Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 Cánh Diều Bài 4 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong hệ trục toạ độ (Oxy), cho đồ thị hàm số (C):y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} với x > - 1 mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển. Một trạm phát sóng đặt tại điểm I( - 1; - 1), biết hoành độ điểm M thuộc đồ thị (C) mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là x_{0} = \frac{1}{\sqrt[n]{a}} - b (loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính giá trị biểu thức P = a.n + b ?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong hệ trục toạ độ (Oxy), cho đồ thị hàm số (C):y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} với x > - 1 mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển. Một trạm phát sóng đặt tại điểm I( - 1; - 1), biết hoành độ điểm M thuộc đồ thị (C) mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là x_{0} = \frac{1}{\sqrt[n]{a}} - b (loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính giá trị biểu thức P = a.n + b ?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 2: Vận dụng
    Xác định tính đúng sai của từng phương án

    Cho hàm số y = \frac{x + 1}{x - 1} có đồ thị như sau:

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) là đồ thị của hàm số y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|. Đúng||Sai

    b) là đồ thị của hàm số y = \frac{|x + 1|}{x - 1}. Đúng||Sai

    c) là đồ thị của hàm số y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight|. Sai|| Đúng

    d) Đồ thị của hàm số y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight| và y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight| là khác nhau. Sai|| Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = \frac{x + 1}{x - 1} có đồ thị như sau:

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) là đồ thị của hàm số y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|. Đúng||Sai

    b) là đồ thị của hàm số y = \frac{|x + 1|}{x - 1}. Đúng||Sai

    c) là đồ thị của hàm số y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight|. Sai|| Đúng

    d) Đồ thị của hàm số y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight| và y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight| là khác nhau. Sai|| Đúng

    a) Đồ thị hàm số y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight|

    - Giữ nguyên phần trên trục Ox.

    - Đối xứng với phần bị bỏ của đồ thị y = \frac{x + 1}{x - 1} qua trục Ox.

    b) Ta có: y = \frac{|x + 1|}{x - 1} = \left\{ \begin{matrix} \frac{x + 1}{x - 1};\ \ \ khi\ x \geq - 1;x eq 1 \\ - \frac{x + 1}{x - 1};\ \ \ khi\ x < - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Do đó đồ thị hàm số y = \frac{|x + 1|}{x - 1} gồm hai phần:

    Phần 1: Đồ thị hàm số y = \frac{x + 1}{x - 1} với x \geq - 1;x eq 1.

    Phần 2: Đối xứng với phần còn lại của đồ thị y = f(x)với x < −1 qua trục Ox.

    c) Đồ thị y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight| gồm hai phần:

    Phần 1: Giữ nguyên phần trên Ox

    Phần 2: Đối xứng với phần bị bỏ của đồ thị y = \frac{|x + 1|}{x - 1} qua trục Ox.

    d) Đồ thị của hàm số y = \left| \frac{x + 1}{x - 1} ight| và y = \left| \frac{|x + 1|}{x - 1} ight| là giống nhau.

  • Câu 3: Vận dụng
    Tìm tập hợp tham số m thỏa mãn điều kiện

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f\left( \sin x \right) = m có nghiệm thuộc khoảng (0;\pi) là

    Hướng dẫn:

    Đặt t = \sin x \Rightarrow \forall x \in (0;\pi) \Rightarrow t \in (0;1brack

    Vậy phương trình trở thành f(t) = m.

    Dựa và đồ thị hàm số suy ra m \in \lbrack - 1;1).

  • Câu 4: Vận dụng cao
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hàm số y = f\left( x ight). Hàm số y = f'\left( x ight) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

    Bất phương trình nghiệm đúng khi và chỉ khi

    Bất phương trình \frac{{f\left( x ight)}}{{36}} - \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}} > m nghiệm đúng với mọi x \in \left( {0;1} ight) khi và chỉ khi

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f\left( x ight). Hàm số y = f'\left( x ight) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

    Bất phương trình nghiệm đúng khi và chỉ khi

    Bất phương trình \frac{{f\left( x ight)}}{{36}} - \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}} > m nghiệm đúng với mọi x \in \left( {0;1} ight) khi và chỉ khi

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 5: Thông hiểu
    Xét tính đúng sai của các mệnh đề

    Cho hàm số y = f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c có đồ thị như Hình 2.

    Xét tính đúng sai của các mệnh đề dưới đây:

    a) Hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị là 0 và 2. Đúng||Sai

    b) Giá trị b bằng 0. Đúng||Sai

    c) Giá trị c = - 2. Sai||Đúng

    d) f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 2. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c có đồ thị như Hình 2.

    Xét tính đúng sai của các mệnh đề dưới đây:

    a) Hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị là 0 và 2. Đúng||Sai

    b) Giá trị b bằng 0. Đúng||Sai

    c) Giá trị c = - 2. Sai||Đúng

    d) f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 2. Sai||Đúng

    Hàm số y = f(x) có điểm cực tiểu là x = 2, điểm cực đại là x = 0.

    Ta có: f'(x) = 3x^{2} + 2ax + b. Vì 0,2 là hai nghiệm của phương trình f'(x) = 0

    nên b = 0,\ \ a = - 3. Vì đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (0\ \ ;\ \ 2)nên c = 2.

    Suy ra f(x) = x^{3} - 2x^{2} + 2.

    Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

  • Câu 6: Vận dụng
    Giá trị của biểu thức

    Cho hình vẽ là đồ thị hàm số có dạng y = a{x^4} + b{x^2} + c

    Giá trị của biểu thức

    Giá trị của biểu thức B = {a^2} + {b^2} + {c^2} có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

    Hướng dẫn:

    Đồ thị hàm số đi qua điểm \left( {0; - 1} ight) => c = - 1

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_{CD}} = y\left( {\sqrt {\dfrac{{ - b}}{{2a}}} } ight) = \dfrac{{ - {b^2}}}{{4a}} + c = 3} \\ {y\left( 1 ight) = a + b + c = 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {b^2} = 16a} \\ {a + b = 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {b^2} = 16\left( {3 - b} ight)} \\ {a = 3 - b} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = 12;a = 9} \\ {b = 4;a = - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow B = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 18 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 7: Thông hiểu
    Tính tổng tất cả các tham số m

    Cho hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + m - 1 với m là tham số. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt bằng:

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là:

    x^{3} - 3x^{2} + m - 1 = 0 \Leftrightarrow x^{3} - 3x^{2} + 1 = m

    Xét hàm số f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + 1;\forall x\mathbb{\in R}

    Ta có: f'(x) = - 3x^{2} + 6x \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên:

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi 1 < m < 5

    Mà m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 2;3;4 ight\}

    Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bằng 9.

  • Câu 8: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Tính tổng tất cả các giá trị của m biết đồ thị hàm số y = x^{3} + 2mx^{2} + (m + 3)x + 4 và đường thẳng y = x + 4 cắt nhau tại ba điểm phân biệt A(0\ ;\ 4), B, C sao cho diện tích tam giác IBC bằng 8\sqrt{2} với I(1\ ;\ 3).

    Hướng dẫn:

    +) Gọi đồ thị hàm số y = x^{3} + 2mx^{2} + (m + 3)x + 4 là \left( C_{m} ight) và đồ thị hàm số y = x + 4là (d).

    +) Phương trình hoành độ giao điểm của \left( C_{m} ight) và (d) là

    x^{3} + 2mx^{2} + (m + 3)x + 4 = x + 4

    \Leftrightarrow x^{3} + 2mx^{2} + (m + 2)x = 0\ (*)\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} + 2mx + m + 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    +) Gọi g(x) = x^{2} + 2mx + m + 2.

    +) (d) cắt \left( C_{m} ight) tại ba điểm phân biệt \Leftrightarrow phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt

    \Leftrightarrow phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {\Delta'}_{g} > 0 \\ g(0) eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - m - 2 > 0 \\ m + 2 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m < - 1 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.\ \ \\ m eq - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \ \ \ (a)

    +)x = 0 là hoành độ điểm A, hoành độ điểm B, C là hai nghiệm x_{1}, x_{2} của phương trình g(x) = 0

    +) BC^{2} = \left( x_{2} - x_{1} ight)^{2} + \left\lbrack \left( x_{2} + 4 ight) - \left( x_{1} + 4 ight) ightbrack^{2}

    = 2\left( x_{2} - x_{1} ight)^{2} (do B, C thuộc đường thẳng (d)

    = 2\left\lbrack \left( x_{2} + x_{1} ight)^{2} - 4x_{1}x_{2} ightbrack = 8\left( m^{2} - m - 2 ight)

    +) Viết phương trình đường thẳng (d) dưới dạng x - y + 4 = 0, ta có

    d\left( I,(d) ight) = \frac{|1 - 3 + 4|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.

    +) S_{IBC} = 8\sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}BC.d\left( I,(d) ight) = 8\sqrt{2}

    \Leftrightarrow \frac{1}{4}BC^{2}.\left\lbrack d\left( I,(d) ight) ightbrack^{2} = 128

    \Leftrightarrow \frac{1}{4}8\left( m^{2} - m - 2 ight).2 = 128

    \Leftrightarrow m^{2} - m - 34 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = \frac{1 + \sqrt{137}}{2} \\ m = \frac{1 - \sqrt{137}}{2} \\ \end{matrix} ight. (thỏa điều kiện (a))

    +) Vậy tổng tất cả các giá trị m là 1.

  • Câu 9: Vận dụng
    Tìm m để phương trình có 4 nghiệm

    Cho hàm số y = f\left( x ight) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \left| {f\left( {\cos x} ight)} ight| = - 2m + 3 có bốn nghiệm thuộc đoạn \left[ {0;2\pi } ight] là:

    Tìm m để phương trình có 4 nghiệm

    Hướng dẫn:

    Đặt t = \cos x;t \in \left[ { - 1;1} ight]

    Ta có: \left| {f\left( t ight)} ight| = - 2m + 3\left( * ight);t \in \left[ { - 1;1} ight]

    Ta có đồ thị hình vẽ như sau:

    Tìm m để phương trình có 4 nghiệm

    Dựa vào đồ thị hàm số, phương trình đã cho có 4 nghiệm thuộc đoạn \left[ {0;2\pi } ight] khi phương trình (*) có hai nghiệm t \in \left[ { - 1;1} ight]

    \Leftrightarrow 0 < 2m + 3 \leqslant 1 \Leftrightarrow 1 \leqslant m < \frac{3}{2}

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Tìm tất cả các giá trị tham số m

    Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số y = \left( 2x^{2} + 1 \right)\sqrt{x - 1} và y = \frac{11}{3x - 4} - \frac{1}{2 - x} + 11 + m cắt nhau tại 2 điểm phân biệt?

    Hướng dẫn:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm:

    \left( 2x^{2} + 1 ight)\sqrt{x - 1} = \frac{11}{3x - 4} - \frac{1}{2 - x} + 11 + m(*)

    Điều kiện: \left\{ \begin{matrix} x - 1 \geq 0 \\ x eq \frac{4}{3} \\ x eq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ x eq \frac{4}{3} \\ x eq 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: (*) \Leftrightarrow \left( 2x^{2} + 1 ight)\sqrt{x - 1} - \frac{11}{3x - 4} + \frac{1}{2 - x} - 11 = m

    Xét hàm số f(x) = \left( 2x^{2} + 1 ight)\sqrt{x - 1} - \frac{11}{3x - 4} + \frac{1}{2 - x} - 11 trên \lbrack 1;\ + \infty)\backslash\left\{ \frac{4}{3};\ 2 ight\}

    Nhận thấy, hàm số f(x) liên tục trên các khoảng \left\lbrack 1;\frac{4}{3} ight),\ \left( \frac{4}{3};2 ight),\ (2\ ; + \infty)

    Ta có, f'(x) = \left( \left( 2x^{2} + 1 ight)\sqrt{x - 1} - \frac{11}{3x - 4} + \frac{1}{2 - x} - 11 ight)^{'}

    = 4x\sqrt{x - 1} + \left( 2x^{2} + 1 ight)\frac{1}{2\sqrt{x - 1}} + \frac{33}{(3x - 4)^{2}} + \frac{1}{(2 - x)^{2}}

    = \frac{10x^{2} - 8x + 1}{2\sqrt{x - 1}} + \frac{33}{(3x - 4)^{2}} + \frac{1}{(2 - x)^{2}} > 0 với \forall x \in \lbrack 1;\ + \infty)\backslash\left\{ \frac{4}{3};\ 2 ight\}

    Suy ra, hàm số f(x) đồng biến trên \lbrack 1;\ + \infty)\backslash\left\{ \frac{4}{3};\ 2 ight\}.

    Bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên ta suy ra đồ thị hai hàm số y = \left( 2x^{2} + 1 ight)\sqrt{x - 1} và y = \frac{11}{3x - 4} - \frac{1}{2 - x} + 11 + m cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi m \in ( - \infty;1).

  • Câu 11: Vận dụng
    Tìm m tham số m thỏa mãn yêu cầu

    Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x^{3} + \left( m^{2} - 2 \right)x + 2m^{2} + 4 cắt các trục tọa độ Ox,Oylần lượt tại A,Bsao cho diện tích tam giác OAB bằng 8 là

    Hướng dẫn:

    Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục tung là B\left( 0\ ;\ 2m^{2} + 4 ight)

    Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là:

    x^{3} + \left( m^{2} - 2 ight)x + 2m^{2} + 4 = 0\Leftrightarrow (x + 2)\left( x^{2} - 2x + m^{2} + 2 ight) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ (x - 1)^{2} + m^{2} + 1 = 0\ \ \ \ (vn) \\ \end{matrix} ight.

    Giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là A( - 2;0).

    Diện tích tam giác ABC là:

    S = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.2.\left( 2m^{2} + 4 ight) = 8 \Rightarrow m = \pm \sqrt{2}.

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình

     Cho hàm số bậc bay = f(x)có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f\left( \left| \sqrt{4 - x^{2}} - \left| x^{2} - 1 \right| \right| \right) = \frac{1}{2023} là

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    y = g(x) = f\left( \left| \sqrt{4 - x^{2}} - \left| x^{2} - 1 ight| ight| ight) với g(x) = \frac{1}{2023}

    Ta đặt: t = \sqrt{4 - x^{2}},\forall x \in \lbrack - 2;2brack thì suy ra y = g(t) = f\left( \left| t - \left| t^{2} - 3 ight| ight| ight),\forall t \in \lbrack 0;2brack

    Suy ra: h(t) = t - \left| t^{2} - 3 ight| = \left\{ \begin{matrix} t^{2} + t - 3,t \in \left\lbrack 0;\sqrt{3} ightbrack \\ - t^{2} + t + 3,t \in \left\lbrack \sqrt{3};2 ightbrack \\ \end{matrix} ight..

    Từ đó ta có BBT của hàm số h(t) như hình vẽ bên:

    Đặt u = \left| t - \left| t^{2} - 3 ight| ight|thì ta cũng có BBT của unhư sau:

    Nhìn vào đồ thị y = f(x)trên ta có được:

     

    Như vậy ta suy ra f(x) = \frac{2}{3}x(x - 1)(x - 2).

    Mà hàm số đó có cực trị bằng - \frac{4\sqrt{3}}{9} tại x = x_{0}

    Suy ra f\left( x_{0} ight) = \frac{- 4\sqrt{3}}{9} \Rightarrow x_{0} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}

    Như vậy: f(3) = 4,f\left( \sqrt{3} ight) = - 0,2,f\left( \frac{3 + \sqrt{3}}{3} ight) = \frac{- 4\sqrt{3}}{9}

    Từ đó, ta phác họa được đồ thị y = f(u) với u = \left| t - \left| t^{2} - 3 ight| ight| như sau:

    Dựa vào hình vẽ trên, ta kết luận phương trình g(x) = \frac{1}{2023}có tất cả 10 nghiệm phân biệt

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Cho hàm số y = x^{4} + 2mx^{2} + m (với mlà tham số thực). Tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y = - 3 tại bốn điểm phân biệt, trong đó có một điểm có hoành độ lớn hơn 2 còn ba điểm kia có hoành độ nhỏ hơn 1, là khoảng (a;b) (với a,b\mathbb{\in Q}, a,b là phân số tối giản). Khi đó, 15ab nhận giá trị nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm x^{4} + 2mx^{2} + m = - 3.

    Đặt x^{2} = t, t \geq 0. Khi đó phương trình trở thành t^{2} + 2mt + m + 3 = 0 (1)

    và đặt f(t) = t^{2} + 2mt + m + 3.

    Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = - 3 tại 4 điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn 0 < t_{1} < t_{2} và khi đó hoành độ bốn giao điểm là - \sqrt{t_{2}} < - \sqrt{t_{1}} < \sqrt{t_{1}} < \sqrt{t_{2}}.

    Do đó, từ điều kiện của bài toán suy ra \left\{ \begin{matrix} \sqrt{t_{2}} > 2 \\ \sqrt{t_{1}} < 1 \\ \end{matrix} ight. hay 0 < t_{1} < 1 < 4 < t_{2}.

    Điều này xảy ra khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} f(0) > 0 \\ f(1) < 0 \\ f(4) < 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m + 3 > 0 \\ 3m + 4 < 0 \\ 9m + 19 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 3 < m < - \frac{19}{9}.

    Vậy a = - 3, b = - \frac{19}{9} nên 15ab = 95.

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Chọn đáp án chính xác

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \lbrack 2;4brack và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình x + 2\sqrt{x^{2} - 2x} = m.f(x) có nghiệm thuộc đoạn \lbrack 2;4brack?

    Hướng dẫn:

    Dựa vào bảng biến thiên ta có\underset{\lbrack 2;4brack}{Min}f(x) = f(4) = 2 và \underset{\lbrack 2;4brack}{Max}f(x) = f(2) = 4

    Hàm số g(x) = x + 2\sqrt{x^{2} - 2x} liên tục và đồng biến trên \lbrack 2;4brack

    Suy ra \underset{\lbrack 2;4brack}{Min}g(x) = g(2) = 2 và \underset{\lbrack 2;4brack}{Max}g(x) = g(4) = 4 + 4\sqrt{2}

    Ta có x + 2\sqrt{x^{2} - 2x} = m.f(x) \Leftrightarrow \frac{x + 2\sqrt{x^{2} - 2x}}{f(x)} = m \Leftrightarrow \frac{g(x)}{f(x)} = m

    Xét hàm số h(x) = \frac{g(x)}{f(x)} liên tục trên \lbrack 2;4brack

    Vì g(x) nhỏ nhất và f(x) lớn nhất đồng thời xảy ra tại x = 2 nên \underset{\lbrack 2;4brack}{Min}h(x) = \frac{\underset{\lbrack 2;4brack}{Min}g(x)}{\underset{\lbrack 2;4brack}{Max}f(x)} = \frac{g(2)}{f(2)} = h(2) = \frac{1}{2}

    Vì g(x) lớn nhất và f(x) nhỏ nhất đồng thời xảy ra tại x = 4 nên \underset{\lbrack 2;4brack}{Max}h(x) = \frac{\underset{\lbrack 2;4brack}{Max}g(x)}{\underset{\lbrack 2;4brack}{Min}f(x)} = \frac{g(4)}{f(4)} = h(4) = 2 + 2\sqrt{2}

    Từ đó suy ra phương trình h(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi \frac{1}{2} \leq m \leq 2 + 2\sqrt{2}.

    Vậy có 4 giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm.

  • Câu 15: Vận dụng
    Chọn mệnh đề đúng

    Đường thẳng y = m^{2} cắt đồ thị hàm số y = x^{4} - x^{2} - 10 tại hai điểm phân biệt sao cho tam giác OAB vuông (với O là gốc tọa độ). Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Xét hàm số y = x^{4} - x^{2} - 10 ta có y' = 4x^{3} - 2x = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \\x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\x = - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\\end{matrix} ight.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Vì m^{2} \geq 0;\forall m nên từ bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = m^{2} luôn cắt đồ thị hàm số y = x^{4} - x^{2} - 10 tại những cặp điểm đối xứng nhau qua trục tung.

    Giả sử A\left( x_{1};m^{2} ight);B\left( - x_{1};m^{2} ight). Tam giác OAB vuông

    \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow - {x_{1}}^{2} + m^{4} = 0 \Leftrightarrow x_{1} = m^{2}

    Suy ra A\left( m^{2};m^{2} ight) vì A\left( m^{2};m^{2} ight) thuộc đồ thị hàm số nên

    m^{8} - m^{4} - 10 = m^{2} \Leftrightarrow m^{2} = 2 \in (1;3)

  • Câu 16: Vận dụng
    Tìm các số thực dương m theo yêu cầu bài toán

    Cho hàm số y = x^{4} - 3x^{2} - 2. Tìm số thực dương m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O, trong đó O là gốc tọa độ.

    Hướng dẫn:

    Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:

    x^{4} - 3x^{2} - 2 = m \Leftrightarrow x^{4} - 3x^{2} - 2 - m = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (1).

    Vì m > 0 \Leftrightarrow - 2 - m < 0 hay phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:

    x^{2} = \frac{3 + \sqrt{4m + 17}}{2} \Rightarrow x_{1} = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{4m + 17}}{2}}và x_{2} = - \sqrt{\frac{3 + \sqrt{4m + 17}}{2}}.

    Khi đó: A\left( x_{1};m ight), B\left( x_{2};m ight).

    Ta có tam giác OAB vuông tại O, trong đó O là gốc tọa độ \Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = 0 \Leftrightarrow x_{1}.x_{2} + m^{2} = 0.

    \Leftrightarrow \frac{3 + \sqrt{4m + 17}}{2} = m^{2}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m^{2} - 3 \geq 0 \\ 4m^{4} - 12m^{2} - 4m - 8 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{m > 0}{\leftrightarrow}m = 2.

    Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Chọn kết luận đúng

    Đồ thị của hàm số y = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + 2m + 1 (với m là tham số) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Kết luận nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm y = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + 2m + 1 = 0\ \ (1)

    Đặt t = x^{2};t \geq 0. Phương trình trở thành t^{2} - 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0\ \ \ (2)

    Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt, nghĩa là \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (m + 1)^{2} - (2m + 1) > 0 \\ m + 1 > 0 \\ 2m + 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m eq 0 \\m > - 1 \\m > - \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m eq 0 \\m > - \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Gọi x_{1};x_{2};x_{3};x_{4};\left( x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} ight) là nghiệm cỉa phương trình (1) và t_{1};t_{2};\left( t_{1} < t_{2} ight) là nghiệm của phương trình (2)

    Theo giả thiết ta có:

    x_{4} - x_{3} = x_{3} - x_{2} = x_{2} - x_{1}

    \Leftrightarrow x_{4} - x_{3} = x_{3} - x_{2}

    \Leftrightarrow \sqrt{t_{2}} - \sqrt{t_{1}} = \sqrt{t_{1}} + \sqrt{t_{1}} \Leftrightarrow t_{2} = 9t_{1} > 0

    Ta có hệ:

    \left\{ \begin{matrix}t_{1} + t_{2} = 2(m + 1) \\t_{1}.t_{2} = 2m + 1 \\t_{1} = 9t_{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t_{1} = \dfrac{m}{5} + \dfrac{1}{5} \\t_{2} = \dfrac{9m}{5} + \dfrac{9}{5} \\t_{1}.t_{2} = 2m + 1 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left( \dfrac{m}{5} +\dfrac{1}{5} ight)\left( \dfrac{9m}{5} + \dfrac{9}{5} ight) = 2m + 1\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 4 \\m = - \dfrac{4}{9} \\\end{matrix} ight.

    Vậy m \in (2;6)

  • Câu 18: Vận dụng
    Xác định khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số y =f(x) có đồ thị của hàm số y =f'(x) như hình vẽ:

    Xác định khoảng đồng biến của hàm số y =f\left( |3 - x| ight)?

    Hướng dẫn:

    Ta có: y = f\left( |3 - x| ight) =\left\{ \begin{matrix}f(3 - x)\ \ khi\ x \leq 3 \\f(x - 3)\ \ khi\ x > 3 \\\end{matrix} ight.

    y' = \left\{ \begin{matrix}- f'(3 - x)\ \ khi\ x \leq 3 \\f'(x - 3)\ \ khi\ x > 3 \\\end{matrix} ight.

    Với x < 3 \Rightarrow y' = -f'(3 - x) > 0

    \Leftrightarrow f'(3 - x) < 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}3 - x < - 1 \\1 < 3 - x < 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x > 4 \\- 1 < x < 2 \\\end{matrix} ight.

    Kết hợp với điều kiện x < 3 ta có: - 1 < x < 2

    Với x > 3 \Rightarrow y' =f'(x - 3) > 0

    \Leftrightarrow f'(3 - x) > 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}3 - x > 4 \\- 1 < 3 - x < 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x > 7 \\2 < x < 4 \\\end{matrix} ight.

    Kết hợp với điều kiện x > 3 ta có: \left\lbrack \begin{matrix}x > 7 \\3 < x < 4 \\\end{matrix} ight.

    Vậy hàm số y = f\left( |3 - x|ight) đồng biến trên mỗi khoảng (- 1;2),(3;4),(7; + \infty)

  • Câu 19: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = \sqrt{x^{4} - 4} + 5 và đường thẳng y = x?

    Hướng dẫn:

    Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm \sqrt{x^{4} - 4} + 5 = x \Leftrightarrow \sqrt{x^{4} - 4} = x - 5

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 5 \\ x^{4} - 4 = (x - 5)^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 5 \\ x^{4} - x^{2} + 10x - 29 = 0\ \ \ (*) \\ \end{matrix} ight.

    Do x \geq 5nên x^{4} - x^{2} = x^{2}(x^{2} - 1) > 0 và 10x - 29 > 0. Vì vậy (*) vô nghiệm

    Như vậy phương trình \sqrt{x^{4} - 4} + 5 = x vô nghiệm hay đồ thị hàm số y = \sqrt{x^{4} - 4} + 5 và đường thẳng y = x không có giao điểm nào.

    Cách 2:

    Phương trình hoành độ giao điểm \sqrt{x^{4} - 4} + 5 = x. Ta có điều kiện xác định \left\lbrack \begin{matrix} x \geq \sqrt{2} \\ x \leq - \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.

    Với điều kiện trên ta có \sqrt{x^{4} - 4} + 5 = x \Leftrightarrow \sqrt{x^{4} - 4} + 5 - x = 0

    Xét hàm số h(x) = \sqrt{x^{4} - 4} + 5 - x. Ta có h'(x) = \frac{2x^{3}}{\sqrt{x^{4} - 4}} - 1; h'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x^{3} = \sqrt{x^{4} - 4}

    Với x \geq \sqrt{2} ta có 2x^{3} > \sqrt{x^{4} - 4}. Với x \leq - \sqrt{2} ta có 2x^{3} < \sqrt{x^{4} - 4}

    Ta có Bảng biến thiên:

    Số nghiệm của phương trình\sqrt{x^{4} - 4} + 5 = x là số giao điểm của đồ thịy = h(x) = \sqrt{x^{4} - 4} + 5 - x và trục hoànhy = 0.

    Dựa vào BBT ta thấy phương trình \sqrt{x^{4} - 4} + 5 = x vô nghiệm hay đồ thị hàm số y = \sqrt{x^{4} - 4} + 5 và đường thẳng y = x không có giao điểm nào. 

  • Câu 20: Thông hiểu
    Tìm số giao điểm của hàm số với trục hoành

    Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x^{3} - 3x + 1 và trục hoành là

    Hướng dẫn:

    Tập xác định: \mathbb{R}.

    Ta có: y' = 3x^{2} - 3 = 3\left( x^{2} - 1 ight);y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.

    Bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
14 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm