Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 13 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hình phẳng (S) được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \left( P_{1} ight):y= x^{2},\left( P_{2} ight):y = \frac{x^{2}}{4},\left( H_{1} ight):y= \frac{2}{x},\left( H_{2} ight):y = \frac{8}{x}. Tính diện tích hình phẳng (S)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình phẳng (S) được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \left( P_{1} ight):y= x^{2},\left( P_{2} ight):y = \frac{x^{2}}{4},\left( H_{1} ight):y= \frac{2}{x},\left( H_{2} ight):y = \frac{8}{x}. Tính diện tích hình phẳng (S)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 2: Thông hiểu
    Chọn mệnh đề sai

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} - \frac{1}{3}x + 1 và trục hoành như hình vẽ:

    Mệnh đề nào sau đây sai?

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và trục hoành là:

    \frac{1}{3}x^{3} - x^{2} - \frac{1}{3}x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Từ hình vẽ ta thấy \left\{ \begin{matrix} f(x) > 0;\forall x \in ( - 1;1) \\ f(x) < 0;\forall x \in (1;3) \\ \end{matrix} ight.

    Do đó S = \int_{- 1}^{3}{\left| f(x) ight|dx} = \int_{- 1}^{1}{f(x)dx} - \int_{1}^{3}{f(x)dx} = 2\int_{- 1}^{1}{f(x)dx}

    Vậy mệnh đề sai là: S = 2\int_{1}^{3}{f(x)dx}

  • Câu 3: Thông hiểu
    Xác định giá trị tham số k

    Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường y = \frac{1}{x};y = 0;x = 1;x = 5. Đường thẳng x = k;1 < k < 5 chia (H) thành hai phần có diện tích S_{1} và S_{2} (hình vẽ bên).

    Tính giá trị k để S_{1} = 2S_{2}?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \frac{1}{x} > 0;x > 1 do đó ta được:

    S_{1} = \int_{1}^{k}{\frac{1}{x}dx} = \left. \ \ln x ight|_{1}^{k} = \ln k

    S_{2} = \int_{k}^{5}{\frac{1}{x}dx} = \left. \ \ln x ight|_{k}^{5} = ln5 - \ln k

    Theo bài ra ta có:

    S_{1} = 2S_{2}

    \Leftrightarrow \ln k = 2\left( ln5 - \ln k ight) \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{25}.

  • Câu 4: Vận dụng
    Tính diện tích nhỏ nhất

    Diện tích nhỏ nhất giới hạn bởi parabol (P):y = x^{2} + 1 và đường thẳng d:y = mx + 2 là:

    Hướng dẫn:

    Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là nghiệm của phương trình

    x^{2} + 1 = mx + 2 \Leftrightarrow x^{2} - mx - 1 = 0

    Vì \Delta = m^{2} + 4 > 0;\forall m\mathbb{\in R} nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

    x_{1} = \frac{m - \sqrt{m^{2} + 4}}{2};x_{2} = \frac{m + \sqrt{m^{2} + 4}}{2} với x_{1} < x_{2}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1}.x_{2} = - 1 \\ x_{2} - x_{1} = \sqrt{m^{2} + 4} \\ \end{matrix} ight..

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) là:

    S = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left| \left( x^{2} - mx - 1 ight) ight|dx}

    = \left| \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left( x^{2} - mx - 1 ight)dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{3}}{2} - \frac{mx^{2}}{2} - x ight) ight|_{x_{1}}^{x_{2}} ight|

    = \left| \frac{1}{3}\left( {x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{3} ight) - \frac{m}{2}\left( {x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{2} ight) - \left( x_{2} - x_{1} ight) ight|

    = \left( x_{2} - x_{1} ight)\left| \frac{1}{3}\left( {x_{2}}^{2} + x_{1}x_{2} + {x_{1}}^{2} ight) - \frac{m}{2}\left( x_{2} + x_{1} ight) - 1 ight|

    = \left( x_{2} - x_{1} ight)\left| \frac{1}{3}\left( x_{2} + x_{1} ight)^{2} - x_{2}x_{1} - \frac{m}{2}\left( x_{2} + x_{1} ight) - 1 ight|

    = \sqrt{m^{2} + 4}.\left| \frac{m^{2} + 1}{3} - \frac{m^{2}}{2} - 1 ight|

    = \sqrt{m^{2} + 4}.\left| \frac{m^{2}}{6} - \frac{2}{3} ight| = \sqrt{m^{2} + 4}.\frac{m^{2} + 4}{6} \geq \frac{4}{3};\forall m\mathbb{\in R}

    Vậy diện tích nhỏ nhất giới hạn bởi parabol (P):y = x^{2} + 1 và đường thẳng d:y = mx + 2 là \frac{4}{3}.

  • Câu 5: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} =1.

    Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn (C) quanh trục hoành.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} =1.

    Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn (C) quanh trục hoành.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 6: Vận dụng
    Chọn kết luận đúng

    Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ:

    Các biểu thức E;F;G;H xác định bởi E = \int_{0}^{3}{f(x)dx};F = \int_{3}^{5}{f(x)dx};G = \int_{2}^{4}{f(x)dx};H = f'(x). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Dựa vào hình vẽ và diện tích hình phẳng ta có:

    E = \int_{0}^{3}{f(x)dx} = - \int_{0}^{3}{\left| f(x) ight|dx} < - 2

    F = \int_{3}^{5}{f(x)dx} > 3

    0 < G = \int_{2}^{4}{f(x)dx} < 2

    - 1 < H = f'(1) < 0 (hệ số góc của tiếp tuyến tại x = 1)

    Như vậy E < H < G < F

  • Câu 7: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100m, trục nhỏ bằng 80m được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 200 mỗi m^{2} trồng cây con và 4000 mỗi m^{2} trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100m, trục nhỏ bằng 80m được chia thành hai phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 200 mỗi m^{2} trồng cây con và 4000 mỗi m^{2} trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 8: Vận dụng cao
    Tính thể tích V1

    Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằngR. Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một mặt đáy của khối gỗ và tạo với mặt phẳng đáy của khối gỗ một góc 30^{0} ta thu được hai khối gỗ có thể tích là V_{1} và V_{2}, với V_{1} < V_{2}. Tính thể tích V_{1}.

    Hướng dẫn:

    Khi cắt khối gỗ hình trụ ta được một hình nêm có thể tích V_{1} như hình vẽ.

    Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

    Nửa đường tròn đường kính AB có phương trình là y = \sqrt{R^{2} - x^{2}},x \in \lbrack - R;R\rbrack.

    Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm M có hoành độ x, cắt hình nêm theo thiết diện là \Delta MNP vuông tại N và có \widehat{PMN} = 30^{0}.

    Ta có NM = y = \sqrt{R^{2} - x^{2}} \Rightarrow NP = MN.tan30^{0} = \frac{\sqrt{R^{2} - x^{2}}}{\sqrt{3}}.

    \Delta MNP có diện tích S(x) = \frac{1}{2}NM.NP = \frac{1}{2}.\frac{R^{2} - x^{2}}{\sqrt{3}}.

    Thể tích hình nêm là

    V_{1} = \int_{-R}^{R}{S(x)}dx = \frac{1}{2}\int_{- R}^{R}\frac{R^{2} -x^{2}}{\sqrt{3}}dx= \frac{1}{2\sqrt{3}}\left. \ \left( R^{2}x -\frac{1}{3}x^{3} \right) \right|_{- R}^{R} =\frac{2\sqrt{3}R^{3}}{9}.

  • Câu 9: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1 ight| và y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Đáp án là:

    Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = \left| x^{2} - 1 ight| và y = k, với 0 < k < 1. Tìm k để diện tích hình phẳng (H) gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

    Đáp án: 0,59

    Gọi S là diện tích hình phẳng (H). Lúc dó S = 2S_{1} + 2S_{2}, trong đó S_{1} là diện tích phần gạch sọc ở bên phải Oy và S_{2} là diện tích phần gạch ca rô trong hình vẽ bên.

    GọiA,B là các giao diếm có hoành độ dương của đường thẳng y = k và đồ thị hàm sốy = \left| x^{2} - 1 ight|, trong đó A\left( \sqrt{1 - k};k ight) và B\left( \sqrt{1 + k};k ight).

    Thco yêu cầu bài toán S = 2 \cdot 2S_{1} \Leftrightarrow S_{1} = S_{2}.

    \Leftrightarrow \int_{0}^{\sqrt{1 - k}}{\left( 1 - x^{2} - k ight)dx}\ = \int_{\sqrt{1 - k}}^{1}{\left( k - 1 + x^{2} ight)dx} + \int_{1}^{\sqrt{1 + k}}{\left( k - x^{2} + 1 ight)dx}.

    \Leftrightarrow \ (1 - k)\sqrt{1 - k} - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k}

    = \frac{1}{3} - (1 - k) - \frac{1}{3}(1 - k)\sqrt{1 - k} + (1 - k)\sqrt{1 - k}

    \ + (1 + k)\sqrt{1 + k} - \frac{1}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} - (1 + k) + \frac{1}{3}

    \Leftrightarrow \ \frac{2}{3}(1 + k)\sqrt{1 + k} = \frac{4}{3}

    \Leftrightarrow \left( \sqrt{1 + k} ight)^{3} = 2 \Leftrightarrow k = \sqrt[3]{4} - 1 \approx 0,59.

  • Câu 10: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} và nửa elip có phương trình y = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}} (với - 2 \leq x \leq 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Gọi S là diện tích của, biết S = \frac{a\pi + b\sqrt{3}}{c} (với a;b;c\mathbb{\in R}). Tính P = a + b + c?

    Hướng dẫn:

    Hoành độ giao điểm của hai đồ thị: \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}} \Leftrightarrow x = \pm 1

    Do tính chất đối xứng của đồ thị nên

    S = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} + \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx} ight) = 2\left( S_{1} + S_{2} ight)

    S_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} = \frac{\sqrt{3}}{6}

    S_{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx}. Đặt x = 2\sin t\Rightarrow dx = 2\cos tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \\x = 2 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{2} \\\end{matrix} ight.

    Với t \in \left\lbrack\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow \cos t \geq 0\Rightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = 2\sqrt{\cos^{2}t} = 2\cos t

    S_{2} =\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{4\cos^{2}tdt} =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{2\cos^{2}tdt}

    =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{(1 + \cos2t)dt} = \left. \ \left( t+ \frac{1}{2}\sin2t ight) ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}

    Suy ra S = \frac{4\pi - \sqrt{3}}{6} \Rightarrow a = 4;b = - 1;c = 6

    Vậy P = a + b + c = 9

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Tính giá trị thể tích nhỏ nhất

    Gọi d là đường thẳng tùy ý đi qua điểm M(1;1) và có hệ số góc âm. Giả sử d cắt các trục Ox;Oy lần lượt tại A;B. Quay tam giác OAB quanh trục Oy thu được một khối tròn xoay có thể tích là V. Giá trị nhỏ nhất của V bằng

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Giả sử A(a; 0), B(0; b). Phương trình đường thẳng d: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \Rightarrow d:x = -\frac{b}{a}x + b\ \ \ (1)

    Mà M(1; 1) ∈ d nên \frac{1}{a} +\frac{1}{b} = 1 \Rightarrow a + b = 2ab\ \ (2)

    Từ (1) suy ra d có hệ số góc là k = -\frac{b}{a}; theo giả thiết ta có -\frac{b}{a} < 0 \Rightarrow ab > 0

    Nếu a < 0;b < 0 \Rightarrow a + b< 0 mẫu thuẫn với (2) suy ra a> 0;b > 0

    Mặt khác từ (2) suy ra b = \frac{a}{a -1} kết hợp với a > 0, b > 0 suy ra a > 1.

    Khi quay ∆OAB quanh trục Oy, ta được hình nón có chiều cao h = b và bán kính đường tròn đáy r = a

    Thể tích khối nón là V = \frac{1}{3}\pir^{2}h = \frac{1}{3}\pi a^{2}b = \frac{1}{3}\pi\frac{a^{3}}{a -1}

    Suy ra V đạt giá trị nhỏ nhất khi \frac{a^{3}}{a - 1} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Xét hàm số f(x) = \frac{x^{3}}{x - 1} =x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x - 1} trên khoảng (1; + \infty)

    f'(x) = 2x + 1 - \frac{1}{(x -1)^{2}} = \frac{x^{2}(2x - 3)}{(x - 1)^{2}}

    f'(x) = 0 \Rightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = 0 \\x = \frac{3}{2} \\\end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Vậy giá trị nhỏ nhất của V bằng \frac{1}{3}\pi.f\left( \frac{3}{2} ight) =\frac{9\pi}{4}

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tính kinh phí làm biển quảng cáo

    Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A_{1};A_{2};B_{1};B_{2} như hình vẽ:

    Người ta chia elip bởi Parabol có đỉnh B_{1}, trục đối xứng B_{1}B_{2} và đi qua các điểm M;N. Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200 nghìn đồng/m2 và trang trí đèn led phần còn lại với giá 500 nghìn đồng/m2. Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng A_{1}A_{2} =4m;B_{1}B_{2} = MN = 2m

    Hướng dẫn:

    Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của A1A2. Tọa độ các đỉnh A1(−2; 0), A2(2; 0), B1(0; −1), B2(0; 1)

    Phương trình đường Elip (E):\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1\Leftrightarrow y = \pm \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}

    Ta có: M\left( - 1;\frac{\sqrt{3}}{2}ight),N\left( 1;\frac{\sqrt{3}}{2} ight) \in (E)

    Parabol (P) có đỉnh B1(0; −1) và trục đối xứng là Ox nên (P) có phương trình y = ax^{2} - 1, (a > 0), đi qua M; N

    \Rightarrow a = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1\Rightarrow (P):y = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight)x^{2} -1

    Diện tích phần tô đậm

    S_{1} = 2\int_{0}^{1}{\left\lbrack\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight)x^{2}+ 1 ightbrack dx}

    = \int_{0}^{1}{\sqrt{4 - x^{2}}dx} -\frac{2}{3}\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight) + 2

    Đặt x = 2\sin t;t \in \left\lbrack -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dx =2\cos tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 0 \\x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow S_{1} =\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\sqrt{4 - 4\sin^{2}t}.2\cos tdt} -\frac{2}{3}\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight) + 2

    = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\cos^{2}tdt}- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3} = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{(1 +\cos2t)dt} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3}

    = \left. \ (2t + \sin2t)ight|_{0}^{\frac{\pi}{6}} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3} =\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{4}{3}

    Diện tích hình Elip là S = πab = 2π

    Suy ra diện tích phần còn lại là: S_{2} =S - S_{1} = \frac{5\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{6} -\frac{4}{3}

    Kinh phí sử dụng là 2.10^{5}S_{1} +5.10^{5}S_{2} \approx 2.341.000 đồng.

  • Câu 13: Vận dụng
    Tính số tiền để mua vật dụng trang trí

    Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết AB = 5cm, OH = 4 cm. Biết giá trang trí hoa văn 1cm^{2} là 50.000 đồng, tính số tiền cần bỏ ra để trang trí hoa văn đó.

    Hướng dẫn:

    Description: 28907191_574491819585491_67127502_n

    Đưa parabol vào hệ trục Oxy ta tìm được phương trình là: (P):y = - \frac{16}{25}x^{2} + \frac{16}{5}x.

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P):y = - \frac{16}{25}x^{2} + \frac{16}{5}x, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 5 là:

    S = \int_{0}^{5}\left( - \frac{16}{25}x^{2} + \frac{16}{5}x \right)dx = \frac{40}{3}.

    Tổng diện tích phần bị khoét đi: S_{1} = 4S = \frac{160}{3} cm^{2}.

    Diện tích của hình vuông là: S_{hv} = 100\ cm^{2}.

    diện tích bề mặt hoa văn là: S_{2} = S_{hv} - S_{1} = 100 - \frac{160}{3} = \frac{140}{3}\ cm^{2}.

    Vậy số tiền cần bỏ ra để trang trí hoa văn đó là: \frac{140}{3}.50000 \approx 2333333 đồng

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Tính diện tích các cánh hoa

    Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô đen như hình vẽ dưới).

    Tính diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch.

    Hướng dẫn:

    Chọn hệ tọa độ như hình vẽ (1 đơn vị trên trục bằng 10cm = 1dm), các cánh hoa tạo bởi các đường parabol có phương trình y = \frac{x^{2}}{2}, y = - \frac{x^{2}}{2},x = - \frac{y^{2}}{2},x = \frac{y^{2}}{2}.

    Diện tích một cánh hoa (nằm trong góc phàn tư thứ nhất) bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm sốy = \frac{x^{2}}{2},y = \sqrt{2x} và hai đường thẳng x = 0;x = 2.

    Do đó diện tích một cánh hoa bằng

    \int_{0}^{2}{\left( \sqrt{2x} - \frac{x^{2}}{2} \right)dx} = \left. \ \left. \ \left( \frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{(2x)^{3}} - \frac{x^{3}}{6} \right) \right| \right|_{0}^{2}

    = \frac{4}{3}\left( dm^{2} \right) = \frac{400}{3}\left( cm^{2} \right) = \frac{4}{3}\left( dm^{2} \right) = \frac{400}{3}\left( cm^{2} \right).

  • Câu 15: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x + 3)^{2}, trục hoành và đường thẳng x = 0. Gọi A(0;9),B(b;0);( - 3 < b < 0). Tính giá trị của tham số b để đoạn thẳng AB chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Gợi ý:

    Ta có đồ thị hàm số y = (x +3)^{2} tiếp xúc với trục hoành tại x = - 3.

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x +3)^{2}, trục hoành và đường thẳng x= - 3,x = 0.

    Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x + 3)^{2}, đoạn thẳng AB và trục hoành.

    Gọi S2 là diện tích của tam giác OAB.

    Theo bài ra ta có:

    S_{1} = S_{2}

    \Leftrightarrow S = 2S_{2}\Leftrightarrow \int_{- 3}^{0}{(x + 3)^{2}dx} =2.\frac{1}{2}.OA.OB

    \Leftrightarrow - 9b = 9 \Leftrightarrowb = - 1

    Vậy b = - 1

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tìm khoảng chứa tham số a

    Cho đường thẳng y = \frac{1}{2}x +a và parabol y = x^{2} (a là tham số thực). Gọi S_{1};S_{2} lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được tô đậm và gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S_{1} = S_{2} thì A thuộc khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm của của hai đồ thị:

    \frac{1}{2}x + a = x^{2} \Leftrightarrow2x^{2} - x - 2a = 0

    Theo giả thiết, phương trình có hai nghiệm phân biệt

    \Delta = 1 + 16a > 0 \Rightarrow a> - \frac{1}{16}

    Khi đó, phương trình có hai nghiệm x_{1};x_{2};\left( x_{1} < x_{2}ight) thỏa mãn:

    \left\{ \begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = \frac{1}{2} \\P = x_{1}.x_{2} = - a \\\end{matrix} ight.

    Diện tích hình phẳng:

    S_{1} = \int_{- 2a}^{x_{1}}{\left(\frac{x}{2} + a ight)dx} + \int_{x_{1}}^{0}{x^{2}dx}

    = \left. \ \left( \frac{x^{2}}{4} + axight) ight|_{- 2a}^{x_{1}} + \left. \ \frac{x^{3}}{3}ight|_{x_{1}}^{0}

    = \frac{1}{4}{x_{1}}^{2} + ax_{1} -\frac{1}{4}.4a^{2} + 2a^{2} - \frac{1}{3}{x_{1}}^{3}

    = - \frac{1}{3}{x_{1}}^{3} +\frac{1}{4}{x_{1}}^{2} + ax_{1} + a^{2}

    Diện tích hình phẳng:

    S_{2} = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left(\frac{1}{2}x + a - x^{2} ight)dx} = \frac{\left( x_{2} - x_{1}ight)^{3}}{6}

    Theo giả thiết ta có:

    S_{1} = S_{2}

    \Leftrightarrow = -\frac{1}{3}{x_{1}}^{3} + \frac{1}{4}{x_{1}}^{2} + ax_{1} + a^{2} =\frac{\left( x_{2} - x_{1} ight)^{3}}{6}

    \Leftrightarrow \frac{1}{4}\left({x_{1}}^{2} - 4a^{2} ight) + a\left( x_{1} + 2a ight) -\frac{{x_{1}}^{3}}{3} = \frac{\left( x_{2} - x_{1}ight)^{3}}{6}

    \Leftrightarrow - \frac{1}{6}\left({x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} ight) + \frac{1}{2}x_{1}x_{2}\left( x_{2} -x_{1} ight) + \frac{{x_{1}}^{2}}{4} + ax_{1} + a^{2} = 0

    \Leftrightarrow - \frac{1}{6}\left(\frac{1}{8} + \frac{3a}{2} ight) - \frac{a}{2}\sqrt{\frac{1}{4} + 4a}+ \frac{\left( 1 + \sqrt{1 + 16a} ight)^{2}}{64} + a.\frac{1 - \sqrt{1+ 16a}}{4} + a^{2} = 0

    \Rightarrow a \approx 3,684 \in \left(\frac{7}{2};4 ight)

  • Câu 17: Thông hiểu
    Tìm thể tích khối tròn xoay

    Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = \sqrt{2 + \sin x}, trục hoành và các đường thẳngx = 0, x = \pi. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Thể tích khối tròn xoay được tạo nên bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt{2 + \sin x}, x = 0, x = \pi và trục hoành khi quay quanh Ox là:

    V_{x} = \pi\int_{0}^{\pi}{\left( 2 + \sin x ight)dx} = \left. \ \pi\left( 2x - \cos x ight) ight|_{0}^{\pi} = 2\pi(\pi + 1) (đvtt).

  • Câu 18: Vận dụng
    Tính tích phân

    Cho hai hàm số f(x) = ax^{3} + bx + c;g(x) = bx^{3} + ax + c;(a > 0) có đồ thị như hình vẽ:

    Gọi S_{1};S_{2} là diện tích hình phẳng được gạch trong hình vẽ. Khi S_{1} + S_{2} = 3 thì \int_{0}^{1}{f(x)dx} bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm

    (a - b)x^{3} + (b - a)x = 0

    \Leftrightarrow (a - b)\left( x^{3} - x ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Ký hiệu S_{3} là diện tích hình phẳng như hình vẽ:

    Ta có:

    S_{1} = \int_{- 1}^{0}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} = (a - b)\int_{- 1}^{0}{\left( x^{3} - x ight)dx} = \frac{1}{4}(a - b)

    S_{2} = - \int_{- 1}^{0}{g(x)dx} = - \int_{- 1}^{0}{\left( bx^{3} + ax + c ight)dx} = - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight)

    Vì vậy S_{1} + S_{2} = 3 \Leftrightarrow \frac{1}{4}(a - b) - \left( \frac{b}{4} + \frac{a}{2} + c ight) = 3

    \Leftrightarrow a + 2b + 4c = - 12

    \Rightarrow \int_{0}^{1}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{\left( ax^{3} + bx + c ight)dx} = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = \frac{a + 2b + 4c}{4} = - 3

  • Câu 19: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x - 1)e^{2x}, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 2.

    Hướng dẫn:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm (x - 1).e^{2x} = 0 \Leftrightarrow x = 1.

    Vậy diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x - 1).e^{2x}, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 2 được tính bởi công thức:

    S = - \int_{0}^{1}{(x - 1).e^{2x}dx} + \int_{1}^{2}{(x - 1).e^{2x}dx}

    = \int_{1}^{0}{(x - 1).e^{2x}dx} + \int_{1}^{2}{(x - 1).e^{2x}dx}

    Đặt I_{1} = \int_{1}^{0}{(x - 1).e^{2x}dx}; I_{2} = \int_{1}^{2}{(x - 1)e^{2x}dx}

    Đặt x - 1 = u \Rightarrow dx = du;vdv = e^{2x}dx \Rightarrow v = \frac{1}{2}.e^{2x}

    Khi đó I_{0} = \left. \ \frac{1}{2}.e^{2x}.(x - 1) ight|_{a}^{b} - \frac{1}{2}\int_{a}^{b}{e^{2x}dx}

    = \left. \ \frac{1}{2}.e^{2x}.(x - 1) ight|_{a}^{b} - \left. \ \frac{1}{4}.e^{2x} ight|_{a}^{b}.

    Vậy từ đây ta có I_{1} = - \frac{1}{2} - \left( \frac{1}{4}.e^{0} - \frac{1}{4}.e^{2} ight) = \frac{e^{2}}{4} - \frac{3}{4}.

    I_{2} = \frac{1}{2}.e^{4} - \left( \frac{1}{4}.e^{4} - \frac{1}{4}.e^{2} ight) = \frac{e^{4}}{4} + \frac{e^{2}}{4}

    Suy ra I = I_{1} + I_{2} = \frac{e^{4}}{4} + \frac{e^{2}}{2} - \frac{3}{4}

  • Câu 20: Thông hiểu
    Chọn công thức đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C):y = f(x), trục hoành, hai đường thẳng x = a;x = b (như hình vẽ bên).

    Giả sử S_{D} là diện tích của hình phẳng D. Chọn công thức đúng?

    Hướng dẫn:

    Dựa vào đồ thị hình vẽ ta thấy:

    + Đồ thị cắt trục hoành tại điểm O(0;0)

    + Trên đoạn \lbrack a;0brack, đồ thị ở phía dưới trục hoành nên \left| f(x) ight| = - f(x)

    + Trên đoạn \lbrack 0;bbrack, đồ thị ở phía trên trục hoành nên \left| f(x) ight| = f(x)

    Do đó: S_{D} = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx} = - \int_{a}^{0}{f(x)dx} + \int_{0}^{b}{f(x)dx}

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
21 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Xem thêm