mẫu số liệu của lớp 12D:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}_{D} = \frac{5.157,5 + 9.162,5 + 8.167,5 + 2.172,5 + 2.177,5 + 0.182,5}{26} = 165$ .

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_{D}^{2} = \frac{1}{26}[ 5.(157,5)^{2} + 9.(162,5)^{2} + 8.(167,5)^{2}$ $+ 2.(172,5)^{2} + 2.(177,5)^{2} + 0.(182,5)^{2} ]- (165)^{2} = 31,25$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S_{D} = \sqrt{S_{D}^{2}} = \sqrt{31,25} \approx 5,59$ .

Vì $S_{C} < S_{D}$ nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh nữ lớp 12C có chiều cao trung bình đồng đều hơn.

Câu 4: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Thống kê tổng số giờ nắng trong tháng 9 tại khu vực A trong các năm từ 2004 đến 2023 được thống kê như sau:
111,6
134,9
130,3
134,2
140,9
109,3
154,4
156,3
116,1
96,7
105,2
80,8
80,8
110
109
139
145
161
126
114
Lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là [80; 98) và độ dài nhóm bằng 18. Tính sai số tương đối của độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm so với độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Thống kê tổng số giờ nắng trong tháng 9 tại khu vực A trong các năm từ 2004 đến 2023 được thống kê như sau:
111,6
134,9
130,3
134,2
140,9
109,3
154,4
156,3
116,1
96,7
105,2
80,8
80,8
110
109
139
145
161
126
114
Lập bảng tần số ghép nhóm với nhóm đầu tiên là [80; 98) và độ dài nhóm bằng 18. Tính sai số tương đối của độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm so với độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 5: Thông hiểu
Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm
Một siêu thị thống kê số tiền (đơn vị: chục nghìn đồng) mà 44 khách hàng mua hàng ở siêu thị đó trong một ngày. Số liệu được ghi lại trong Bảng 18.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:
- A.
  8,5.
- B.
  6,2.
- C.
  33,4.
- D.
  46,1.
Hướng dẫn:
Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x} = \frac{4.42,5 + 14.47,5 + 8.52,5 + 10.57,5 + 6.62,5 + 2.67,5}{44} = \frac{585}{11}$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$s^{2} = \frac{4\left( 42,5 - \frac{585}{11} ight)^{2} + 14\left( 47,5 - \frac{585}{11} ight)^{2}}{44}$

$+ \frac{8\left( 52,5 - \frac{585}{11} ight)^{2} + 10\left( 57,5 - \frac{585}{11} ight)^{2}}{44}$

$+ \frac{+ 6\left( 62,5 - \frac{585}{11} ight)^{2} + 2.\left( 67,5 - \frac{585}{11} ight)^{2}}{44} \approx 46,12$

Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\sqrt{s} \approx 6,2$
Câu 6: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Thống kê thời gian làm bài test ngắn của học sinh hai lớp 12A và 12B ghi lại trong bảng sau:
Thời gian (phút)
[6; 7)
[7; 8)
[8; 9)
[9; 10)
[10; 11)
Học sinh lớp 12A
8
10
13
10
9
Học sinh lớp 12B
4
12
17
14
3
Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh lớp nào có tốc độ làm bài ít đồng đều hơn?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Thống kê thời gian làm bài test ngắn của học sinh hai lớp 12A và 12B ghi lại trong bảng sau:
Thời gian (phút)
[6; 7)
[7; 8)
[8; 9)
[9; 10)
[10; 11)
Học sinh lớp 12A
8
10
13
10
9
Học sinh lớp 12B
4
12
17
14
3
Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh lớp nào có tốc độ làm bài ít đồng đều hơn?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 7: Vận dụng
Chọn khẳng định đúng
Giá đóng cửa của một cổ phiếu là giá của cổ phiếu đó cuối một phiên giao dịch. Bảng sau thống kê giá đóng cửa (đơn vị: nghìn đồng) của hai mã cổ phiếu $A$ và $B$ trong $50$ ngày giao dịch liên tiếp.

Giá đóng cửa
$\lbrack 120;122)$ $\lbrack 122;124)$ $\lbrack 124;126)$ $\lbrack 126;128)$ $\lbrack 128;130)$

Số ngày giao dịch

của cổ phiếu $A$
$8$ $9$ $12$ $10$ $11$

Số ngày giao dịch

của cổ phiếu $B$
$16$ $4$ $3$ $6$ $21$

Người ta có thể dùng phương sai và độ lệch chuẩn để so sánh mức độ rủi ro của các loại cổ phiếu có giá trị trung bình gần bằng nhau. Cổ phiếu nào có phương sai, độ lệch chuẩn cao hơn thì được coi là có độ rủi ro lớn hơn. Chọn khẳng định đúng.
- A.
  Giá đóng cửa của cổ phiếu $A$ ít phân tán hơn giá đóng cửa của cổ phiếu $B$ .
- B.
  Giá đóng cửa của cổ phiếu $B$ ít phân tán hơn giá đóng cửa của cổ phiếu $A$ .
- C.
  Phương sai của mẫu số liệu của cổ phiếu $A$ lớn hơn phương sai của mẫu số liệu của cổ phiếu $B$ .
- D.
  Giá đóng cửa của hai cổ phiếu $A$ và $B$ có độ phân tán như nhau.
Hướng dẫn:
Ta có bảng thống kê theo giá trị đại diện

Giá đóng cửa
121 123 125 127 129

Số ngày giao dịch

của cổ phiếu $A$
$8$ $9$ $12$ $10$ $11$

Số ngày giao dịch

của cổ phiếu $B$
$16$ $4$ $3$ $6$ $21$

Xét mẫu số liệu của cổ phiếu $A$

Số trung bình của mẫu số liệu là

${\overline{x}}_{A} = \frac{1}{50}.(8.121 + 9.123 + 12.125 + 10.127 + 11.129) = 125,28$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

${S_{A}}^{2} = \frac{1}{50}.\left( 8.121^{2} + 9.123^{2} + 12.125^{2} + 10.127^{2} + 11.129^{2} \right) - 125,28^{2} = 7,5216$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là

$S_{A} = \sqrt{7,5216}$

Xét mẫu số liệu của cổ phiếu $B$

Số trung bình của mẫu số liệu là

${\overline{x}}_{B} =\frac{1}{50}.(16.121 + 4.123 + 3.125 + 6.127 + 21.129)= 125,48$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

${S_{B}}^{2} = \frac{1}{50}.\left( 16.121^{2} + 4.123^{2} + 3.125^{2} + 6.127^{2} + 21.129^{2} \right) - 125,48^{2} = 12,4096$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là

$S_{B} = \sqrt{12,4096}$

Ta có $S_{A} < S_{B}$ nên giá đóng cửa của cổ phiếu $A$ ít phân tán hơn giá đóng cửa của cổ phiếu $B$ .
Câu 8: Thông hiểu
Tính độ lệch chuẩn
Chị A lập bảng doanh thu bán hải sản của cửa hàng trong 20 ngày (đơn vị: triệu đồng) như sau:

Doanh thu

[5; 7)

[7; 9)

[9; 11)

[11; 13)

[13; 15)

Số ngày

2

7

7

3

1

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:
- A.
  $2,5$
- B.
  $3,5$
- C.
  $3,4$
- D.
  $2,0$
Hướng dẫn:
Ta có:

Doanh thu

[5; 7)

[7; 9)

[9; 11)

[11; 13)

[13; 15)

Giá trị đại diện

6

8

10

12

14

Số ngày

2

7

7

3

1

Số trung bình: $\overline{x} = \frac{2.6 + 7.8 + 7.10 + 3.12 + 1.14}{20} = \frac{47}{5}$

Phương sai:

$S^{2} = \frac{2.6^{2} + 7.8^{2} + 7.10^{2} + 3.12^{2} + 1.14^{2}}{20} - \left( \frac{47}{5} ight)^{2} = 4,04$

Độ lệch chuẩn:

$S = 2$
Câu 9: Thông hiểu
Tính phương sai của mẫu số liệu
Mỗi ngày bác T đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác T trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:

Quãng đường

[2,7; 3,0)

[3,0; 3,3)

[3,3; 3,6)

[3,6; 3,9)

[3,9; 4,2)

Số ngày

3

6

5

4

2

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:
- A.
  $11,62$
- B.
  $0,1314$
- C.
  $3,9$
- D.
  $0,36$
Hướng dẫn:
Ta có:

Quãng đường

[2,7; 3,0)

[3,0; 3,3)

[3,3; 3,6)

[3,6; 3,9)

[3,9; 4,2)

Giá trị đại diện

2,85

3,15

3,45

3,75

4,05

Số ngày

3

6

5

4

2

Số trung bình:

$\overline{x} = \frac{3.2,85 + 6.3,15 + 5.3,45 + 4.3,75 + 2.4,05}{20} = 3,39$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$s^{2} = \frac{3.2,85^{2} + 6.3,15^{2} + 5.3,45^{2} + 4.3,75^{2} + 2.4,05^{2}}{20} - 3,39^{2} = 0,1314$
Câu 10: Thông hiểu
Tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm
Mỗi ngày bác Hương đều đi bộ để rèn luyện sức khỏe. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác Hương trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là (làm tròn đến hàng phần trăm)
- A.
  3,39.
- B.
  11,62.
- C.
  0,13.
- D.
  0,36.
Hướng dẫn:
Cỡ mẫu: $n = 20$ .

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

$\overline{x} = \frac{2,85.3 + 3,15.6 + 3,45.5 + 3,75.4 + 4,05.2}{20} = 3,39$ .

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$S^{2} = \frac{1}{20}\left( 2,85^{2}.3 + 3,15^{2}.6 + 3,45^{2}.5 + 3,75^{2}.4 + 4,05^{2}.2 ight) - 3,39^{2} \approx 0,13$
Câu 11: Vận dụng
Chọn đáp án đúng nhất
Thống kê lợi nhuận hàng tháng (đơn vị: triệu đồng) trong 20 tháng của hai nhà đầu tư được cho như sau:

Đáp án nào dưới đây đúng nhất?
- A.
  Độ lệch chuẩn của nhà đầu tư lớn cao hơn $14$ .
- B.
  Không nên chỉ dựa và độ lệch chuẩn để đánh giá mức độ rủi ro.
- C.
  Nhà đầu tư lớn có mức độ rủi ro cao hơn.
- D.
  Lợi nhuận trung bình mỗi tháng của nhà đầu tư nhỏ cao hơn nhà đầu tư lớn.
Hướng dẫn:
Chọn điểm đại diện cho các nhóm số liệu ta tính được các số đặc trưng như sau Lợi nhuận trung bình một tháng của các nhà đầu tư tương ứng là

$\begin{matrix} {\overline{x}}_{A} = \frac{1}{20}(2 \cdot 15 + \ldots + 2 \cdot 55) = 35 \\ {\overline{x}}_{B} = \frac{1}{20}(4 \cdot 515 + \ldots + 4 \cdot 555) = 535 \\ \end{matrix}$

Độ lệch chuẩn của lợi nhuận hàng tháng của hai nhà đầu tư tương ứng là

$\begin{matrix} s_{A} = \sqrt{\frac{1}{20}\left( 2 \cdot 15^{2} + \ldots + 2 \cdot 55^{2} \right) - (35)^{2}} \approx 10,95 \\ s_{B} = \sqrt{\frac{1}{20}\left( 4 \cdot 515^{2} + \ldots + 4 \cdot 555^{2} \right) - (535)^{2}} \approx 13,78. \\ \end{matrix}$

Độ lệch chuẩn cho lợi nhuận hàng tháng của nhà đầu tư lớn cao hơn của nhà đầu tư nhỏ. Lợi nhuận trung bình của hai nhà đầu tư khác nhau rất nhiều, do đó ta không nên dùng độ lệch chuẩn để so sánh mức độ rủi ro của hai nhà đầu tư này
Câu 12: Thông hiểu
Xác định nhận xét sai
Bộ phận kiểm tra chất lượng sản phẩm dùng máy để đo (chính xác đến $0,001\ mm$ ) độ dày của một chi tiết máy. Kết quả đo một số sản phẩm được thống kê trong bảng sau:

Nhận xét nào sau đây sai?
- A.
  Cỡ mẫu của mẫu số liệu là 60.
- B.
  Số trung bình của mẫu số liệu gần bằng với $20,77$ .
- C.
  Độ dày của chi tiết máy không bị sai lệch nhiều.
- D.
  Độ lệch chuẩn của mẫu lớn hơn $2$ .
Hướng dẫn:
Ta có cỡ mẫu $n = 60$ .

Số trung bình của mẫu số liệu là

$\overline{x} = \frac{3 \cdot 18,5 + 7 \cdot 19,5 + 23 \cdot 20,5 + 25 \cdot 21,5 + 2 \cdot 22,5}{60} = \frac{623}{30} \approx 20,77.$

Phương sai của mẫu số liệu là

$S^{2} = \frac{1}{60}( 3 \cdot18,5^{2} + 7 \cdot 19,5^{2} + 23 \cdot 20,5^{2}$ $+ 25 \cdot 21,5^{2} + 2\cdot 22,5^{2} ) - \left( \frac{623}{30} \right)^{2} =\frac{179}{225}$ .

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là $S^{2} = \sqrt{\frac{179}{225}} = \frac{\sqrt{179}}{15} \approx 0,89$ .
Câu 13: Thông hiểu

Xác định tính đúng sai của từng phương án

Cho bảng thống kê cân nặng của học sinh (đơn vị: kg) lớp 12D như sau:

Nhóm cân nặng

[30; 40)

[40; 50)

[50; 60)

[60; 70)

[70; 80)

[80; 90)

Số học sinh

2

10

16

8

2

2

Hãy cho biết tính đúng sai của mỗi mệnh đề dưới đây.

a) Số học sinh nặng dưới 50 kilogam là 1. Đúng||Sai

b) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên xấp xỉ bằng 54,29(kg). Đúng||Sai

c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $19,5$ . Sai||Đúng

d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là 128. Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho bảng thống kê cân nặng của học sinh (đơn vị: kg) lớp 12D như sau:

Nhóm cân nặng

[30; 40)

[40; 50)

[50; 60)

[60; 70)

[70; 80)

[80; 90)

Số học sinh

2

10

16

8

2

2

Hãy cho biết tính đúng sai của mỗi mệnh đề dưới đây.

a) Số học sinh nặng dưới 50 kilogam là 1. Đúng||Sai

b) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên xấp xỉ bằng 54,29(kg). Đúng||Sai

c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $19,5$ . Sai||Đúng

d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là 128. Sai||Đúng

a) Đúng: Số học sinh nặng dưới 50 kg là $2 + 10 = 12$ .

b) Đúng: Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là $\lbrack 50;60)$ .

Do đó $u_{m} = 50;n_{m} = 16;n_{m - 1} = 10,n_{m + 1} = 8,u_{m + 1} - u_{m} = 60 - 50 = 10$ .

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ bằng:

$M_{0} = 50 + \frac{16 - 10}{(16 - 10) + (16 - 8)} \cdot 10 = \frac{380}{7} \approx 54,29(\text{\ }kg)$

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên xấp xỉ bằng $54,29(\text{\ }kg)$ .

c) Sai: Cỡ mẫu $n = 40$ .

Gọi $x_{1},x_{2} \in \lbrack 30;40);x_{3},\ldots,x_{12} \in \lbrack 40;50);$

$x_{13},\ldots,x_{28} \in \lbrack 50;60);x_{29},\ldots,x_{36} \in \lbrack 60;70)$ ;

$x_{37},x_{38} \in \lbrack 70;80);x_{39},x_{40} \in \lbrack 80;90).$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( x_{10} + x_{11} ight) \in \lbrack 40;50)$ .

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_{1} = 40 + \frac{\frac{40}{4} - 2}{10} \cdot (50 - 40) = 48$ .

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( x_{30} + x_{31} ight) \in \lbrack 60;70)$ .

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_{3} = 60 + \dfrac{\dfrac{3 \cdot 40}{4} -(2 + 10 + 16)}{8}.(70 - 60) = \frac{125}{2}$ .

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

$\Delta_{Q} = \frac{125}{2} - 48 = \frac{29}{2}$

d) Sai: Ta có bảng cân nặng của các em học sinh theo giá trị đại diện:

Nhóm

Giá trị đại diện

Tần số

[30; 40)
35

2

[40; 50)
45

10

[50; 60)
55

16

[60; 70)
65

8

[70; 80)
75

2

[80; 90)
85

2

Cỡ mẫu $n = 2 + 10 + 16 + 8 + 2 + 2 = 40$ .

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

$\frac{35.2 + 45.10 + 55.16 + 65.8 + 75.2 + 85.2}{40}$ $= \frac{2240}{40} = 56(kg)$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$S^{2} = \frac{1}{40}\left( {2.35}^{2} + {10.45}^{2} + {16.55}^{2} + {8.65}^{2} + {2.75}^{2} + {2.85}^{2} ight) - 56^{2}$

$= 3265 - 3136 = 129.$
Câu 14: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Người ta ghi lại tiền lãi (đơn vị: triệu đồng) của một số nhà đầu tư (với số tiền đầu tư như nhau), khi đầu tư vào hai lĩnh vực $A,B$ cho kết quả như sau

Người ta có thể dùng phương sai và độ lệch chuẩn để so sánh mức độ rủi ro đầu tư các lĩnh vực có giá trị trung bình tiền lãi gần bằng nhau. Lĩnh vực nào có phương sai, độ lệch chuẩn tiền lãi cao hơn thì được coi là có độ rủi ro lớn hơn.

Theo quan điểm trên, độ rủi ro của cổ phiếu nào cao hơn?
- A.
  Lĩnh vực $A$ có độ rủi ro bằng lĩnh vực $B$ .
- B.
  Không so sánh được.
- C.
  Lĩnh vực $A$ có độ rủi ro thấp hơn lĩnh vực $B$ .
- D.
  Lĩnh vực $A$ có độ rủi ro cao hơn lĩnh vực $B$ .
Hướng dẫn:
Lĩnh vực $A$

Lĩnh vực $B$

Giá trị trung bình của hai lĩnh vực $A$ và $B$ là

${\overline{x}}_{A} = \frac{1}{25}.(2.7,5 + 5.12,5 + 8.17,5 + 6.22,5 + 4.27,5) = 18,5$

${\overline{x}}_{B} = \frac{1}{25}.(8.7,5 + 4.12,5 + 2.17,5 + 5.22,5 + 6.27,5) = 16,9$

Về độ trung bình đầu tư vào lĩnh vực $A$ lãi hơn lĩnh vực $B$ .

Độ lệch chuẩn của hai lĩnh vực $A$ và $B$ là

$s_{A} = \sqrt{\frac{1}{25}.\left( 2.7,5^{2} + 5.12,5^{2} + 8.17,5^{2} + 6.22,5^{2} + 4.27,5^{2} \right) - 18,5^{2}} = 5,8$

$s_{B} = \sqrt{\frac{1}{25}.\left( 8.7,5^{2} + 4.12,5^{2} + 2.17,5^{2} + 5.22,5^{2} + 6.27,5^{2} \right) - 16,9^{2}} = 8,04.$

Như vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thu tiền được hàng tháng khi đầu tư vào lĩnh vực $B$ cao hơn lĩnh vực $A$ nên đầu tư vào lĩnh vực $B$ rủi ro hơn.
Câu 15: Thông hiểu
Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu
Thời gian tự học tại nhà mỗi ngày (đơn vị: phút) của một học sinh lớp 12A được ghi lại như bảng sau:

Thời gian (phút)

[20; 25)

[25; 30)

[30; 35)

[35; 40)

[40; 45)

Số ngày

6

6

4

1

1

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho gần nhất với giá trị nào sau đây?
- A.
  $5,6$
- B.
  $4,5$
- C.
  $4,3$
- D.
  $5,0$
Hướng dẫn:
Ta có:

Thời gian (phút)

[20; 25)

[25; 30)

[30; 35)

[35; 40)

[40; 45)

Giá trị đại diện

22,5

27,5

32,5

37,5

42,5

Số ngày

6

6

4

1

1

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x} = \frac{6.22,5 + 6.27,5 + 4.32,5 + 1.37,5 + 1.42,5}{18} = \frac{85}{3}$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^{2} = \frac{1}{18}\left( 6.22,5^{2} + 6.27,5^{2} + 4.32,5^{2} + 1.37,5^{2} + 1.42,5^{2} ight) - \left( \frac{85}{3} ight)^{2} = 31,25$

Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu cần tìm là: $S = \sqrt{S^{2}} \approx \sqrt{31,25} = 5,6$
Câu 16: Thông hiểu
Định phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm
Bạn Mai rất thích múa. Thời gian tập múa mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn Mai được thống kê lại ở bảng sau:

Thời gian (phút)
$\lbrack 20;\ 25)$ $\lbrack 25;\ 30)$ $\lbrack 30;\ 35)$ $\lbrack 35;\ 40)$ $\lbrack 40;\ \ 45)$

Số ngày

6

6

4

1

1

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là (làm tròn đến hàng phần trăm)
- A.
  31,44.
- B.
  31,77.
- C.
  31,25.
- D.
  32,25.
Hướng dẫn:
+ Cỡ mẫu: $n = 18$ .

Thời gian (phút)
$\lbrack 20;\ 25)$ $\lbrack 25;\ 30)$ $\lbrack 30;\ 35)$ $\lbrack 35;\ 40)$ $\lbrack 40;\ \ 45)$

Giá trị đại diện

22,5

27,5

32,5

37,5

42,5

Số ngày

6

6

4

1

1

+ Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x} = \frac{22,5.6 + 27,5.6 + 32,5.4 + 37,5.1 + 42,5.1}{18} = \frac{85}{3}$ .

+ Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$S^{2} = \frac{1}{18}(22,5^{2}.6 + 27,5^{2}.6 + 32,5^{2}.4$ $+ 37,5^{2}.1 + 42,5^{2}.1) - \left( \frac{85}{3} \right)^{2} = 31,25$ .
Câu 17: Vận dụng
Chọn câu trả lời đúng nhất
Trong 30 ngày, một nhà đầu tư đã theo dõi giá cổ phiếu của hai công ty G và $H$ vào phiên mở cửa mỗi ngày. Thông tin được ghi lại ở hai bảng dưới đây:

Chọn câu trả lời đúng nhất biết độ lệch chuẩn càng cao thì tỷ lệ rủi ro càng lớn:
- A.
  Cả hai công ty đều không rủi ro.
- B.
  Công ty $H$ rủi ro hơn.
- C.
  Cả hai đều rủi ro như nhau.
- D.
  Công ty G rủi ro hơn.
Hướng dẫn:
Công ty $G$ :

Bổ sung thêm các giá trị đại diện, ta có bảng sau

Giá trị trung bình của mẫu số liệu là

$\overline{x} = \frac{51 \cdot 3 + 53 \cdot 7 + 55 \cdot 9 + 57 \cdot 8 + 59 \cdot 3}{30} \approx 55,1.$

Trung bình cộng của các bình phương số liệu thống kê là

$\overline{x^{2}} = \frac{51^{2} \cdot 3 + 53^{2} \cdot 7 + 55^{2} \cdot 9 + 57^{2} \cdot 8 + 59^{2} \cdot 3}{30} \approx 3037,5.$

Từ đó ta có độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là $s = \sqrt{\overline{x^{2}} - \left( \overline{x} \right)^{2}} \approx \sqrt{5,2} \approx 2,3$ .

Công ty $H$

Bổ sung thêm các giá trị đại diện, ta có bảng sau

Giá trị trung bình của mẫu số liệu là

$\overline{x} = \frac{41 \cdot 6 + 43 \cdot 7 + 45 \cdot 5 + 47 \cdot 7 + 49 \cdot 5}{30} \approx 44,9.$

Trung bình cộng của các bình phương số liệu thống kê là

$\overline{x^{2}} = \frac{41^{2} \cdot 6 + 43^{2} \cdot 7 + 45^{2} \cdot 5 + 47^{2} \cdot 7 + 49^{2} \cdot 5}{30} \approx 2020,7.$

Từ đó ta có độ lệch chuẩn của mấu số liệu là $s = \sqrt{\overline{x^{2}} - \left( \overline{x} \right)^{2}} \approx \sqrt{7,7} \approx 2,8$ .

Từ kết quả trên, ta thấy công ty $H$ rủi ro hơn
Câu 18: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Giá đóng cửa của một cổ phiếu là giá của cổ phiếu đó cuối một phiên giao dịch. Bảng sau thống kê giá đóng cửa (đơn vị: nghìn đồng) của hai mã cổ phiếu $A$ và $B$ trong 50 ngày giao dịch liên tiếp.

Người ta có thể dùng phương sai và độ lệch chuẩn để so sánh mức độ rủi ro của các loại cổ phiếu có giá trị trung bình gần bằng nhau. Cổ phiếu nào có phương sai, độ lệch chuẩn cao hơn thì được coi là có độ rủi ro lớn hơn.

Theo quan điểm trên, độ rủi ro của cổ phiếu nào cao hơn?
- A.
  Không so sánh được.
- B.
  Cổ phiếu $A$ có độ rủi ro cao hơn cổ phiếu $B$ .
- C.
  Cổ phiếu $A$ có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu $B$ .
- D.
  Cổ phiếu $A$ có độ rủi ro bằng cổ phiếu $B$ .
Hướng dẫn:
Ta có bảng thống kê giá đóng cửa theo giá trị đại diện

- Xét mẫu số liệu của cổ phiếu A

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\overline{x}}_{1} = \frac{8.121 + 9.123 + 12.125 + 10.127 + 11.129}{50} = 125,28.$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$S_{1}^{2} = \frac{1}{50}8.121^{2} + 9.123^{2} + 12.125^{2} + 10.127^{2}$

$+ 11.129^{2}) - 125,28^{2} = 7,5216.$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_{1} = \sqrt{7,5216}$

- Xét mẫu số liệu của cổ phiếu $B$

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

${\overline{x}}_{2} = \frac{1}{50}(16.121 + 4.123 + 3.125 + 6.127 + 21.129) = 125,48.$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$S_{2}^{2} = \frac{1}{50}(16.121^{2} + 4.123^{2} + 3.125^{2} + 6.127^{2}$

$+ 21.129^{2}) - 125,48^{2} = 12,4096.$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là $S_{2} = \sqrt{12,4096}$ .

Vậy nếu đánh giá độ rủi ro theo phương sai và độ lệch chuẩn thì cổ phiếu $A$ có độ rủi ro thấp hơn cồ phiếu $B$ .
Câu 19: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Kết quả thống kê điểm trung bình năm học của hai lớp 12C và 12D như sau:
Điểm trung bình
[5; 6)
[6; 7)
[7; 8)
[8; 9)
[9; 10)
Số học sinh lớp 12C
4
5
3
4
2
Số học sinh lớp 12D
2
5
4
3
1
Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh của lớp nào có điểm đồng đều hơn?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Kết quả thống kê điểm trung bình năm học của hai lớp 12C và 12D như sau:
Điểm trung bình
[5; 6)
[6; 7)
[7; 8)
[8; 9)
[9; 10)
Số học sinh lớp 12C
4
5
3
4
2
Số học sinh lớp 12D
2
5
4
3
1
Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm thì học sinh của lớp nào có điểm đồng đều hơn?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 20: Thông hiểu
Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu
Mỗi ngày bác T đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bác T trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:

Quãng đường

[2,7; 3,0)

[3,0; 3,3)

[3,3; 3,6)

[3,6; 3,9)

[3,9; 4,2)

Số ngày

3

6

5

4

2

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:
- A.
  $0,36$
- B.
  $3,41$
- C.
  $0,017$
- D.
  $11,62$
Hướng dẫn:
Ta có:

Quãng đường

[2,7; 3,0)

[3,0; 3,3)

[3,3; 3,6)

[3,6; 3,9)

[3,9; 4,2)

Giá trị đại diện

2,85

3,15

3,45

3,75

4,05

Số ngày

3

6

5

4

2

Số trung bình:

$\overline{x} = \frac{3.2,85 + 6.3,15 + 5.3,45 + 4.3,75 + 2.4,05}{20} = 3,39$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$s^{2} = \frac{3.2,85^{2} + 6.3,15^{2} + 5.3,45^{2} + 4.3,75^{2} + 2.4,05^{2}}{20} - 3,39^{2} = 0,1314$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$s = \sqrt{s^{2}} = \sqrt{0,1314} \approx 0,36$

0/20

20 câu:

Kiểm tra Kiểm tra lại Tiếp tục Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (60%):

2/3
Thông hiểu (40%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Bơ

36 Bài viết đã được lưu

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Số điện thoại này đã được xác thực!

Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!

Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Tìm bài trong mục này

Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều
Trắc nghiệm Toán 12 Sách cũ

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 10 (Mức độ Khó)

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức

Trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trắc nghiệm Toán 12 Cánh diều

Trắc nghiệm Toán 12 Sách cũ

Quãng đường (km)	[2,7; 3,0)	[3,0; 3,3)	[3,3; 3,6)	[3,6; 3,9)	[3,9; 4,2)
Số ngày	3	6	5	4	2

111,6	134,9	130,3	134,2	140,9
109,3	154,4	156,3	116,1	96,7
105,2	80,8	80,8	110	109
139	145	161	126	114

Thời gian (phút)	[6; 7)	[7; 8)	[8; 9)	[9; 10)	[10; 11)
Học sinh lớp 12A	8	10	13	10	9
Học sinh lớp 12B	4	12	17	14	3

Doanh thu	[5; 7)	[7; 9)	[9; 11)	[11; 13)	[13; 15)
Số ngày	2	7	7	3	1

Quãng đường	[2,7; 3,0)	[3,0; 3,3)	[3,3; 3,6)	[3,6; 3,9)	[3,9; 4,2)
Số ngày	3	6	5	4	2

Nhóm cân nặng	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)	[70; 80)	[80; 90)
Số học sinh	2	10	16	8	2	2

Nhóm	Giá trị đại diện	Tần số
[30; 40)	35	2
[40; 50)	45	10
[50; 60)	55	16
[60; 70)	65	8
[70; 80)	75	2
[80; 90)	85	2

Thời gian (phút)	[20; 25)	[25; 30)	[30; 35)	[35; 40)	[40; 45)
Số ngày	6	6	4	1	1

Thời gian (phút)	$\lbrack 20;\ 25)$	$\lbrack 25;\ 30)$	$\lbrack 30;\ 35)$	$\lbrack 35;\ 40)$	$\lbrack 40;\ \ 45)$
Số ngày	6	6	4	1	1

Điểm trung bình	[5; 6)	[6; 7)	[7; 8)	[8; 9)	[9; 10)
Số học sinh lớp 12C	4	5	3	4	2
Số học sinh lớp 12D	2	5	4	3	1