Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 89.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 13 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho khối cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} =25, mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y - 2z + 5 = 0 cắt khối cầu (S) thành hai phần. Tính thể tích của phần không chứa tâm của mặt cầu (S).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho khối cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} =25, mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y - 2z + 5 = 0 cắt khối cầu (S) thành hai phần. Tính thể tích của phần không chứa tâm của mặt cầu (S).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 2: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} và nửa elip có phương trình y = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}} (với - 2 \leq x \leq 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Gọi S là diện tích của, biết S = \frac{a\pi + b\sqrt{3}}{c} (với a;b;c\mathbb{\in R}). Tính P = a + b + c?

    Hướng dẫn:

    Hoành độ giao điểm của hai đồ thị: \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}} \Leftrightarrow x = \pm 1

    Do tính chất đối xứng của đồ thị nên

    S = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} + \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx} ight) = 2\left( S_{1} + S_{2} ight)

    S_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} = \frac{\sqrt{3}}{6}

    S_{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx}. Đặt x = 2\sin t\Rightarrow dx = 2\cos tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \\x = 2 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{2} \\\end{matrix} ight.

    Với t \in \left\lbrack\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow \cos t \geq 0\Rightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = 2\sqrt{\cos^{2}t} = 2\cos t

    S_{2} =\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{4\cos^{2}tdt} =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{2\cos^{2}tdt}

    =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{(1 + \cos2t)dt} = \left. \ \left( t+ \frac{1}{2}\sin2t ight) ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}

    Suy ra S = \frac{4\pi - \sqrt{3}}{6} \Rightarrow a = 4;b = - 1;c = 6

    Vậy P = a + b + c = 9

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Tính số tiền cần xây cầu

    Trong chương trình nông thôn mới của tỉnh Phú Yên, tại xã Hòa Mỹ Tây có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ (đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). Biết 1\ m^{3} khối bê tông để đổ cây cầu có giá 5 triệu đồng. Tính số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu trên.

    Hướng dẫn:

    Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.

    .

    Gọi \left( P_{1} \right):y = a_{1}x^{2} + b_{1} là Parabol đi qua hai điểm A\left( \frac{19}{2};0 \right),B(0;2)

    Nên ta có hệ phương trình sau: \left\{ \begin{matrix} 0 = a.\left( \frac{19}{2} \right)^{2} + 2 \\ 2 = b \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{1} = - \frac{8}{361} \\ b_{1} = 2 \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left( P_{1} \right):y = - \frac{8}{361}x^{2} + 2.

    Gọi \left( P_{2} \right):y = a_{2}x^{2} + b_{2} là Parabol đi qua hai điểm C(10;0),D\left( 0;\frac{5}{2} \right)

    Nên ta có hệ phương trình sau: \left\{ \begin{matrix} 0 = a_{2}.(10)^{2} + \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} = b_{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{2} = - \frac{1}{40} \\ b_{2} = \frac{5}{2} \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left( P_{2} \right):y = - \frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2}.

    Ta có thể tích của bê tông là:

    V = 5.2\left\lbrack \int_{0}^{10}\left( - \frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2} \right)dx - \int_{0}^{\frac{19}{2}}\left( - \frac{8}{361}x^{2} + 2 \right)dx \right\rbrack = 40\ m^{3}.

    Số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu là: 5.40 = 200 triệu đồng

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tính diện tích hình phẳng

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x^{2} và y = x bằng:

    Hướng dẫn:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm

    x^{2} = x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng là:

    S = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - x ight|dx} = \left| \int_{0}^{1}{\left( x^{2} - x ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{1} ight| = \frac{1}{6}

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Ghi đáp án đúng vào ô trống

    Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án:  4,32m2.

    Đáp án là:

    Một cửa hàng bán cá thiết kế một con cá làm biểu tượng cho cửa hàng của mình ở biển quảng cáo như hình bên dưới. Chủ cửa hàng dùng một miếng gỗ mỏng có chiều dài là 4m và chiều rộng 2m. Ông dùng hai parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh dài và đi qua hai điểm đầu của cạnh đối diện để tạo thành con cá (phần tô đậm). Tính diện tích con cá (tính cả phần mắt của con cá) theo đơn vị m2 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

    Đáp án:  4,32m2.

    Đặt hệ trục tọa độ có gốc O trùng với giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật.

    Đồ thị của hàm số y = f(x)nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm A( - 1;0)và A(2;1) có dạng hàm số (P_{1}):y = \frac{1}{2}x^{2} - 1.

    Đồ thị của hàm số y = g(x)nhận trục Oy làm trục đối xứng đi qua hai điểm C(1;0)và D(2; - 1) có dạng hàm số (P_{1}):y = - \frac{1}{2}x^{2} + 1.

    Giao điểm của hai parabol tại x_{1} = - \sqrt{2};x_{2} = \sqrt{2}

    Do đó, diện tích của con cá là S = \int_{- \sqrt{2}}^{2}{\left| x^{2} - 2 ight|dx} \approx 4,32m^{2}

  • Câu 6: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x + 3)^{2}, trục hoành và đường thẳng x = 0. Gọi A(0;9),B(b;0);( - 3 < b < 0). Tính giá trị của tham số b để đoạn thẳng AB chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Gợi ý:

    Ta có đồ thị hàm số y = (x +3)^{2} tiếp xúc với trục hoành tại x = - 3.

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x +3)^{2}, trục hoành và đường thẳng x= - 3,x = 0.

    Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x + 3)^{2}, đoạn thẳng AB và trục hoành.

    Gọi S2 là diện tích của tam giác OAB.

    Theo bài ra ta có:

    S_{1} = S_{2}

    \Leftrightarrow S = 2S_{2}\Leftrightarrow \int_{- 3}^{0}{(x + 3)^{2}dx} =2.\frac{1}{2}.OA.OB

    \Leftrightarrow - 9b = 9 \Leftrightarrowb = - 1

    Vậy b = - 1

  • Câu 7: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x - 1)e^{2x}, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 2.

    Hướng dẫn:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm (x - 1).e^{2x} = 0 \Leftrightarrow x = 1.

    Vậy diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x - 1).e^{2x}, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 2 được tính bởi công thức:

    S = - \int_{0}^{1}{(x - 1).e^{2x}dx} + \int_{1}^{2}{(x - 1).e^{2x}dx}

    = \int_{1}^{0}{(x - 1).e^{2x}dx} + \int_{1}^{2}{(x - 1).e^{2x}dx}

    Đặt I_{1} = \int_{1}^{0}{(x - 1).e^{2x}dx}; I_{2} = \int_{1}^{2}{(x - 1)e^{2x}dx}

    Đặt x - 1 = u \Rightarrow dx = du;vdv = e^{2x}dx \Rightarrow v = \frac{1}{2}.e^{2x}

    Khi đó I_{0} = \left. \ \frac{1}{2}.e^{2x}.(x - 1) ight|_{a}^{b} - \frac{1}{2}\int_{a}^{b}{e^{2x}dx}

    = \left. \ \frac{1}{2}.e^{2x}.(x - 1) ight|_{a}^{b} - \left. \ \frac{1}{4}.e^{2x} ight|_{a}^{b}.

    Vậy từ đây ta có I_{1} = - \frac{1}{2} - \left( \frac{1}{4}.e^{0} - \frac{1}{4}.e^{2} ight) = \frac{e^{2}}{4} - \frac{3}{4}.

    I_{2} = \frac{1}{2}.e^{4} - \left( \frac{1}{4}.e^{4} - \frac{1}{4}.e^{2} ight) = \frac{e^{4}}{4} + \frac{e^{2}}{4}

    Suy ra I = I_{1} + I_{2} = \frac{e^{4}}{4} + \frac{e^{2}}{2} - \frac{3}{4}

  • Câu 8: Vận dụng
    Tính thể tích khối tròn xoay

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với A( - 2;3),B(3;6),C(3;0),D( - 2;0). Quay hình thang ABCD xung quanh trục Ox thì thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng bao nhiêu??

    Hướng dẫn:

    Phương trình các cạnh của hình thang là: \left\{ \begin{matrix} AD:x = - 2 \\ CD:y = 0 \\ BC:x = 3 \\ AB:3x - 5y + 21 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ta thấy ABCD là hình thang vuông có CD:y = 0 nên khối tròn xoay cần tính là

    V = \pi\int_{- 2}^{3}{\frac{(3x + 21)^{2}}{25}dx} = 105\pi

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính thể tích nước

    Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm, chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước.

    Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm, chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước.

    Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 10: Thông hiểu
    Tính diện tích hình phẳng

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} và các trục tọa độ. Chọn kết quả đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    S = \int_{- 1}^{0}{\left| \frac{x + 1}{x - 2} ight|dx} = \left| \int_{- 1}^{0}{\left( 1 + \frac{3}{x - 2} ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ x ight|_{- 1}^{0} + \left. \ 3ln|x - 2| ight|_{- 1}^{0} ight|

    = |1 + 3ln2 - 3ln3|

    = \left| 1 + 3ln\frac{2}{3} ight| = 3ln\frac{3}{2} - 1

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Tìm khoảng chứa tham số a

    Cho đường thẳng y = \frac{1}{2}x +a và parabol y = x^{2} (a là tham số thực). Gọi S_{1};S_{2} lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được tô đậm và gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S_{1} = S_{2} thì A thuộc khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm của của hai đồ thị:

    \frac{1}{2}x + a = x^{2} \Leftrightarrow2x^{2} - x - 2a = 0

    Theo giả thiết, phương trình có hai nghiệm phân biệt

    \Delta = 1 + 16a > 0 \Rightarrow a> - \frac{1}{16}

    Khi đó, phương trình có hai nghiệm x_{1};x_{2};\left( x_{1} < x_{2}ight) thỏa mãn:

    \left\{ \begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = \frac{1}{2} \\P = x_{1}.x_{2} = - a \\\end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng:

    S_{1} = \int_{- 2a}^{x_{1}}{\left(\frac{x}{2} + a ight)dx} + \int_{x_{1}}^{0}{x^{2}dx}

    = \left. \ \left( \frac{x^{2}}{4} + axight) ight|_{- 2a}^{x_{1}} + \left. \ \frac{x^{3}}{3}ight|_{x_{1}}^{0}

    = \frac{1}{4}{x_{1}}^{2} + ax_{1} -\frac{1}{4}.4a^{2} + 2a^{2} - \frac{1}{3}{x_{1}}^{3}

    = - \frac{1}{3}{x_{1}}^{3} +\frac{1}{4}{x_{1}}^{2} + ax_{1} + a^{2}

    Diện tích hình phẳng:

    S_{2} = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left(\frac{1}{2}x + a - x^{2} ight)dx} = \frac{\left( x_{2} - x_{1}ight)^{3}}{6}

    Theo giả thiết ta có:

    S_{1} = S_{2}

    \Leftrightarrow = -\frac{1}{3}{x_{1}}^{3} + \frac{1}{4}{x_{1}}^{2} + ax_{1} + a^{2} =\frac{\left( x_{2} - x_{1} ight)^{3}}{6}

    \Leftrightarrow \frac{1}{4}\left({x_{1}}^{2} - 4a^{2} ight) + a\left( x_{1} + 2a ight) -\frac{{x_{1}}^{3}}{3} = \frac{\left( x_{2} - x_{1}ight)^{3}}{6}

    \Leftrightarrow - \frac{1}{6}\left({x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} ight) + \frac{1}{2}x_{1}x_{2}\left( x_{2} -x_{1} ight) + \frac{{x_{1}}^{2}}{4} + ax_{1} + a^{2} = 0

    \Leftrightarrow - \frac{1}{6}\left(\frac{1}{8} + \frac{3a}{2} ight) - \frac{a}{2}\sqrt{\frac{1}{4} + 4a}+ \frac{\left( 1 + \sqrt{1 + 16a} ight)^{2}}{64} + a.\frac{1 - \sqrt{1+ 16a}}{4} + a^{2} = 0

    \Rightarrow a \approx 3,684 \in \left(\frac{7}{2};4 ight)

  • Câu 12: Vận dụng
    Ghi đáp án chính xác vào ô trống

    Chuẩn bị cho lễ Giáng Sinh, bạn Lan đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng OO' = 7cm, OA = 8cm, OB = 16 cm, đường cong AB là một phần của parabol có đỉnh là điểmA. Thể tích của chiếc mũ. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 1944.

    Đáp án là:

    Chuẩn bị cho lễ Giáng Sinh, bạn Lan đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng OO' = 7cm, OA = 8cm, OB = 16 cm, đường cong AB là một phần của parabol có đỉnh là điểmA. Thể tích của chiếc mũ. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 1944.

    Kí hiệu tọa độ các điểm như hình vẽ:

    Ta gọi thể tích của chiếc mũ là V.

    Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng OA = 8 cm và đường cao OO' = 7 cm là V_{1}.

    Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong ABvà hai trục tọa độ quanh trục Oylà V_{2}.

    Ta có V = V_{1} + V_{2}

    V_{1} = 7.8^{2}\pi = 448\pi \left( cm^{3} ight).

    Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

    Do parabol có đỉnh A nên nó có phương trình dạng (P):y = a(x - 8)^{2}.

    Vì (P) qua điểm B(0;16) nên a = \frac{1}{4}.

    Do đó, (P):y = \frac{1}{4}(x - 8)^{2}.

    Từ đó suy ra x = 8 - 2\sqrt{y} (do x < 8).

    Suy ra V_{2} = \pi\int_{0}^{16}{\left( 8 - 2\sqrt{y} ight)^{2}dy} = \frac{512}{3}\pi \left( cm^{3} ight).

    Do đó V = V_{1} + V_{2} = \frac{512}{3}\pi + 448\pi = \frac{1856}{3}\pi \approx 1944 \left( cm^{3} ight).

  • Câu 13: Thông hiểu
    Tính diện tích thiết diện

    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^{x};y = 2;x = 0;x = 1?

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm e^{x} = 2 \Leftrightarrow x = ln2 \in (0;1)

    Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^{x};y = 2;x = 0;x = 1

    S = \int_{0}^{1}{\left| e^{x} - 2 ight|dx}

    = - \int_{0}^{\ln2}{\left( e^{x} - 2ight)dx} + \int_{\ln2}^{1}{\left( e^{x} - 2 ight)dx}

    = - \left. \ \left( e^{x} - 2x ight)ight|_{0}^{\ln2} + \left. \ \left( e^{x} - 2x ight)ight|_{\ln2}^{1}

    = - (2 - 2\ln2 - 1) + (e - 2 - 2 +2\ln2)

    = 4\ln2 + e - 5

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1 ight| và y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Đáp án là:

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1 ight| và y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Gọi S là diện tích hình phẳng (H). Lúc dó S = 2S_{1} + 2S_{2}, trong đó S_{1} là diện tích phần gạch sọc ở bên phải Oy và S_{2} là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.

    GọiA,B là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng y = k và đồ thị hàm sốy = \left| x^{2} - 1 ight|, trong đó A\left( \sqrt{1 - k};k ight) và B\left( \sqrt{1 + k};k ight).

    Thco yêu cầu bài toán S = 2 \cdot 2S_{1} \Leftrightarrow S_{1} = S_{2}.

    \Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 - k}}{\left( 1 - x^{2} - k ight)dx}\ = \int_{\sqrt{1 - k}}^{1}{\left( k - 1 + x^{2} ight)dx} + \int_{1}^{\sqrt{1 + k}}{\left( k - x^{2} + 1 ight)dx}.

    \Leftrightarrow \ (1 - k)\sqrt{1 - k} - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k}

    = \frac{1}{3} - (1 - k) - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k} + (1 - k)\sqrt{1 - k}

    \ + (1 + k)\sqrt{1 + k} - \frac{1}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} - (1 + k) + \frac{1}{3}

    \Leftrightarrow \ \frac{2}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} = \frac{4}{3}

    \Leftrightarrow \left( \sqrt{1 + k} ight)^{3} = 2 \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1 \approx 0,59.

  • Câu 15: Vận dụng
    Tính số tiền để mua vật dụng trang trí

    Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết AB = 5cm, OH = 4 cm. Biết giá trang trí hoa văn 1cm^{2} là 50.000 đồng, tính số tiền cần bỏ ra để trang trí hoa văn đó.

    Hướng dẫn:

    Description: 28907191_574491819585491_67127502_n

    Đưa parabol vào hệ trục Oxy ta tìm được phương trình là: (P):y = - \frac{16}{25}x^{2} + \frac{16}{5}x.

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P):y = - \frac{16}{25}x^{2} + \frac{16}{5}x, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 5 là:

    S = \int_{0}^{5}\left( - \frac{16}{25}x^{2} + \frac{16}{5}x \right)dx = \frac{40}{3}.

    Tổng diện tích phần bị khoét đi: S_{1} = 4S = \frac{160}{3} cm^{2}.

    Diện tích của hình vuông là: S_{hv} = 100\ cm^{2}.

    diện tích bề mặt hoa văn là: S_{2} = S_{hv} - S_{1} = 100 - \frac{160}{3} = \frac{140}{3}\ cm^{2}.

    Vậy số tiền cần bỏ ra để trang trí hoa văn đó là: \frac{140}{3}.50000 \approx 2333333 đồng

  • Câu 16: Thông hiểu
    Tính diện tích hình phẳng (H)

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{3} + 12x và đường thẳng y = - x^{2}?

    Hướng dẫn:

    Xét các phương trình hoành độ giao điểm:

    - x^{3} + 12x = - x^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 4 \\ x = - 3 \\ \end{matrix} ight.

    Diện tích S của hình phẳng (H) là:

    S = \int_{- 3}^{4}{\left| - x^{3} + 12x - \left( - x^{2} ight) ight|dx} = \int_{- 3}^{4}{\left| - x^{3} + 12x + x^{2} ight|dx}

    = \int_{- 3}^{0}{\left| - x^{3} + 12x + x^{2} ight|dx} + \int_{0}^{4}{\left| - x^{3} + 12x + x^{2} ight|dx}

    = \int_{- 3}^{0}{\left( - x^{3} + 12x + x^{2} ight)dx} + \int_{0}^{4}{\left( - x^{3} + 12x + x^{2} ight)dx}

    = \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} - 6x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} ight) ight|_{- 3}^{0} + \left. \ \left( \frac{1}{4}x^{4} - 6x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} ight) ight|_{0}^{4}

    = 0 - \left( \frac{1}{4}.3^{4} - 6.3^{2} + \frac{1}{3}.3^{3} ight) + \left( - \frac{1}{4}.4^{4} + 6.4^{2} + \frac{1}{3}.4^{3} ight) - 0 = \frac{937}{12}

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Tính tỉ số hai cạnh

    Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18\ \ m, chiều rộng chân đế 12\ \ m. Người ta căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số \frac{AB}{CD} bằng

    Hướng dẫn:

    Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

    Phương trình Parabol có dạng y = a.x^{2} (P).

    (P) đi qua điểm có tọa độ ( - 6; - 18) suy ra: - 18 = a.( - 6)^{2} \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2}

    \Rightarrow (P):y = - \frac{1}{2}x^{2}.

    Từ hình vẽ ta có: \frac{AB}{CD} = \frac{x_{1}}{x_{2}}.

    Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol và đường thẳng AB:y = - \frac{1}{2}x_{1}^{2} là

    S_{1} = 2\int_{0}^{x_{1}}{\left\lbrack - \frac{1}{2}x^{2} - \left( - \frac{1}{2}x_{1}^{2} \right) \right\rbrack dx}\left. \ = 2\left( - \frac{1}{2}.\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2}x_{1}^{2}x \right) \right|_{0}^{x_{1}} = \frac{2}{3}x_{1}^{3}.

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng CD y = - \frac{1}{2}x_{2}^{2} là

    S_{2} = 2\int_{0}^{x_{2}}{\left\lbrack - \frac{1}{2}x^{2} - \left( - \frac{1}{2}x_{2}^{2} \right) \right\rbrack dx}\left. \ = 2\left( - \frac{1}{2}.\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2}x_{2}^{2}x \right) \right|_{0}^{x_{2}} = \frac{2}{3}x_{2}^{3}

    Từ giả thiết suy ra S_{2} = 2S_{1} \Leftrightarrow x_{2}^{3} = 2x_{1}^{3} \Leftrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}.

    Vậy \frac{AB}{CD} = \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}.

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Tính diện tích các cánh hoa

    Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô đen như hình vẽ dưới).

    Tính diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch.

    Hướng dẫn:

    Chọn hệ tọa độ như hình vẽ (1 đơn vị trên trục bằng 10cm = 1dm), các cánh hoa tạo bởi các đường parabol có phương trình y = \frac{x^{2}}{2}, y = - \frac{x^{2}}{2},x = - \frac{y^{2}}{2},x = \frac{y^{2}}{2}.

    Diện tích một cánh hoa (nằm trong góc phàn tư thứ nhất) bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm sốy = \frac{x^{2}}{2},y = \sqrt{2x} và hai đường thẳng x = 0;x = 2.

    Do đó diện tích một cánh hoa bằng

    \int_{0}^{2}{\left( \sqrt{2x} - \frac{x^{2}}{2} \right)dx} = \left. \ \left. \ \left( \frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{(2x)^{3}} - \frac{x^{3}}{6} \right) \right| \right|_{0}^{2}

    = \frac{4}{3}\left( dm^{2} \right) = \frac{400}{3}\left( cm^{2} \right) = \frac{4}{3}\left( dm^{2} \right) = \frac{400}{3}\left( cm^{2} \right).

  • Câu 19: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hình phẳng (S) được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \left( P_{1} ight):y= x^{2},\left( P_{2} ight):y = \frac{x^{2}}{4},\left( H_{1} ight):y= \frac{2}{x},\left( H_{2} ight):y = \frac{8}{x}. Tính diện tích hình phẳng (S)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình phẳng (S) được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \left( P_{1} ight):y= x^{2},\left( P_{2} ight):y = \frac{x^{2}}{4},\left( H_{1} ight):y= \frac{2}{x},\left( H_{2} ight):y = \frac{8}{x}. Tính diện tích hình phẳng (S)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 20: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20 m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

    Đáp án: 3200 m^{2}

    Đáp án là:

    Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20 m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

    Đáp án: 3200 m^{2}

    Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ:

    Ta có: A(30;0),B(0;20)

    \Rightarrow (P):y = \frac{- 1}{45}x^{2} + 20

    Khi đó diện tích phần parabol là:

    4\int_{0}^{30}{\left( \frac{- 1}{45}x^{2} + 20 ight)dx} = 1600\left( m^{2} ight)

    Vậy diện tích toàn phần của sân chơi là: 60.80 - 1600 = 3200\left( m^{2} ight)

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
36 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này