Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Trắc nghiệm Toán 12 Ứng dụng hình học của Tích phân (Mức Vừa)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x\sqrt{x^{2} + 1}, trục hoành và đường thẳng x = 1 khi quay quanh trục Ox?

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm của đường y = x\sqrt{x^{2} + 1} và trục hoành là:

    x\sqrt{x^{2} + 1} = 0 \Leftrightarrow x = 0

    Khi đó, thể tích V của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x\sqrt{x^{2} + 1}, trục hoành và đường thẳng x = 1 khi quay quanh trục Ox là:

    V = \pi\int_{0}^{1}{\left( x\sqrt{x^{2} + 1} ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{1}{\left( x^{4} + x^{2} ight)dx}

    = \pi\left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{8\pi}{15}

  • Câu 2: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị (C) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a;b;c với c\in (a;b) như hình bên. Đặt m =\int_{a}^{c}{f(x)dx;n} = \int_{c}^{b}{f(x)dx}. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành (phần tô đậm) bằng bao nhiêu?

    Diện tích hình phẳng

    Hướng dẫn:

    Diện tích hình phẳng phần tô đậm được tính như sau:

    S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx}= \int_{a}^{c}{\left| f(x) ight|dx} + \int_{c}^{b}{\left| f(x)ight|dx}

    = \int_{a}^{c}{f(x)dx} -\int_{c}^{b}{f(x)dx} = m - n

  • Câu 3: Thông hiểu
    Tính diện tích hình phẳng

    Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ và \int_{- 2}^{0}{f(x)dx} = a;\int_{0}^{3}{f(x)dx} = b.

    Tính diện tích của phần được gạch chéo theo a;b.

    Hướng dẫn:

    Từ đồ thị ta suy ra \left\{ \begin{matrix} f(x) \geq 0;\forall x \in \lbrack - 2;0brack \\ f(x) \leq 0;\forall x \in \lbrack 0;3brack \\ \end{matrix} ight.

    Do đó, diện tích phần gạch chéo là

    S = \int_{- 2}^{0}{\left| f(x) ight|dx} + \int_{0}^{3}{\left| f(x) ight|dx}

    = \int_{- 2}^{0}{f(x)dx} - \int_{0}^{3}{f(x)dx} = a - b.

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm

    Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho h'(t) = 6at^{2} + 2bt và ban đầu bể không có nước. Sau 3 giây thì thể tích nước trong bể là 90m^{3}, sau 6 giây thì thể tích nước trong bể là 504m^{3}. Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 9 giây.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \int_{0}^{3}{\left( 6at^{2} + 2bt \right)dt = 90}\Leftrightarrow \left. \ \left( 2at^{3} + bt^{2} \right) \right|_{0}^{3} = 90 \Leftrightarrow 54a + 9b = 90 (1)

    \int_{0}^{6}{\left( 6at^{2} + 2bt \right)dt = 504}\Leftrightarrow \left. \ \left( 2at^{3} + bt^{2} \right) \right|_{0}^{6} = 504 \Leftrightarrow 432a + 36b = 504 (2)

    Từ (1), (2) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = \frac{2}{3} \\ b = 6 \\ \end{matrix} \right.. Sau khi bơm 9 giây thì thể tích nước trong bể là:

    V = \int_{0}^{9}{\left( 4t^{2} + 12t \right)dt}= \left. \ \left( \frac{4}{3}t^{3} + 6t^{2} \right) \right|_{0}^{9} = 1458\left( m^{3} \right).

  • Câu 5: Thông hiểu
    Chọn kết luận chính xác nhất

    Cho hình vẽ:

    Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo) giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số f(x);g(x);h(x) như hình bên, bằng kết quả nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Diện tích miền tích phân được chia thành hai phần. Phần 1 với x nằm trong khoảng a đến b và phần 2 với x nằm trong khoảng b đến c:

    S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx} + \int_{b}^{c}{\left| g(x) - h(x) ight|dx}

    = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} + \int_{b}^{c}{\left\lbrack h(x) - g(x) ightbrack dx}

    = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx} - \int_{b}^{c}{\left\lbrack g(x) - h(x) ightbrack dx}.

  • Câu 6: Thông hiểu
    Tính diện tích hình phẳng

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = x^{2} - 2x - 2 và y = \frac{x - 4}{2 - x}?

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{2} - 2x - 2 = \frac{x - 4}{2 - x}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 2 \\ \left( x^{2} - 2x - 2 ight)(2 - x) = x - 4 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 2 \\ x\left( x^{2} - 4x + 3 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} ight.

    Diện tích hình giới hạn là

    S = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - 2x - 2 - \frac{x - 4}{2 - x} ight|dx} + \int_{1}^{3}{\left| x^{2} - 2x - 2 - \frac{x - 4}{2 - x} ight|dx}

    = \int_{0}^{1}{\left| x^{2} - 2x - 1 - \frac{2}{2 - x} ight|dx} + \int_{1}^{3}{\left| x^{2} - 2x - 1 - \frac{2}{x - 2} ight|dx}

    = \left| \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3}- x^{2} - x - 2\ln|x - 2| ight) ight|_{0}^{1} ight| + \left| \left.\ \left( \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - x - 2\ln|x - 2| ight)ight|_{1}^{3} ight|

    = \frac{5}{3} - 2\ln2 + \frac{4}{3} = 3 -\ln4

  • Câu 7: Thông hiểu
    Tính diện tích hình phẳng

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x^{3}, trục hoành và hai đường thẳng x = - 1;x = 2 biết rằng mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là 2cm?

    Hướng dẫn:

    Ta có: S = \int_{- 1}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \int_{- 1}^{0}{\left| x^{3} ight|dx} + \int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx}

    = - \int_{- 1}^{0}{x^{3}dx} + \int_{0}^{2}{x^{3}dx} = \left. \ - \frac{x^{4}}{4} ight|_{- 1}^{0}\left. \ + \frac{x^{4}}{4} ight|_{0}^{2} = \frac{17}{4}

    Do mỗi đơn vị trên trục là 2 cm nên S = \frac{17}{4}.2^{2} = 17\left( cm^{2} ight)

  • Câu 8: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y = \sin x;y = \cos x và các đường thẳng x = 0;x = \pi?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Với x \in \lbrack 0;\pibrack khi đó \sin x = \cos x \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}

    Diện tích hình phẳng S = \int_{0}^{\pi}{\left| \sin x - \cos x ight|dx} ta được:

    S = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\left( \cos x - \sin x ight)dx} + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}{\left( \sin x - \cos x ight)dx}

    = \left. \ \left( \sin x - \cos x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} + \left. \ \left( - \sin x - \cos x ight) ight|_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}

    = \left( \sqrt{2} - 1 ight) + \left( 1 + \sqrt{2} ight) = 2\sqrt{2}

  • Câu 9: Thông hiểu
    Chọn đáp án thích hợp

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị (C) là đường cong như hình vẽ:

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và hai đường thẳng x = 0;x = 2 (phần tô đen) là:

    Hướng dẫn:

    Dựa vào hình vẽ ta thấy x \in (0;1) thì \left\{ \begin{matrix} f(x) > 0;\forall x \in (0;1) \\ f(x) < 0;\forall x \in (1;2) \\ \end{matrix} ight.

    Vậy S = \int_{0}^{1}{f(x)dx} - \int_{1}^{2}{f(x)dx}

  • Câu 10: Nhận biết
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;bbrack. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a;x = b;(a < b) được tính theo công thức

    Hướng dẫn:

    Theo lí thuyết về tính diện tích hình phẳng ta có diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a;x = b;(a < b) được tính theo công thức: S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) ight|dx}.

  • Câu 11: Thông hiểu
    Tính diện tích hình phẳng D

    Tính diện tích S_{D} của hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y = \left| \frac{\ln x}{x} ight|, trục hoành và các đường thẳng x = \frac{1}{e};x = 2?

    Hướng dẫn:

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S_{D} = \int_{\frac{1}{e}}^{2}{\left| \frac{\ln x}{x} ight|dx} = \int_{\frac{1}{e}}^{1}{\left| \frac{\ln x}{x} ight|dx} + \int_{1}^{2}{\left| \frac{\ln x}{x} ight|dx}

    = - \int_{\frac{1}{e}}^{1}{\frac{\ln x}{x}dx} + \int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x}dx}

    = - \left. \ \frac{\left( \ln x ight)^{2}}{2} ight|_{\frac{1}{e}}^{1} + \left. \ \frac{\left( \ln x ight)^{2}}{2} ight|_{1}^{2}

    = \frac{1}{2} + \frac{\ln^{2}2}{2} =\frac{1}{2}\left( 1 + \ln^{2}2 ight)

  • Câu 12: Nhận biết
    Xác định thể tích của vật

    Vật thể B giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình x = 0 và x = 2. Cắt vật thể B với mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x;(0 \leq x \leq 2) ta được thiết diện có diện tích bằng x^{2}(2 - x). Thể tích của vật thể B:

    Hướng dẫn:

    Thể tích của vật thể B là:

    V = \int_{0}^{2}{x^{2}(2 - x)dx} = \int_{0}^{2}{\left( 2x^{2} - x^{3} ight)dx} = \frac{4}{3}

  • Câu 13: Vận dụng
    Ghi đáp án chính xác vào ô trống

    Chuẩn bị cho lễ Giáng Sinh, bạn Lan đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng OO' = 7cm, OA = 8cm, OB = 16 cm, đường cong AB là một phần của parabol có đỉnh là điểmA. Thể tích của chiếc mũ. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 1944.

    Đáp án là:

    Chuẩn bị cho lễ Giáng Sinh, bạn Lan đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng OO' = 7cm, OA = 8cm, OB = 16 cm, đường cong AB là một phần của parabol có đỉnh là điểmA. Thể tích của chiếc mũ. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

    Đáp án: 1944.

    Kí hiệu tọa độ các điểm như hình vẽ:

    Ta gọi thể tích của chiếc mũ là V.

    Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng OA = 8 cm và đường cao OO' = 7 cm là V_{1}.

    Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong ABvà hai trục tọa độ quanh trục Oylà V_{2}.

    Ta có V = V_{1} + V_{2}

    V_{1} = 7.8^{2}\pi = 448\pi \left( cm^{3} ight).

    Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

    Do parabol có đỉnh A nên nó có phương trình dạng (P):y = a(x - 8)^{2}.

    Vì (P) qua điểm B(0;16) nên a = \frac{1}{4}.

    Do đó, (P):y = \frac{1}{4}(x - 8)^{2}.

    Từ đó suy ra x = 8 - 2\sqrt{y} (do x < 8).

    Suy ra V_{2} = \pi\int_{0}^{16}{\left( 8 - 2\sqrt{y} ight)^{2}dy} = \frac{512}{3}\pi \left( cm^{3} ight).

    Do đó V = V_{1} + V_{2} = \frac{512}{3}\pi + 448\pi = \frac{1856}{3}\pi \approx 1944 \left( cm^{3} ight).

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tính thể tích vật thể

    Khi cắt một vật thể hình chiếc niêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( - 2 \leq x \leq 2), mặt cắt là tam giác vuông có một góc 45{^\circ} và độ dài một cạnh góc vuông là \sqrt{14 - 3x^{2}} (như hình vẽ). Tính thể tích vật thể hình chiếc niêm trên.

    9

    Hướng dẫn:

    Diện tích tam giác vuông cân là:

    S(x) = \frac{1}{2}\sqrt{14 - 3x^{2}}.\sqrt{14 - 3x^{2}} = \frac{1}{2}\left( 14 - 3x^{2} \right)

    \Rightarrow Thể tích vật thể là: V = \int_{- 2}^{2}{\frac{1}{2}\left( 14 - 3x^{2} \right)dx = 20}.

  • Câu 15: Thông hiểu
    Tính diện tích hình phẳng

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} với các trục tọa độ?

    Hướng dẫn:

    Xét \left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = - 2 \\ y = 0 \Rightarrow x = - 1 \\ \end{matrix} ight..

    Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x - 2} với các trục tọa độ là: S = \int_{- 1}^{0}{\left| \frac{x + 1}{x - 2} ight|dx}.

    Vì biểu thức \frac{x + 1}{x - 2} không đổi dấu trên miền \lbrack - 1;0brack nên:

    S = \left| \int_{- 1}^{0}{\frac{x + 1}{x - 2}dx} ight| = \left| \int_{- 1}^{0}{\left( 1 + \frac{3}{x - 2} ight)dx} ight|

    = \left| \left. \ \left( x + 3\ln|x - 2|ight) ight|_{- 1}^{0} ight| = \left| 1 + 3(\ln2 - \ln3) ight| =3\ln\frac{3}{2} - 1

  • Câu 16: Thông hiểu
    Tính thể tích chiếc ly

    Một ly rượu thủy tinh có hình dạng tròn xoay và kích thước như hình vẽ, thiết diện dọc của ly (bổ dọc cốc thành 2 phần bằng nhau) là một đường Parabol. Tính thể tích tối đa mà ly có thể chứa được (làm tròn 2 chữ số thập phân)

    Hướng dẫn:

    Parabol có phương trình y = \frac{5}{8}x^{2} \Leftrightarrow x^{2} = \frac{8}{5}y

    Thể tích tối đa cốc: V = \pi\int_{0}^{10}\left( \frac{8}{5}y \right)dy \approx 251,33.

  • Câu 17: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức

    Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x};y = 0;x = 1;x = e là S = a\sqrt{2} + b. Tính giá trị a^{2} + b^{2}?

    Hướng dẫn:

    Diện tích hình phẳng cần tìm là:

    S = \int_{1}^{e}{\left| \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x} ight|dx} = \int_{1}^{e}{\frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x}dx}

    Đặt \sqrt{1 + \ln x} = t \Rightarrow 1 + \ln x = t^{2} \Rightarrow \frac{dx}{x} = 2tdt

    Đổi cận \left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = e \Rightarrow t = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.. Khi đó:

    S = \int_{1}^{\sqrt{2}}{2t^{2}dt} = \frac{4}{3}.\sqrt{2} - \frac{2}{3} hay a = \frac{4}{3};b = \frac{2}{3}

    \Rightarrow a^{2} + b^{2} = \frac{20}{9}

  • Câu 18: Vận dụng
    Tính thể tích quả bóng

    Một quả bóng bầu dục có khoảng cách giữa 2 điểm xa nhất bằng 10 cm và cắt quả bóng bằng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó thì được đường tròn có diện tích bằng 16\pi\left( \ cm^{2} ight). Thể tích của quả bóng bằng (Tính gần đúng đến hai chữ số thập phân, đơn vị lít)

    Gợi ý:

    Sử dụng phương trình chính tắc của Elip: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, với 2a là độ dài trục lớn, 2b là độ dài trục nhỏ.

    Hướng dẫn:

    Quả bóng bầu dục sẽ có dạng elip.

    Độ dài trục lớn bằng 20\ cm \Rightarrow2a = 20 \Rightarrow a = 5\ \ (cm)

    Ta có diện tích đường tròn thiết diện là

    S = \pi b^{2} = 16\pi \Rightarrow b =4(\ cm)

    Ta sẽ có phương trình elip \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1

    \Rightarrow V = \pi\int_{- 5}^{5}{16\left( 1 - \frac{x^{2}}{25} ight)}dx \approx 335\ \ \left( \ cm^{3} ight) = 0,34\ (l).

  • Câu 19: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho khối cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} =25, mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y - 2z + 5 = 0 cắt khối cầu (S) thành hai phần. Tính thể tích của phần không chứa tâm của mặt cầu (S).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho khối cầu (S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 1)^{2} =25, mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y - 2z + 5 = 0 cắt khối cầu (S) thành hai phần. Tính thể tích của phần không chứa tâm của mặt cầu (S).

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 20: Thông hiểu
    Tìm thể tích khối tròn xoay

    Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = \sqrt{2 + \sin x}, trục hoành và các đường thẳngx = 0, x = \pi. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Thể tích khối tròn xoay được tạo nên bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \sqrt{2 + \sin x}, x = 0, x = \pi và trục hoành khi quay quanh Ox là:

    V_{x} = \pi\int_{0}^{\pi}{\left( 2 + \sin x ight)dx} = \left. \ \pi\left( 2x - \cos x ight) ight|_{0}^{\pi} = 2\pi(\pi + 1) (đvtt).

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (10%):
    2/3
  • Thông hiểu (75%):
    2/3
  • Vận dụng (15%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
43 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này