Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 Cánh Diều Bài 4 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Xác định tất cả giá trị nguyên tham số m thỏa mãn điều kiện

    Cho hàm số f(x) = x^{3} + x + 2. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f\left( \sqrt[3]{f^{3}(x) + f(x) + m} \right) = - x^{3} - x + 2 có nghiệm x \in \lbrack - 1;2\rbrack?

    Hướng dẫn:

    Xét hàm số f(t) = t^{3} + t + 2, ta có f'(t) = 3t^{2} + 1 > 0,\forall t\mathbb{\in R}.

    Do đó hàm số f đồng biến trên \mathbb{R}.

    Ta có f\left( \sqrt[3]{f^{3}(x) + f(x) + m} ight) = f( - x)

    \Leftrightarrow - x = \sqrt[3]{f^{3}(x) + f(x) + m} \Leftrightarrow f^{3}(x) + f(x) + x^{3} + m = 0\ \ \ \ \ \ (1)

    Xét h(x) = f^{3}(x) + f(x) + x^{3} + m trên đoạn \lbrack - 1;2brack.

    Ta có h'(x) = 3f'(x) \cdot f^{2}(x) + f'(x) + 3x^{2}

    = f'(x)\left\lbrack 3f^{2}(x) + 1 ightbrack + 3x^{2}.

    Ta có f'(x) = 3x^{2} + 1 > 0,\forall x \in \lbrack - 1;2brack \Rightarrow h'(x) > 0,\forall x \in \lbrack - 1;2brack.

    Hàm số h(x) đồng biến trên \lbrack - 1;2brack nên \min_{\lbrack - 1;2brack}h(x) = h( - 1) = m - 1,\max_{\lbrack - 1;2brack}h(x) = h(2) = m +1748.

    Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi

    \begin{matrix} \mathop {\min }\limits_{[ - 1;2]} h\left( x ight) \cdot \mathop {\max }\limits_{[ - 1;2]} h\left( x ight) \leqslant 0 \Leftrightarrow h\left( { - 1} ight) \cdot h\left( 2 ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} ight)\left( {1748 + m} ight) \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow - 1748 \leqslant m \leqslant 1. \hfill \\ \end{matrix}

    Do m nguyên nên tập các giá trị m thỏa mãn là S = \{ - 1748; - 1747;\ldots;0;1\}.

    Vậy có tất cả 1750 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

  • Câu 2: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Cho hàm số và có bảng biến thiên như hình vẽ.

    Tính giá trị biểu thức

    Tính T = ab + bc + 2ca

    Hướng dẫn:

    Ta có: 

    \begin{matrix} y' = 4a{x^3} + 2bx \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( 0 ight) = 3} \\ {y\left( 1 ight) = 2} \\ {y'\left( 1 ight) = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {c = 3} \\ {a + b + c = 2} \\ {4a + 2b = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {c = 3} \\ {a = 1} \\ {b = - 2} \end{array}} ight. \Rightarrow T = - 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 3: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ:

    Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f\left( \cos x ight) = - 2m + 1 có nghiệm thuộc khoảng \left( 0;\frac{\pi}{2}ight)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ:

    Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f\left( \cos x ight) = - 2m + 1 có nghiệm thuộc khoảng \left( 0;\frac{\pi}{2}ight)?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 4: Vận dụng cao
    Xác định các giá trị nguyên của tham số m

    Cho hai hàm số y = \frac{x}{x - 1} + \frac{x + 1}{x} + \frac{x + 2}{x + 1} và y = e^{x} + 2023 + 3m (m là tham số thực) có đồ thị lần lượt là (C_{1}) và (C_{2}). Có bao nhiêu số nguyên m thuộc ( - 2022;2023) để (C_{1}) và (C_{2}) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt?

    Hướng dẫn:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm \frac{x}{x - 1} + \frac{x + 1}{x} + \frac{x + 2}{x + 1} = e^{x} + 2023 + 3m

    \Leftrightarrow \frac{x}{x - 1} + \frac{x + 1}{x} + \frac{x + 2}{x + 1} - e^{x} - 2023 = 3m (1).

    Đặt g(x) = \frac{x}{x - 1} + \frac{x + 1}{x} + \frac{x + 2}{x + 1} - e^{x} - 2023.

    Ta có g'(x) = - \frac{1}{(x - 1)^{2}} - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{(x + 1)^{2}} - e^{x} < 0 với mọi x thuộc các khoảng sau ( - \infty; - 1), ( - 1;0), (0;1) và (1; + \infty) nên hàm số y = g(x) nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

    Mặt khác ta có \lim_{x ightarrow - \infty}g(x) = - 2020 và \lim_{x ightarrow + \infty}g(x) = - \infty.

    Bảng biến thiên hàm sốy = g(x)

    Do đó để (C_{1}) và (C_{2}) cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có ba nghiệm phân biệt.

    Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng y = 3m cắt đồ thị hàm số y = g(x) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi 3m \geq - 2020 \Leftrightarrow m \geq - \frac{2020}{3} \approx - 673,3.

    Do m nguyên thuộc( - 2022;2023) nên m \in \left\{ - 673; - 672;...;2022 ight\}. Vậy có tất cả 2696 giá trịm thỏa mãn.

  • Câu 5: Vận dụng
    Tính độ dài ngắn nhất của AB

    Gọi A và B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số y = \frac{x}{x - 2}. Khi đó độ dài đoạn AB ngắn nhất bằng

    Hướng dẫn:

    Hàm số y = \frac{x}{x - 2} có đồ thị (C) như hình vẽ.

    Gọi A\left( a;\frac{a}{a - 2} ight) và B\left( b;\frac{b}{b - 2} ight) là hai điểm thuộc hai nhánh của (C) (a < 2 < b).

    Ta có: \overrightarrow{AB} = \left( b - a;\frac{b}{b - 2} - \frac{a}{a - 2} ight) = \left( b - a;\frac{b - a}{(b - 2)(2 - a)} ight).

    Áp dụng BĐT Côsi ta có: (b - 2)(2 - a)\leq \frac{(b - a)^{2}}{4}.

    Suy ra: AB^{2} = (b - a)^{2} + \frac{(b - a)^{2}}{\left\lbrack (b - 2)(2 - a) ightbrack^{2}} \geq (b - a)^{2} + \frac{64}{(b - a)^{2}} \geq 16

    \Rightarrow AB \geq 4. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 2 - \sqrt{2} và b = 2 + \sqrt{2}.

    Vậy AB_{\min} = 4.

  • Câu 6: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Số giao điểm của đồ thị hàm số y = - x^{2} + 3x và đồ thị hàm số y = x^{3} - x^{2}là

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là x^{3} - x^{2} = - x^{2} + 3x

    \Leftrightarrow x^{3} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.

    Vậy có tất cả 3 giao điểm cần tìm.

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm sốy = (m + 1)x^{4} - 2(2m - 3)x^{2} + 6m + 5 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có các hoành độ  thỏa mãn x_{\ ^{1}} < x_{\ ^{2}} < x_{\ ^{3}} < 1 < x_{\ ^{4}}.

    Hướng dẫn:

    C1: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là

    (m + 1)x^{4} - 2(2m - 3)x^{2} + 6m + 5 = 0(1)

    Đặt t = x^{2} \geq 0 pt trở thành (m + 1)t^{2} - 2(2m - 3)t + 6m + 5 = 0(2)

    g(t) = (m + 1)t^{2} - 2(2m - 3)t + 6m + 5

    Để pt (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt

    Hay \left\{ \begin{matrix} m + 1 eq 0 \\ \Delta' > 0 \\ t_{1}.t_{2} > 0 \\ t_{1} + t_{2} > 0 \\ \end{matrix} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq - 1 \\ (2m - 3)^{2} - (m + 1)(6m + 5) > 0 \\ \frac{6m + 5}{m + 1} > 0 \\ \frac{2m - 3}{m + 1} > 0 \\ \end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq - 1 \\ \frac{- 23 - \sqrt{561}}{4} < m < \frac{- 23 + \sqrt{561}}{4} \\ m < - 1 \vee m > - \frac{5}{6} \\ m < - 1 \vee m > \frac{3}{2} \\ \end{matrix} ight.\ (*)

    Để pt (1) có 4 nghiệm thỏa mãn x_{\ ^{1}} < x_{\ ^{2}} < x_{\ ^{3}} < 1 < x_{\ ^{4}}

    thì pt (2) phải có 2 nghiệm thỏa 0 < t_{\ ^{1}} < 1 < t_{\ ^{2}}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 1 < 0 \\ t_{2} - 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left( t_{1} - 1 ight)\left( t_{2} - 1 ight) < 0 \Leftrightarrow t_{1}t_{2} - \left( t_{1} + t_{2} ight) + 1 < 0

    \Leftrightarrow \frac{6m + 5}{m + 1} - \frac{2(2m - 3)}{m + 1} + 1 < 0\Leftrightarrow \frac{3m + 12}{m + 1} < 0 \Leftrightarrow - 4 < m < - 1

    Kết hợp với (*) ta có m \in ( - 4; - 1) thỏa yêu cầu bài toán.

    C2:

    Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là

    (m + 1)x^{4} - 2(2m - 3)x^{2} + 6m + 5 = 0(1)

    Đặt t = x^{2} \geq 0pt trở thành (m + 1)t^{2} - 2(2m - 3)t + 6m + 5 = 0(2)

    Để pt (1) có 4 nghiệm thỏa mãn x_{\ ^{1}} < x_{\ ^{2}} < x_{\ ^{3}} < 1 < x_{\ ^{4}}

    thì pt (2) phải có 2 nghiệm thỏa 0 < t_{\ ^{1}} < 1 < t_{\ ^{2}}

    Phương trình (2) \Leftrightarrow m = \frac{- t^{2} - 6t - 5}{t^{2} - 4t + 6} (biểu thức t^{2} - 4t + 6 eq 0,\forall t )

    Xét hàm số f(t) = \frac{- t^{2} - 6t - 5}{t^{2} - 4t + 6}, với t \in (0; + \infty)

    Ta có f(t) liên tục trên (0; + \infty) và có

    f'(t) = \frac{10t^{2} - 2t - 56}{\left( t^{2} - 4t + 6 ight)^{2}}

    f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = \frac{1 - \sqrt{561}}{10} < 0 \\ t = \frac{1 + \sqrt{561}}{10} > 1 \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số f(t) = \frac{- t^{2} - 6t - 5}{t^{2} - 4t + 6} tại hai giao điểm có hoàng độ thỏa 0 < t_{\ ^{1}} < 1 < t_{\ ^{2}} khi - 4 < m < - 1.

  • Câu 8: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Biết hàm số y = (x - 1)(x + 1)\left(x^{2} - 7 ight) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là x_{1};x_{2};x_{3};x_{4}. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để \frac{1}{1 - x_{1}} + \frac{1}{1 - x_{2}} +\frac{1}{1 - x_{3}} + \frac{1}{1 - x_{4}} > 1?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Biết hàm số y = (x - 1)(x + 1)\left(x^{2} - 7 ight) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là x_{1};x_{2};x_{3};x_{4}. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để \frac{1}{1 - x_{1}} + \frac{1}{1 - x_{2}} +\frac{1}{1 - x_{3}} + \frac{1}{1 - x_{4}} > 1?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 9: Thông hiểu
    Tính tổng tất cả các tham số m

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + m - 1 với m là tham số. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt bằng:

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là:

    x^{3} - 3x^{2} + m - 1 = 0 \Leftrightarrow x^{3} - 3x^{2} + 1 = m

    Xét hàm số f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + 1;\forall x\mathbb{\in R}

    Ta có: f'(x) = - 3x^{2} + 6x \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên:

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi 1 < m < 5

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 2;3;4 ight\}

    Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bằng 9.

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tìm tất cả các giá trị nguyên của m

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình x^{4} - 3x^{2} + m = 0 có 4 nghiệm thực phân biệt?

    Hướng dẫn:

    Đặt t = x^{2};(t \geq 0). Ta được phương trình 3t^{2} - 3t + m = 0(*)

    Phương trình đã cho có 4 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 9 - 4m > 0 \\ 3 > 0 \\ m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4}

    Do m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 1;2 ight\}

    Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 11: Vận dụng
    Giá trị của biểu thức

    Cho hình vẽ là đồ thị hàm số có dạng y = a{x^4} + b{x^2} + c

    Giá trị của biểu thức

    Giá trị của biểu thức B = {a^2} + {b^2} + {c^2} có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

    Hướng dẫn:

    Đồ thị hàm số đi qua điểm \left( {0; - 1} ight) => c = - 1

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_{CD}} = y\left( {\sqrt {\dfrac{{ - b}}{{2a}}} } ight) = \dfrac{{ - {b^2}}}{{4a}} + c = 3} \\ {y\left( 1 ight) = a + b + c = 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {b^2} = 16a} \\ {a + b = 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {b^2} = 16\left( {3 - b} ight)} \\ {a = 3 - b} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = 12;a = 9} \\ {b = 4;a = - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow B = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 18 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 12: Vận dụng
    Tìm các số thực dương m theo yêu cầu bài toán

    Cho hàm số y = x^{4} - 3x^{2} - 2. Tìm số thực dương m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, trong đó O là gốc tọa độ.

    Hướng dẫn:

    Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:

    x^{4} - 3x^{2} - 2 = m \Leftrightarrow x^{4} - 3x^{2} - 2 - m = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (1).

    Vì m > 0 \Leftrightarrow - 2 - m < 0 hay phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:

    x^{2} = \frac{3 + \sqrt{4m + 17}}{2} \Rightarrow x_{1} = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{4m + 17}}{2}}và x_{2} = - \sqrt{\frac{3 + \sqrt{4m + 17}}{2}}.

    Khi đó: A\left( x_{1};m ight), B\left( x_{2};m ight).

    Ta có tam giác OAB vuông tại O, trong đó O là gốc tọa độ \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = 0 \Leftrightarrow x_{1}.x_{2} + m^{2} = 0.

    \Leftrightarrow \frac{3 + \sqrt{4m + 17}}{2} = m^{2}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m^{2} - 3 \geq 0 \\ 4m^{4} - 12m^{2} - 4m - 8 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{m > 0}{\leftrightarrow}m = 2.

    Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Tìm tất cả các giá trị tham số m

    Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số y = \left( 2x^{2} + 1 \right)\sqrt{x - 1} và y = \frac{11}{3x - 4} - \frac{1}{2 - x} + 11 + m cắt nhau tại 2 điểm phân biệt?

    Hướng dẫn:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm:

    \left( 2x^{2} + 1 ight)\sqrt{x - 1} = \frac{11}{3x - 4} - \frac{1}{2 - x} + 11 + m(*)

    Điều kiện: \left\{ \begin{matrix} x - 1 \geq 0 \\ x eq \frac{4}{3} \\ x eq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ x eq \frac{4}{3} \\ x eq 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: (*) \Leftrightarrow \left( 2x^{2} + 1 ight)\sqrt{x - 1} - \frac{11}{3x - 4} + \frac{1}{2 - x} - 11 = m

    Xét hàm số f(x) = \left( 2x^{2} + 1 ight)\sqrt{x - 1} - \frac{11}{3x - 4} + \frac{1}{2 - x} - 11 trên \lbrack 1;\ + \infty)\backslash\left\{ \frac{4}{3};\ 2 ight\}

    Nhận thấy, hàm số f(x) liên tục trên các khoảng \left\lbrack 1;\frac{4}{3} ight),\ \left( \frac{4}{3};2 ight),\ (2\ ; + \infty)

    Ta có, f'(x) = \left( \left( 2x^{2} + 1 ight)\sqrt{x - 1} - \frac{11}{3x - 4} + \frac{1}{2 - x} - 11 ight)^{'}

    = 4x\sqrt{x - 1} + \left( 2x^{2} + 1 ight)\frac{1}{2\sqrt{x - 1}} + \frac{33}{(3x - 4)^{2}} + \frac{1}{(2 - x)^{2}}

    = \frac{10x^{2} - 8x + 1}{2\sqrt{x - 1}} + \frac{33}{(3x - 4)^{2}} + \frac{1}{(2 - x)^{2}} > 0 với \forall x \in \lbrack 1;\ + \infty)\backslash\left\{ \frac{4}{3};\ 2 ight\}

    Suy ra, hàm số f(x) đồng biến trên \lbrack 1;\ + \infty)\backslash\left\{ \frac{4}{3};\ 2 ight\}.

    Bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên ta suy ra đồ thị hai hàm số y = \left( 2x^{2} + 1 ight)\sqrt{x - 1} và y = \frac{11}{3x - 4} - \frac{1}{2 - x} + 11 + m cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi m \in ( - \infty;1).

  • Câu 14: Vận dụng
    Phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có đồ thị như hình vẽ:

    Phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt

    Hỏi phương trình \left| {f\left( {x - 2} ight) - 2} ight| = 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc khoảng \left( {0; + \infty } ight)?

    Hướng dẫn:

    Đặt t= x - 2;\left( {t > - 2} ight)

    Phương trình \left| {f\left( {x - 2} ight) - 2} ight| = 1 tương đương

    \left| {f\left( t ight) - 2} ight| = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( t ight) = 3} \\ {f\left( t ight) = 1} \end{array}} ight.

    Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có 6 nghiệm phân biệt t \in \left( { - 2; + \infty } ight)

    => Phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thuộc khoảng \left( {0; + \infty } ight)

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Chọn kết luận đúng

    Đồ thị của hàm số y = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + 2m + 1 (với m là tham số) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Kết luận nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm y = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + 2m + 1 = 0\ \ (1)

    Đặt t = x^{2};t \geq 0. Phương trình trở thành t^{2} - 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0\ \ \ (2)

    Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt, nghĩa là \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (m + 1)^{2} - (2m + 1) > 0 \\ m + 1 > 0 \\ 2m + 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m eq 0 \\m > - 1 \\m > - \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m eq 0 \\m > - \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Gọi x_{1};x_{2};x_{3};x_{4};\left( x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} ight) là nghiệm cỉa phương trình (1) và t_{1};t_{2};\left( t_{1} < t_{2} ight) là nghiệm của phương trình (2)

    Theo giả thiết ta có:

    x_{4} - x_{3} = x_{3} - x_{2} = x_{2} - x_{1}

    \Leftrightarrow x_{4} - x_{3} = x_{3} - x_{2}

    \Leftrightarrow \sqrt{t_{2}} - \sqrt{t_{1}} = \sqrt{t_{1}} + \sqrt{t_{1}} \Leftrightarrow t_{2} = 9t_{1} > 0

    Ta có hệ:

    \left\{ \begin{matrix}t_{1} + t_{2} = 2(m + 1) \\t_{1}.t_{2} = 2m + 1 \\t_{1} = 9t_{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t_{1} = \dfrac{m}{5} + \dfrac{1}{5} \\t_{2} = \dfrac{9m}{5} + \dfrac{9}{5} \\t_{1}.t_{2} = 2m + 1 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left( \dfrac{m}{5} +\dfrac{1}{5} ight)\left( \dfrac{9m}{5} + \dfrac{9}{5} ight) = 2m + 1\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 4 \\m = - \dfrac{4}{9} \\\end{matrix} ight.

    Vậy m \in (2;6)

  • Câu 16: Vận dụng
    Tìm m thỏa mãn yêu cầu bài toán

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    Số nghiệm thuộc đoạn \left\lbrack 0;\frac{7}{2} ightbrack của phương trình f\left( \cos x ight) = 1 bằng:

    Hướng dẫn:

    Dựa vào bảng biến thiến ta suy ra f\left( \cos x ight) = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos x = a < - 1\ \ \ \ (1) \\ \cos x = b \in ( - 1;0)\ \ \ (2) \\ \cos x = c \in (0;1)\ \ (3) \\ \cos x = d > 1\ \ (4) \\ \end{matrix} ight.

    Các phương trình (1) và (4) vô nghiệm

    Ta có bảng sau:

    Phương trình \cos x = b \in ( - 1;0) có 4 nghiệm thuộc \left\lbrack 0;\frac{7}{2} ightbrack

    Phương trình \cos x = c \in (0;1) có 3 nghiệm thuộc \left\lbrack 0;\frac{7}{2} ightbrack

    Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm thuộc đoạn \left\lbrack 0;\frac{7}{2} ightbrack.

  • Câu 17: Vận dụng
    Xác định số cặp điểm thỏa mãn yêu cầu

    Cho hàm số y = x^{3} + x^{2} - 4 có đồ thị (C). Hỏi có bao nhiêu cặp điểm A;B \in (C) sao cho ba điểm O;A;B thẳng hàng và OA - 2OB = 0 với O là gốc tọa độ?

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng đi qua ba điểm O, A, B khi đó d có phương trình y = k.x

    Khi đó hoành độ của O, A, B là nghiệm của phương trình x^{3} + x^{2} - 4 = kx

    Giả sử A\left( x_{1};kx_{1} ight),B\left( x_{2};kx_{2} ight) khi đó ta có: \left\{ \begin{matrix} {x_{1}}^{3} + {x_{1}}^{2} - 4 = kx_{1} \\ {x_{2}}^{3} + {x_{2}}^{2} - 4 = kx_{2} \\ \end{matrix} ight.

    Do OA - 2OB = 0 nên \overrightarrow{OA} = \pm 2\overrightarrow{OB} \Rightarrow x_{1} = \pm 2kx_{2}

    TH1: x_{1} = 2kx_{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 8{x_{2}}^{3} + 4{x_{2}}^{2} - 4 = 2kx_{2} \\ {x_{2}}^{3} + {x_{2}}^{2} - 4 = kx_{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow 6{x_{2}}^{3} + 2{x_{2}}^{2} + 4 = 0 \Rightarrow x_{2} = - 1

    Khi đó A( - 2; - 8),B( - 1; - 4).

    TH2: x_{1} = - 2kx_{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} - 8{x_{2}}^{3} + 4{x_{2}}^{2} - 4 = - 2kx_{2} \\ {x_{2}}^{3} + {x_{2}}^{2} - 4 = kx_{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow - 6{x_{2}}^{3} + 6{x_{2}}^{2} - 12 = 0 \Rightarrow x_{2} = - 1

    Khi đó A(2;8),B( - 1; - 4).

    Vậy có 2 cặp A; B thỏa mãn.

  • Câu 18: Vận dụng
    Xác định các giá trị thực tham số m

    Cho hàm số y = x^{3} - 3mx^{2} + 2m. Có bao nhiêu giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng?

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm: x^{3} - 3mx^{2} + 2m = 0 (*)

    Phương trình ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0 có ba nghiệm lập thành cấp số cộng

    \overset{}{ightarrow} Phương trình có một nghiệm x_{0} = - \frac{b}{3a}.

    Suy ra phương trình (*) có một nghiệm x = m.

    Thay x = m vào phương trình (*), ta được m^{3} - 3m\ .\ m^{2} + 2m = 0 \Leftrightarrow - 2m^{3} + 2m = 0 \leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = \pm 1 \\ m = 0 \\ \end{matrix} ight..

    Thử lại:

    Với m = 1, ta được x^{3} - 3x^{2} + 2 = 0 \leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 - \sqrt{3} \\ x = 1 \\ x = 1 + \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight..

    Do đó m = 1 thỏa mãn.

    Với m = - 1, ta được x^{3} + 3x^{2} - 2 = 0 \leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 + \sqrt{3} \\ x = - 1 \\ x = - 1 - \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight..

    Do đó m = - 1 thỏa mãn.

    Với m = 0, ta được x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0.

    Do đó m = 0 không thỏa mãn.

    Vậy m = \pm 1 là hai giá trị cần tìm.

  • Câu 19: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số y = x^{4} - 2x^{2} tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là 0,1,m,n. Tính S = m^{2} + n^{2}.

    Hướng dẫn:

    Gọi phương trình đường thẳng là d:y = ax + b.

    Theo đề ta có 0,1,m,n là các nghiệm của phương trình: x^{4} - 2x^{2} - ax - b = 0 (1).

    Vì x=0 ,x=1 là nghiệm của phương trình (1) nên ta có: \left\{ \begin{matrix} b = 0 \\ a + b = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó phương trình (1) trở thành: x^{4} - 2x^{2} + x = 0 \Leftrightarrow x(x - 1)(x^{2} + x - 1) = 0.

    Dễ thấy m,n là nghiệm của phương trình: x^{2} + x - 1 = 0.

    S = m^{2} + n^{2} = (m + n)^{2} - 2mn = ( - 1)^{2} + 2 = 3.

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hàm số y = f\left( x ight). Hàm số y = f'\left( x ight) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

    Bất phương trình nghiệm đúng khi và chỉ khi

    Bất phương trình \frac{{f\left( x ight)}}{{36}} - \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}} > m nghiệm đúng với mọi x \in \left( {0;1} ight) khi và chỉ khi

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f\left( x ight). Hàm số y = f'\left( x ight) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

    Bất phương trình nghiệm đúng khi và chỉ khi

    Bất phương trình \frac{{f\left( x ight)}}{{36}} - \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}} > m nghiệm đúng với mọi x \in \left( {0;1} ight) khi và chỉ khi

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại

Đấu trường Bài tập trắc nghiệm Toán 12 Cánh Diều Bài 4 (Mức độ Khó)

Đang tìm đối thủ...

Đang tải...

Tạo phòng ngay Đấu trường chung
1
19 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này