Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Trắc nghiệm Toán 12 Kết nối tri thức
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 89.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 KNTT Bài 13 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tính diện tích hình phẳng

    Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2^{x} và y = 3 - x, trục hoành và trục tung.

    Hướng dẫn:

    Giao điểm 2^{x} = 3 - x \Rightarrow Nhẩm được nghiệm 1

    S = \int_{0}^{1}\left| 2^{x} + x - 3 ight|dx = \left| \frac{2^{x}}{\ln2} + \frac{x^{2}}{2} - 3x ight|_{0}^{1}

    = \frac{2}{\ln2} + \frac{1}{2} - 3 - \frac{1}{\ln2} = \frac{1}{\ln2} - \frac{5}{2}

  • Câu 2: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}, cung tròn có phương trình y = \sqrt{4 - x^{2}} (với 0 \leq x \leq 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành là V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi, trong đó a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*} và \frac{a}{b};\frac{c}{d} là các phân số tối giản. Tính P = a + b + c +d?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}, cung tròn có phương trình y = \sqrt{4 - x^{2}} (với 0 \leq x \leq 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành là V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi, trong đó a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*} và \frac{a}{b};\frac{c}{d} là các phân số tối giản. Tính P = a + b + c +d?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 3: Vận dụng cao
    Tính tỉ số hai cạnh

    Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18\ \ m, chiều rộng chân đế 12\ \ m. Người ta căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi Parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số \frac{AB}{CD} bằng

    Hướng dẫn:

    Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

    Phương trình Parabol có dạng y = a.x^{2} (P).

    (P) đi qua điểm có tọa độ ( - 6; - 18) suy ra: - 18 = a.( - 6)^{2} \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2}

    \Rightarrow (P):y = - \frac{1}{2}x^{2}.

    Từ hình vẽ ta có: \frac{AB}{CD} = \frac{x_{1}}{x_{2}}.

    Diện tích hình phẳng giới bạn bởi Parabol và đường thẳng AB:y = - \frac{1}{2}x_{1}^{2} là

    S_{1} = 2\int_{0}^{x_{1}}{\left\lbrack - \frac{1}{2}x^{2} - \left( - \frac{1}{2}x_{1}^{2} \right) \right\rbrack dx}\left. \ = 2\left( - \frac{1}{2}.\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2}x_{1}^{2}x \right) \right|_{0}^{x_{1}} = \frac{2}{3}x_{1}^{3}.

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và đường thẳng CD y = - \frac{1}{2}x_{2}^{2} là

    S_{2} = 2\int_{0}^{x_{2}}{\left\lbrack - \frac{1}{2}x^{2} - \left( - \frac{1}{2}x_{2}^{2} \right) \right\rbrack dx}\left. \ = 2\left( - \frac{1}{2}.\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{2}x_{2}^{2}x \right) \right|_{0}^{x_{2}} = \frac{2}{3}x_{2}^{3}

    Từ giả thiết suy ra S_{2} = 2S_{1} \Leftrightarrow x_{2}^{3} = 2x_{1}^{3} \Leftrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}.

    Vậy \frac{AB}{CD} = \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}.

  • Câu 4: Vận dụng
    Tính diện tích nhỏ nhất

    Diện tích nhỏ nhất giới hạn bởi parabol (P):y = x^{2} + 1 và đường thẳng d:y = mx + 2 là:

    Hướng dẫn:

    Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là nghiệm của phương trình

    x^{2} + 1 = mx + 2 \Leftrightarrow x^{2} - mx - 1 = 0

    Vì \Delta = m^{2} + 4 > 0;\forall m\mathbb{\in R} nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

    x_{1} = \frac{m - \sqrt{m^{2} + 4}}{2};x_{2} = \frac{m + \sqrt{m^{2} + 4}}{2} với x_{1} < x_{2}

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1}.x_{2} = - 1 \\ x_{2} - x_{1} = \sqrt{m^{2} + 4} \\ \end{matrix} ight..

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) là:

    S = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left| \left( x^{2} - mx - 1 ight) ight|dx}

    = \left| \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left( x^{2} - mx - 1 ight)dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{3}}{2} - \frac{mx^{2}}{2} - x ight) ight|_{x_{1}}^{x_{2}} ight|

    = \left| \frac{1}{3}\left( {x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{3} ight) - \frac{m}{2}\left( {x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{2} ight) - \left( x_{2} - x_{1} ight) ight|

    = \left( x_{2} - x_{1} ight)\left| \frac{1}{3}\left( {x_{2}}^{2} + x_{1}x_{2} + {x_{1}}^{2} ight) - \frac{m}{2}\left( x_{2} + x_{1} ight) - 1 ight|

    = \left( x_{2} - x_{1} ight)\left| \frac{1}{3}\left( x_{2} + x_{1} ight)^{2} - x_{2}x_{1} - \frac{m}{2}\left( x_{2} + x_{1} ight) - 1 ight|

    = \sqrt{m^{2} + 4}.\left| \frac{m^{2} + 1}{3} - \frac{m^{2}}{2} - 1 ight|

    = \sqrt{m^{2} + 4}.\left| \frac{m^{2}}{6} - \frac{2}{3} ight| = \sqrt{m^{2} + 4}.\frac{m^{2} + 4}{6} \geq \frac{4}{3};\forall m\mathbb{\in R}

    Vậy diện tích nhỏ nhất giới hạn bởi parabol (P):y = x^{2} + 1 và đường thẳng d:y = mx + 2 là \frac{4}{3}.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Tìm giá trị tham số a

    Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = x^{2} - ax với trục hoành (a eq 0). Quay hình (H) xung quanh trục hoành ta thu được khối tròn xoay có thể tích V = \frac{16\pi}{15}. Tìm a?

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm

    x^{2} - ax = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = a \\ \end{matrix} ight.

    Trường hợp 1: Với a > 0 thì thể tích khối tròn xoay là:

    V = \pi\int_{0}^{a}{\left( x^{2} - ax ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{ax^{4}}{2} + \frac{a^{2}x^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{a} = \frac{a^{5}\pi}{30}

    \Rightarrow \frac{a^{5}\pi}{30} = \frac{16\pi}{15} \Rightarrow a = 2

    Trường hợp 2: Với a < 0 thì thể tích khối tròn xoay là:

    V = \pi\int_{a}^{0}{\left( x^{2} - ax ight)^{2}dx} = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{ax^{4}}{2} + \frac{a^{2}x^{3}}{3} ight) ight|_{a}^{0} = - \frac{a^{5}\pi}{30}

    \Rightarrow - \frac{a^{5}\pi}{30} = \frac{16\pi}{15} \Rightarrow a = - 2

    Vậy a = \pm 2.

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng

    Cho parabol (P):y = x^{2} và hai điểm A;B thuộc (P) sao cho AB = 2. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Gọi A\left( a;a^{2} ight) và (P):y = x^{2} là hai điểm thuộc (P) sao cho AB = 2.

    Không mất tính tổng quát giả sử a < b.

    Theo giả thiết ta có AB = 2 nên

    (b - a)^{2} + \left( b^{2} - a^{2}ight)^{2} = 4

    \Leftrightarrow (b - a)^{2}\left\lbrack1 + (b + a)^{2} ightbrack = 4

    Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là y = (b + a)x - ab

    Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng AB ta có:

    S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack (a + b)x -ab - x^{2} ightbrack dx}

    = \left. \ \left\lbrack (a +b)\frac{x^{2}}{2} - abx - \frac{x^{3}}{3} ightbrack ight|_{a}^{b}= \frac{(b - a)^{3}}{6}

    Mặt khác (b - a)^{2}\left\lbrack 1 + (b +a)^{2} ightbrack = 4 nên |b -a| \leq 2 do 1 + (b + a)^{2} \geq1

    Suy ra S = \frac{(b - a)^{3}}{6} \leq\frac{2^{3}}{6}

    Vậy S_{\max} = \frac{4}{3} dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = − b = ±1.

  • Câu 7: Vận dụng
    Tính số tiền nhà trường phải trả

    Trường Nguyễn Văn Trỗi muốn làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Vậy số tiền nhà trường phải trả là bao nhiêu đồng?

    Hướng dẫn:

    Gọi phương trình parabol (P):y = ax^{2} + bx + c. Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho (P) có đỉnh I \in Oy (như hình vẽ).

    Ta có hệ phương trình: \left\{ \begin{matrix} \frac{9}{4} = c,\left( I \in (P) \right) \\ \frac{9}{4}a - \frac{3}{2}b + c = 0\left( A \in (P) \right) \\ \frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b + c = 0\left( B \in (P) \right) \\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = \frac{9}{4} \\ a = - 1 \\ b = 0 \\ \end{matrix} \right..

    Vậy (P):y = - x^{2} + \frac{9}{4}.

    Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là:

    S = \int_{\frac{- 3}{2}}^{\frac{3}{2}}{\left( - x^{2} + \frac{9}{4} \right)dx} = 2\int_{0}^{\frac{3}{2}}{\left( - x^{2} + \frac{9}{4} \right)dx}

    = \left. \ 2\left( \frac{- x^{3}}{3} + \frac{9}{4}x \right) \right|_{0}^{\frac{9}{4}} = \frac{9}{2}m^{2}.

    Số tiền phải trả là: \frac{9}{2}.1500000 = 6750000 đồng.

  • Câu 8: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} =1.

    Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn (C) quanh trục hoành.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} =1.

    Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn (C) quanh trục hoành.

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 9: Vận dụng
    Tính thể tích quả bóng

    Một quả bóng bầu dục có khoảng cách giữa 2 điểm xa nhất bằng 10 cm và cắt quả bóng bằng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó thì được đường tròn có diện tích bằng 16\pi\left( \ cm^{2} ight). Thể tích của quả bóng bằng (Tính gần đúng đến hai chữ số thập phân, đơn vị lít)

    Gợi ý:

    Sử dụng phương trình chính tắc của Elip: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, với 2a là độ dài trục lớn, 2b là độ dài trục nhỏ.

    Hướng dẫn:

    Quả bóng bầu dục sẽ có dạng elip.

    Độ dài trục lớn bằng 20\ cm \Rightarrow2a = 20 \Rightarrow a = 5\ \ (cm)

    Ta có diện tích đường tròn thiết diện là

    S = \pi b^{2} = 16\pi \Rightarrow b =4(\ cm)

    Ta sẽ có phương trình elip \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1

    \Rightarrow V = \pi\int_{- 5}^{5}{16\left( 1 - \frac{x^{2}}{25} ight)}dx \approx 335\ \ \left( \ cm^{3} ight) = 0,34\ (l).

  • Câu 10: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hình phẳng (S) được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \left( P_{1} ight):y= x^{2},\left( P_{2} ight):y = \frac{x^{2}}{4},\left( H_{1} ight):y= \frac{2}{x},\left( H_{2} ight):y = \frac{8}{x}. Tính diện tích hình phẳng (S)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình phẳng (S) được giới hạn bởi đồ thị các hàm số \left( P_{1} ight):y= x^{2},\left( P_{2} ight):y = \frac{x^{2}}{4},\left( H_{1} ight):y= \frac{2}{x},\left( H_{2} ight):y = \frac{8}{x}. Tính diện tích hình phẳng (S)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 11: Vận dụng
    Tìm giá trị tham số k

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ax^{3} (a > 0), trục hoành và hai đường thẳng x = - 1, x = k (k > 0) bằng \frac{15a}{4}. Tìm k.

    Hướng dẫn:

    Kí hiệu đồ thị hàm số như sau:

    Ta thấy hàm số y = ax^{3};(a > 0) luôn đồng biến trên \mathbb{R} và có tâm đối xứng là O(0;0). Hình vẽ minh họa ở bên ta thấy với x \in ( - 1;0) thì ax^{3} < 0, với x \in (0;k) thì ax^{3} > 0.

    Vậy S = \int_{- 1}^{k}{\left| ax^{3} ight|dx = \frac{15a}{4}}

    \Leftrightarrow \int_{- 1}^{0}{\left( ax^{3} ight)dx} + \int_{0}^{k}{\left( ax^{3} ight)dx} = \frac{15a}{4}

    \Leftrightarrow \frac{- ax^{4}}{4}|_{- 1}^{0} + \frac{ax^{4}}{4}|_{0}^{k} = \frac{15a}{4};(k > 0)

    \Leftrightarrow \frac{a}{4} + \frac{ak^{4}}{4} = \frac{15a}{414} \Leftrightarrow k^{4} = 14 \Leftrightarrow k = \sqrt[4]{14}

  • Câu 12: Thông hiểu
    Tìm diện tích hình phẳng

    Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi y = x^{2} - 2x, y = 0, x = - 4, x = 1.

    Hướng dẫn:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm: x^{2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} \right..

    Diện tích: S = \int_{- 4}^{1}{\left| x^{2} - 2x \right|dx} = \int_{- 4}^{0}{\left( x^{2} - 2x \right)dx} - \int_{0}^{1}{\left( x^{2} - 2x \right)dx}

    = \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} - x^{2} \right) \right|_{- 4}^{0} - \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} - x^{2} \right) \right|_{0}^{1} = 38.

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức

    Cho hàm số y = \frac{1}{2}x^{2} có đồ thị (P). Xét các điểm A;B \in (P) sao cho tiếp tuyến tại A và B của (P) vuông góc với nhau, diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB bằng \frac{9}{4}. Gọi x_{1};x_{2} lần lượt là hoành độ của A và B. Giá trị của \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} bằng:

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:y = \frac{1}{2}x^{2} có TXĐ: D\mathbb{= R}

    y' = x

    Giả sử A\left( x_{1};\frac{1}{2}{x_{1}}^{2} ight),B\left( x_{2};\frac{1}{2}{x_{2}}^{2} ight) \in (P) và x_{1} eq x_{2}

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm A của (P) là y = x_{1}\left( x - x_{1} ight) + \frac{1}{2}{x_{1}}^{2}

    \Rightarrow y = x_{1}x - \frac{1}{2}{x_{1}}^{2}\ \ \ \left( d_{1} ight)

    Phương trình tiếp tuyến tại điểm B của (P) là y = x_{2}\left( x - x_{2} ight) + \frac{1}{2}{x_{2}}^{2}

    \Rightarrow y = x_{2}x - \frac{1}{2}{x_{2}}^{2}\ \ \ \left( d_{2} ight)

    Vì \left( d_{1} ight)\bot\left( d_{2} ight) nên ta có: x_{1}x_{2} = - 1 \Leftrightarrow x_{2} = - \frac{1}{x_{1}}

    Phương trình đường thẳng AB

    \dfrac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} =\dfrac{y - \dfrac{1}{2}{x_{1}}^{2}}{\dfrac{1}{2}{x_{2}}^{2} -\dfrac{1}{2}{x_{1}}^{2}}

    \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( x - x_{1} ight)\left( {x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{2} ight) = \left( y - \frac{1}{2}{x_{1}}^{2} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)

    \Leftrightarrow \left( x - x_{1} ight)\left( x_{2} + x_{1} ight) = 2y - {x_{1}}^{2}

    \Leftrightarrow \left( x_{2} + x_{1} ight)x - 2y - x_{1}x_{2} = 0

    \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{2} + x_{1} ight)x - x_{1}x_{2} ightbrack = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)x + 1 ightbrack

    Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi AB, (P) là:

    S = \frac{1}{2}\int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)x + 1 - x^{2} ightbrack dx}

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} = \frac{1}{2}\left. \ \left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)\frac{x^{2}}{2} + x - \frac{x^{3}}{3} ightbrack ight|_{x_{1}}^{x_{2}}

    \Leftrightarrow \frac{9}{4} = \frac{1}{2}\left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} ight)\left( \frac{{x_{2}}^{2}}{2} - \frac{{x_{1}}^{2}}{2} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight) - \frac{{x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{3}}{3} ightbrack

    \Leftrightarrow 27 = - 3\left( x_{1}{x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{2}x_{2} ight) + 6\left( x_{2} - x_{1} ight) - 2{x_{2}}^{3} + 2{x_{1}}^{3}

    \Leftrightarrow 27 = - 3\left( x_{2} - x_{1} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1 ight) + 6\left( x_{2} - x_{1} ight)

    \Leftrightarrow 27 = 3\left( x_{2} - x_{1} ight) + \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 1 ight)

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 2 ight)

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} - x_{1} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)^{2}

    \Leftrightarrow 27 = \left( x_{2} - x_{1} ight)^{3} \Leftrightarrow x_{2} - x_{1} = 3

    Thay x_{2} = - \frac{1}{x_{1}} ta có:

    - \frac{1}{x_{1}} - x_{1} = 3 \Leftrightarrow - 1 - {x_{1}}^{2} - 3x_{1} = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x_{1} = \dfrac{- 3 - \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_{2} = \dfrac{2}{3 +\sqrt{5}} \\x_{1} = \dfrac{- 3 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x_{2} = \dfrac{- 2}{- 3 +\sqrt{5}} \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} = 5

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Tính thể tích chi tiết máy

    Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên.

    Các tứ giác ABCD,CDPQ là các hình vuông cạnh 2,5\ cm. Tứ giác ABEF là hình chữ nhật có BE = 3,5\ cm. Mặt bên PQEF được mài nhẵn theo đường parabol (P) có đỉnh parabol nằm trên cạnh EF. Tính thể tích của chi tiết máy gần nhất với giá trị nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Gọi hình chiếu của P,\ Q trên AF và BE là R vàS.

    Vật thể được chia thành hình lập phương ABCD.PQRS có cạnh 2,5\ cm, thể tích V_{1} = \frac{125}{8}\ cm^{3} và phần còn lại có thể tích V_{2}.

    Khi đó thể tích vật thể V = V_{1} + V_{2} = \frac{125}{8} + V_{2}.

    Đặt hệ trục Oxyz sao cho O trùng vớiF, Ox trùng với FA, Oy trùng với tia Fy song song với AD.

    Khi đó Parabol (P) có phương trình dạng y = ax^{2}, đi qua điểm P\left( 1;\frac{5}{2} \right) do đó a = \frac{5}{2} \Rightarrow y = \frac{5}{2}x^{2}.

    Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với Ox và đi qua điểm M(x;0;0),\ 0 \leq x \leq 1 ta được thiết diện là hình chữ nhật MNHK có cạnh là MN = \frac{5}{2}x^{2} và MK = \frac{5}{2}

    Do đó diện tích S(x) = \frac{25}{4}x^{2}

    Áp dụng công thức thể tích vật thể ta có V_{2} = \int_{0}^{1}{\frac{25}{4}x^{2}dx} = \frac{25}{12}.

    Từ đó V = \frac{125}{8} + \frac{25}{12} = \frac{425}{24}cm^{3}

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Tính số tiền cần xây cầu

    Trong chương trình nông thôn mới của tỉnh Phú Yên, tại xã Hòa Mỹ Tây có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ (đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). Biết 1\ m^{3} khối bê tông để đổ cây cầu có giá 5 triệu đồng. Tính số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu trên.

    Hướng dẫn:

    Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.

    .

    Gọi \left( P_{1} \right):y = a_{1}x^{2} + b_{1} là Parabol đi qua hai điểm A\left( \frac{19}{2};0 \right),B(0;2)

    Nên ta có hệ phương trình sau: \left\{ \begin{matrix} 0 = a.\left( \frac{19}{2} \right)^{2} + 2 \\ 2 = b \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{1} = - \frac{8}{361} \\ b_{1} = 2 \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left( P_{1} \right):y = - \frac{8}{361}x^{2} + 2.

    Gọi \left( P_{2} \right):y = a_{2}x^{2} + b_{2} là Parabol đi qua hai điểm C(10;0),D\left( 0;\frac{5}{2} \right)

    Nên ta có hệ phương trình sau: \left\{ \begin{matrix} 0 = a_{2}.(10)^{2} + \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} = b_{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{2} = - \frac{1}{40} \\ b_{2} = \frac{5}{2} \\ \end{matrix} \right.

    \Rightarrow \left( P_{2} \right):y = - \frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2}.

    Ta có thể tích của bê tông là:

    V = 5.2\left\lbrack \int_{0}^{10}\left( - \frac{1}{40}x^{2} + \frac{5}{2} \right)dx - \int_{0}^{\frac{19}{2}}\left( - \frac{8}{361}x^{2} + 2 \right)dx \right\rbrack = 40\ m^{3}.

    Số tiền mà tỉnh Phú Yên cần bỏ ra để xây cây cầu là: 5.40 = 200 triệu đồng

  • Câu 16: Thông hiểu
    Tính thể tích khối tròn xoay

    Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = \sqrt{2 + \cos x}, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = \frac{\pi}{2} . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Thể tích khối tròn xoay được tạo nên bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt{2 + \cos x}, x = 0, x = \frac{\pi}{2} và trục hoành khi quay quanh Ox là:

    V_{x} = \pi\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\left( 2 + \cos x ight)dx} = \left. \ \pi\left( 2x + \sin x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \pi(\pi + 1) (đvtt).

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho một mô hình 3D mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên.

    Chiều dài của đường hầm mô hình là 5cm, mặt phẳng vuông góc với mặt đáy của đường hầm tạo được thiết diện là một hình parabol, thiết diện có độ dài cạnh đáy gấp đôi chiều cao. Tính thể tích không gian bên trong đường hầm mô hình, biết chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công thứcy = 3 - \frac{2}{5}x (đơn vị là cm), với x là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

    Đáp án: 29

    Đáp án là:

    Cho một mô hình 3D mô phỏng một đường hầm như hình vẽ bên.

    Chiều dài của đường hầm mô hình là 5cm, mặt phẳng vuông góc với mặt đáy của đường hầm tạo được thiết diện là một hình parabol, thiết diện có độ dài cạnh đáy gấp đôi chiều cao. Tính thể tích không gian bên trong đường hầm mô hình, biết chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công thứcy = 3 - \frac{2}{5}x (đơn vị là cm), với x là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

    Đáp án: 29

    Xét một thiết diện parabol có chiều cao là h và độ dài đáy 2h và chọn hệ trục Oxy như hình vẽ bên

    Parabol (P) có phương trình (P):\ \ y = ax^{2} + h,\ \ (a < 0)

    Có B(h;\ 0) \in (P) \Leftrightarrow 0 = ah^{2} + h \Leftrightarrow a = - \frac{1}{h}\ \ (do\ h > 0)

    Diện tích S của thiết diện: S = \int_{- h}^{h}{\left( - \frac{1}{h}x^{2} + h ight)\ dx} = \frac{4h^{2}}{3}, kết hợp chiều cao h = 3 - \frac{2}{5}x

    Ta được diện tích thiết diện là S(x) = \frac{4}{3}\left( 3 - \frac{2}{5}x ight)^{2}.

    Thể tích không gian bên trong của đường hầm mô hình:

    V = \int_{0}^{5}{S(x)\ dx} = \int_{0}^{5}{\frac{4}{3}\left( 3 - \frac{2}{5}x ight)^{2}\ dx} \approx 28,888

    Vậy V \approx 29\ \ \left( cm^{3} ight).

  • Câu 18: Vận dụng
    Ghi đáp án đúng vào chỗ trống

    Một khối cầu có bán kính là 6\ dm, người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3\ dm để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Thể tích mà chiếc lu chứa được là bao nhiêu dm^{3}(làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 622

    Đáp án là:

    Một khối cầu có bán kính là 6\ dm, người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3\ dm để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Thể tích mà chiếc lu chứa được là bao nhiêu dm^{3}(làm tròn đến hàng đơn vị)

    Đáp án: 622

    Trên hệ trục tọa độ Oxy, xét đường tròn (C): (x - 6)^{2} + y^{2} = \ 36

    Nếu cho nửa trên trục Ox của (C) quay quanh trục Ox ta được mặt cầu có bán kính bằng 6.

    Nếu cho hình phẳng (H) giới hạn bởi nửa trên trục Ox của (C), trục Ox, hai đường thẳng x = 0;\ x = 3 quay xung quanh Ox ta sẽ được khối tròn xoay chính là 1 phần cắt đi của khối cầu trong đề bài.

    Ta có (x - 6)^{2} + y^{2} = \ 36 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt{36 - (x - 6)^{2}}

    Suy ra nửa trên trục Ox của (C) có phương trình y = \sqrt{36 - (x - 6)^{2}} = \sqrt{12x - x^{2}}

    Thể tích vật thể tròn xoay khi cho (H) quay quanh Ox là V_{1} = \pi\int_{0}^{3}\left( 12x - x^{2} ight) = 45\pi.

    Thể tích khối cầu là V_{2} = \frac{4}{3}\pi.6^{3} = 288\pi.

    Thể tích cần tìm là V = V_{2} - 2V_{1} = 198\pi \approx 622.

  • Câu 19: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y = \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} và nửa elip có phương trình y = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}} (với - 2 \leq x \leq 2) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).

    Gọi S là diện tích của, biết S = \frac{a\pi + b\sqrt{3}}{c} (với a;b;c\mathbb{\in R}). Tính P = a + b + c?

    Hướng dẫn:

    Hoành độ giao điểm của hai đồ thị: \frac{\sqrt{3}}{2}x^{2} = \frac{1}{2}\sqrt{4 - x^{2}} \Leftrightarrow x = \pm 1

    Do tính chất đối xứng của đồ thị nên

    S = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} + \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx} ight) = 2\left( S_{1} + S_{2} ight)

    S_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\int_{0}^{1}{x^{2}dx} = \frac{\sqrt{3}}{6}

    S_{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx}. Đặt x = 2\sin t\Rightarrow dx = 2\cos tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix}x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \\x = 2 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{2} \\\end{matrix} ight.

    Với t \in \left\lbrack\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow \cos t \geq 0\Rightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = 2\sqrt{\cos^{2}t} = 2\cos t

    S_{2} =\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{4\cos^{2}tdt} =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{2\cos^{2}tdt}

    =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{(1 + \cos2t)dt} = \left. \ \left( t+ \frac{1}{2}\sin2t ight) ight|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}

    Suy ra S = \frac{4\pi - \sqrt{3}}{6} \Rightarrow a = 4;b = - 1;c = 6

    Vậy P = a + b + c = 9

  • Câu 20: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hình phẳng D được giới hạn bởi hai đường y = 2\left( x^{2} - 1ight);y = 1 - x^{2}. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do D quay quanh trục Ox?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hình phẳng D được giới hạn bởi hai đường y = 2\left( x^{2} - 1ight);y = 1 - x^{2}. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do D quay quanh trục Ox?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
36 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này