Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 Cánh Diều Bài 4 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một máy bay bắt đầu hạ cánh, biết quỹ đạo đường bay của nó được mô hình hóa toán học trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy(với mỗi đơn vị trên mỗi trục có độ dài bằng 1 dặm) có dạng đồ thị của hàm bậc ba. Vị trí bắt đầu hạ cánh có tọa độ là ( - 4;1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay này tiếp đất tại vị trí gốc tọa độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất bao nhiêu dặm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

    Đáp án: 0,84 dặm

    Đáp án là:

    Một máy bay bắt đầu hạ cánh, biết quỹ đạo đường bay của nó được mô hình hóa toán học trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy(với mỗi đơn vị trên mỗi trục có độ dài bằng 1 dặm) có dạng đồ thị của hàm bậc ba. Vị trí bắt đầu hạ cánh có tọa độ là ( - 4;1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay này tiếp đất tại vị trí gốc tọa độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất bao nhiêu dặm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

    Đáp án: 0,84 dặm

    Gọi hàm số mô phỏng đường bay của máy bay là y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d\ (a eq0).

    Đồ thị hàm số đi qua điểm O(0;0) nên ta có d = 0.

    Đồ thị hàm số đi qua điểm ( -4;1) nên ta có phương trình - 64a +16b - 4c = 1\ \ (1).

    Mặt khác, ta có ( - 4;1) và O(0;0) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nên ta có y'( - 4) = 0;\y'(0) = 0 tức là \left\{\begin{matrix}48a - 8b + c = 0 \\c = 0 \\\end{matrix} ight. (2).

    Từ (1) và (2) ta có a =\frac{1}{32};\ b = \frac{3}{16};\ c = 0.

    Suy ra y = \frac{1}{32}x^{3} +\frac{3}{16}x^{2}.

    Thay x = - 3 ta được y = \frac{27}{32} \approx 0,84.

    Vậy khi máy bay ha cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất khoảng 0,84 dặm.

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Tính giá trị biểu thức

    Trong số các cặp số thực (a;b) để bất phương trình (x - 1)(x - a)\left( x^{2} + x + b \right) \geq 0 nghiệm đúng với mọi x\mathbb{\in R}, tích ab nhỏ nhất bằng

    Hướng dẫn:

    Đặt f(x) = (x - 1)(x - a)\left( x^{2} + x + b ight) và g(x) = (x - a)\left( x^{2} + x + b ight)

    Giả sử x = 1 không phải là nghiệm của phương trình g(x) = (x - a)\left( x^{2} + x + b ight) = 0 thì hàm số f(x) = (x - 1)(x - a)\left( x^{2} + x + b ight) sẽ đổi dấu khi qua điểm x = 1, nghĩa là(x - 1)(x - a)\left( x^{2} + x + b ight) \geq 0 không nghiệm đúng với mọi x\mathbb{\in R}.

    Do đó yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì một điều kiện cần làg(x) = (x - a)\left( x^{2} + x + b ight) = 0 có nghiệm x = 1 suy ra hoặc \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ x^{2} + x + b \geq 0,\ \forall x\mathbb{\in R} \\ \end{matrix} ight. hoặc là phương trình x^{2} + x + b = 0 có hai nghiệm x = 1 và x = a

    Trường hợp 1: \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ x^{2} + x + b \geq 0,\forall x \in R \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ 1 > 0 \\ \Delta = 1 - 4b \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b \geq \frac{1}{4} \\ \end{matrix} ight.

    Trường hợp 2: phương trình x^{2} + x + b = 0 có hai nghiệm x = 1 và x = a

    Ta thay x = 1vào phương trình x^{2} + x + b = 0 có 1^{2} + 1 + b = 0 \Rightarrow b = - 2.

    Với b = - 2 có phương trình x^{2} + x + b = 0 \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vì x = a cũng là nghiệm của phương trình nên a = - 2.

    Trong trường hợp 1: \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b \geq \frac{1}{4} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow ab \geq \frac{1}{4} suy ra tích ab nhỏ nhất khi ab = \frac{1}{4}

    Và với a = 1,b = \frac{1}{4}, tích ab = \frac{1}{4} thì bất phương trình đã cho tương đương với (x - 1)(x - 1)\left( x^{2} + x + \frac{1}{4} ight) \geq 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2}\left( x + \frac{1}{2} ight)^{2} \geq 0 thỏa mãn với mọi x\mathbb{\in R} (nhận)

    Trong trường hợp 2: Tích ab = 4 > \frac{1}{4}

    Vậy tích ab nhỏ nhất khi ab = \frac{1}{4}.

  • Câu 3: Vận dụng
    Xác định các giá trị tham số m

    Cho đồ thị hàm số \left( C_{m} ight):y = x^{3} - 2x^{2} + (1 - m)x + m. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để \left( C_{m} ight) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt cách hoành độ x_{1};x_{2};x_{3} thỏa mãn {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + {x_{3}}^{2} = 4?

    Hướng dẫn:

    Để hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm phải có ba nghiệm phân biệt:

    x^{3} - 2x^{2} + (1 - m)x + m = 0

    \Leftrightarrow (x - 1)\left( x^{2} - x - m ight) = 0

    Ta đặt x_{1} = 1. Khi đó để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình sau phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

    x^{2} - x + m = 0

    Do có nghiệm khác 1 nên 1 - 1 - m eq 0 hay m eq 0

    Ta có: \Delta = 1 + 4m

    Để có hai nghiệm phân biệt thì \Delta > 0 hay m > - \frac{1}{4}

    Theo bài ra ta có:

    {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + {x_{3}}^{2} = 4

    \Leftrightarrow 1 + \left( x_{2} + x_{3} ight)^{2} - 2x_{2}x_{3} = 4 \Leftrightarrow \left( x_{2} + x_{3} ight)^{2} - 2x_{2}x_{3} = 3 với x_{2};x_{3} là nghiệm của phương trình bậc hai trên.

    Áp dụng hệ thức Vi – et ra có:

    1^{2} - 2.( - m) = 3 \Leftrightarrow m = 1

    Kết hợp các điều kiện ta có: m = 1.

    Vậy đáp án đúng là m = 1.

  • Câu 4: Vận dụng
    Xác định các giá trị nguyên tham số m

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y = x^{4} - 4x^{3} + (m - 2)x^{2} + 8x + 4 cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1.

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{4} - 4x^{3} + (m - 2)x^{2} + 8x + 4 = 0(*)

    Đồ thị hàm số y = x^{4} - 4x^{3} + (m - 2)x^{2} + 8x + 4 cắt rục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1 \Leftrightarrow (*) có đúng hai nghiệm lớn hơn 1.

    (*) \Leftrightarrow x^{4} - 4x^{3} + 8x+ 4 = (2 - m)x^{2}

    \Leftrightarrow 2 - m = x^{2} - 4x + \frac{8}{x} + \frac{4}{x^{2}}

    Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C):y = x^{2} - 4x + \frac{8}{x} + \frac{4}{x^{2}}\ \ (x > 1) với đường thẳng y = 2 - m song song với trục hoành.

    Xét hàm số y = x^{2} - 4x + \frac{8}{x} + \frac{4}{x^{2}}\ \ (x > 1).

    y' = 2x - 4 - \frac{8}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}} = \frac{2x^{4} - 4x^{3} - 8x - 8}{x^{2}}.

    Cho y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 - \sqrt{3}\ \ (L) \\ x = 1 + \sqrt{3}\ \ (t/m) \\ \end{matrix} ight..

    Bảng biến thiên

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, ycbt\Leftrightarrow 0 < 2 - m < 9 \Leftrightarrow - 7 < m < 2.

    Vì m nguyên nên m \in \left\{ - 6,\ - 5,...,\ 1 ight\}.

    Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa bài toán.

  • Câu 5: Vận dụng
    Tìm các giá trị thực tham số m thỏa mãn điều kiện

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể đường thẳng y = mx - m + 1cắt đồ thị hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + x + 2 tại ba điểm A,B,C phân biệt sao AB = BC

    Hướng dẫn:

    Ta có phương trình hoành độ giao điểm là: x^{3} - 3x^{2} + x + 2 = mx - m + 1 \Leftrightarrow x^{3} - 3x^{2} + x - mx + m + 1 = 0\ \ \ \ (1)

    \Leftrightarrow (x - 1)\left( x^{2} - 2x - m - 1 ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x^{2} - 2x - m - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight..

    Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt thì phương trình x^{2} - 2x - m - 1 = 0có hai nghiệm phân biệt khác 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 + m + 1 > 0 \\ 1 - 2 - m - 1 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > - 2 \\ m eq - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m > - 2.

    Với m > - 2 thì phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là 1,x_{1},x_{2} (x_{1},x_{2} là nghiệm của x^{2} - 2x - m - 1 = 0).

    Mà \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = 1 suy ra điểm có hoành độ x = 1luôn là trung điểm của hai điểm còn lại nên luôn có 3 điểm A,B,C thoả mãn AB = BC

    Vậy m > - 2

  • Câu 6: Vận dụng
    Tìm giá trị của tham số a

    Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của a để đồ thị hàm số y = x^{3} + (x + 10)x^{2} - x + 1 cắt trục hoành tại đúng một điểm?

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là:

    x^{3} + (a + 10)x^{2} - x + 1 = 0(*)

    \Leftrightarrow x^{3} + 10x^{2} - x + 1 = - ax^{2}

    Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình nên (*) \Leftrightarrow - \frac{x^{3} + 10x^{2} - x + 1}{x^{2}} = a

    Xét hàm số f(x) = - \frac{x^{3} + 10x^{2} - x + 1}{x^{2}};\left( \forall x\mathbb{\in R}\backslash\left\{ 0 ight\} ight)

    Ta có: f'(x) = - \frac{x^{3} + x - 2}{x^{3}} = - \frac{(x - 1)\left( x^{2} + x + 2 ight)}{x^{3}}

    f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1

    Bảng biến thiên của hàm số f(x) như sau:

    Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại đúng một điểm khi (*) có đúng 1 nghiệm \Leftrightarrow a > - 11

    Vì a nguyên âm nên a \in \left\{ - 10; - 9; - 8;...; - 1 ight\}

    Vậy có 10 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 7: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y =\frac{- 5}{x + 2} theo trục Oy lên hai đơn vị và theo trục Ox sang trái 3 đơn vị ta được đồ thị hàm số y = g(x). Hỏi có bao nhiêu điểm trên đồ thị hàm số y = g(x) có các tọa độ đều là số nguyên?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y =\frac{- 5}{x + 2} theo trục Oy lên hai đơn vị và theo trục Ox sang trái 3 đơn vị ta được đồ thị hàm số y = g(x). Hỏi có bao nhiêu điểm trên đồ thị hàm số y = g(x) có các tọa độ đều là số nguyên?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 8: Thông hiểu
    Chọn phương án đúng

    Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x^{4} - 2mx^{2} + (2m - 1) = 0 có 4 nghiệm thực phân biệt là

    Hướng dẫn:

    Xét phương trình: x^{4} - 2mx^{2} + (2m - 1) = 0.

    Đặt x^{2} = t(t \geq 0).

    Phương trình đã cho trở thành t^{2} - 2mt + (2m - 1) = 0(*).

    Để phương trình ban đầu có bốn nghiệm thực phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt dương

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta^{'} > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 2m + 1 > 0 \\ 2m > 0 \\ 2m - 1 > 0 \\ \end{matrix} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \forall m eq 1 \\ m > 0 \\ m > \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > \frac{1}{2} \\ m eq 1 \\ \end{matrix} ight.

    hay m \in \left( \frac{1}{2}; + \infty ight)\backslash\left\{ 1 ight\}.

  • Câu 9: Vận dụng
    Giá trị của biểu thức

    Cho hình vẽ là đồ thị hàm số có dạng y = a{x^4} + b{x^2} + c

    Giá trị của biểu thức

    Giá trị của biểu thức B = {a^2} + {b^2} + {c^2} có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

    Hướng dẫn:

    Đồ thị hàm số đi qua điểm \left( {0; - 1} ight) => c = - 1

    Ta có:

    \begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_{CD}} = y\left( {\sqrt {\dfrac{{ - b}}{{2a}}} } ight) = \dfrac{{ - {b^2}}}{{4a}} + c = 3} \\ {y\left( 1 ight) = a + b + c = 2} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {b^2} = 16a} \\ {a + b = 3} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {b^2} = 16\left( {3 - b} ight)} \\ {a = 3 - b} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {b = 12;a = 9} \\ {b = 4;a = - 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow B = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 18 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Tìm m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất

    Cho hàm số y = \frac{x}{1 - x}\ \ \ \ \ (C) và điểm A( - 1;1). Tìm m để đường thẳng d:\ \ y = mx - m - 1 cắt (C)tại hai điểm phân biệt M,N sao cho AM^{2} + AN^{2} đạt giá trị nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: \frac{x}{1 - x} = mx - m - 1 (đk: x eq 1)

    \begin{matrix} \Rightarrow x = (1 - x)(mx - m - 1) \\ \Leftrightarrow x = mx - m - 1 - mx^{2} + mx + x \\ \Leftrightarrow mx^{2} - 2mx + m + 1 = 0\ \ (*) \\ \end{matrix}

    Để (C) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt M,N thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq 0 \\ \Delta' = m^{2} - m(m + 1) = - m > 0 \\ m - 2m + m + 1 eq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow m < 0

    Giả sửM\left( x_{1};y_{1} ight),N\left( x_{2};y_{2} ight).

    Theo hệ thức viét : x_{1} + x_{2} = 2;\ \ x_{1}x_{2} = \frac{m + 1}{m}

    \Rightarrow y_{1} + y_{2} = m\left( x_{1} + x_{2} ight) - 2m - 2 = 2m - 2m - 2 = - 2

    và y_{1}.y_{2} = \left( mx_{1} - m - 1 ight)\left( mx_{2} - m - 1 ight)

    = m^{2}x_{1}x_{2} - m(m + 1)\left( x_{1} + x_{2} ight) + (m + 1)^{2}

    = m(m + 1) - 2m(m + 1) + (m + 1)^{2} = m+ 1

    Ta có:

    AM^{2} + AN^{2} = \left( x_{1} + 1 ight)^{2} + \left( y_{1} - 1 ight)^{2} + \left( x_{2} + 1 ight)^{2} + \left( y_{2} - 1 ight)^{2}

    = \left( x_{1} + x_{2} + 2 ight)^{2} - 2\left( x_{1} + 1 ight)\left( x_{2} + 1 ight) + \left( y_{1} + y_{2} - 2 ight)^{2} - 2\left( y_{1} - 1 ight)\left( y_{2} - 1 ight)

    = \left( x_{1} + x_{2} + 2 ight)^{2} - 2\left( x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 ight)+ \left( y_{1} + y_{2} - 2 ight)^{2} - 2\left( y_{1}y_{2} - \left( y_{1} + y_{2} ight) + 1 ight)

    = (2 + 2)^{2} - 2\left( \frac{m + 1}{m} + 2 + 1 ight)+ ( - 2 - 2)^{2} - 2\left( m + 1 - ( - 2) + 1 ight)

    = 18 - 2\left( \frac{m + 1}{m} ight) - 2m = 18 - 2 - 2.\frac{1}{m} - 2m

    = 16 + 2.\left\lbrack \frac{1}{- m} + ( - m) ightbrack \geq 16 + 2.2 = 20 (Áp dụng BĐT Côsi)

    Suy ra: AM^{2} + AN^{2} đạt giá trị nhỏ nhất là 20 khi \frac{1}{- m} = - m \Leftrightarrow m^{2} = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 1 \\ \end{matrix} ight.

    Vậy m = - 1 (vì m < 0).

  • Câu 11: Vận dụng
    Số nghiệm của phương trình

    Cho hàm số y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d;\left( {a e 0} ight) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

    Số nghiệm của phương trình

    Số nghiệm của phương trình f\left( {f\left( x ight)} ight) = 0 là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: f\left( {f\left( x ight)} ight) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x ight) = a\left( 1 ight)} \\ {f\left( x ight) = b\left( 2 ight)} \\ {f\left( x ight) = c\left( 3 ight)} \end{array}} ight.;\left( {a < b < c} ight)

    Khi đó \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 2} \\ {b \in \left( { - 2;2} ight)} \\ {c > 2} \end{array}} ight. suy ra phương trình (1) có 1 nghiệm; phương trình (2) có 3 nghiệm và phương trình (3) có 1 nghiệm.

    => Phương trình f\left( {f\left( x ight)} ight) = 0 có 5 nghiệm

  • Câu 12: Vận dụng
    Chọn đồ thị ứng với hàm số đã cho

    Hình vẽ nào dưới đây là đồ thị của hàm số y = - \left( {a - x} ight){\left( {b - x} ight)^2} biết a > b > 0

    Hướng dẫn:

    Xét hàm số y = f\left( x ight) = - \left( {a - x} ight){\left( {b - x} ight)^2} = \left( {x - a} ight){\left( {x - b} ight)^2} ta có:

    \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x ight) = + \infty } \\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x ight) = - \infty } \end{array}} ight. => Đồ thị hàm số có dạng chữ N xuôi

    Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có tung độ y\left( 0 ight) = - a{b^2} mà a > 0 => y\left( 0 ight) < 0

    Mặt khác f'\left( x ight) = {\left( {x - b} ight)^2} + 2\left( {x - a} ight)\left( {a - b} ight) = \left( {x - b} ight)\left( {3x - 2a - b} ight)

    => \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( b ight) = 0} \\ {f'\left( b ight) = 0} \end{array}} ight.

    => Đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với Ox tại điểm M\left( {b;0} ight)

  • Câu 13: Vận dụng
    Giá trị của biểu thức K

    Đồ thị (C) của hàm số y = \frac{{ax + 2}}{{cx + b}} có bảng biến thiên như hình vẽ.

    Giá trị của biểu thức K

    Biết tiếp tuyến (C) tại giao điểm của (C) với trục tung song song với đường thẳng y = 2x + 2018. Giá trị của biểu thức K = a + 2b + 3c là:

    Hướng dẫn:

    Do đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = -1 và tiệm cận ngang y = -3

    => Hàm số có dạng y = \frac{{ - 3x + b}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{{3 - b}}{{{{\left( {x - 1} ight)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 0 ight) = 3 - b

    Do tiếp tuyến song song với đường thẳng

    => 3 – b = 2 => b = 1

    Vậy a = -3; b = 1; c = 1 => K = 2

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Xác định tổng các phần tử của tập S

    Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x^{3} - 3x^{2} tại ba điểm phân biệt A;B;C với B nằm giữa A;C sao cho AB = 2BC. Tính tổng các phần tử thuộc tập S?

    Hướng dẫn:

    Ta có bảng biến thiên

    Suy ra đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x^{3} - 3x^{2} tại ba điểm phân biệt A;B;C \Leftrightarrow - 4 < m < 0

    Khi đó \[\left\{ \begin{gathered} {x_A} + {x_B} + {x_C} = 3 \hfill \\ {x_A}.{x_B} + {x_B}.{x_C} + {x_C}.{x_A} = 0 \hfill \\ {x_A}.{x_B}.{x_C} = m \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Để B nằm giữa A và C và AB = 2BC thì \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x_{A} < x_{B} < x_{C} \\ x_{B} - x_{A} = 2\left( x_{C} - x_{B} ight) \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x_{C} < x_{B} < x_{A} \\ x_{A} - x_{B} = 2\left( x_{B} - x_{C} ight) \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow 3x_{B} = x_{A} + 2x_{C} \Leftrightarrow 4x_{B} - 3 = x_{C} \Rightarrow x_{A} = 6 - 5x_{B}

    \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {6 - 5{x_B}} ight) + {x_B}.\left( {4{x_B} - 3} ight) + \left( {4{x_B} - 3} ight)\left( {6 - 5{x_B}} ight) = 0\left( * ight) \hfill \\ \left( {4{x_B} - 3} ight).{x_B}.\left( {6 - 5{x_B}} ight) = m \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Từ (*) ta được x_{B} = \frac{7 \pm \sqrt{7}}{7}. Thay (**) được \left\lbrack \begin{matrix}m = \dfrac{- 98 - 20\sqrt{7}}{49} \\m = \dfrac{- 98 + 20\sqrt{7}}{49} \\\end{matrix} ight.

    Suy ra S = \left\{ \frac{- 98 - 20\sqrt{7}}{49};\frac{- 98 + 20\sqrt{7}}{49} ight\}. Vậy tổng các phần tử của S bằng - 4.

  • Câu 15: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Cho đồ thị hàm số f(x) = x^{3} + bx^{2} + cx + d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3}. Tính giá trị của biểu thức P = \frac{1}{f'\left( x_{1} \right)} + \frac{1}{f'\left( x_{2} \right)} + \frac{1}{f'\left( x_{3} \right)}.

    Hướng dẫn:

    Vì x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3} là ba nghiệm của phương trình bậc ba f(x) = 0

    \Rightarrow f(x) = \left( x - x_{1} ight)\left( x - x_{2} ight)\left( x - x_{3} ight)

    Ta có f'(x) = \left( x - x_{1} ight)\left( x - x_{2} ight) + \left( x - x_{2} ight)\left( x - x_{3} ight) + \left( x - x_{1} ight)\left( x - x_{3} ight).

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix} f'\left( x_{1} ight) = \left( x_{1} - x_{2} ight)\left( x_{1} - x_{3} ight) \\ f'\left( x_{2} ight) = \left( x_{2} - x_{3} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight) \\ f'\left( x_{3} ight) = \left( x_{3} - x_{1} ight)\left( x_{3} - x_{2} ight) \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra P = \frac{1}{\left( x_{1} - x_{2} ight)\left( x_{1} - x_{3} ight)} + \frac{1}{\left( x_{2} - x_{3} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)} + \frac{1}{\left( x_{3} - x_{1} ight)\left( x_{3} - x_{2} ight)}.

    = \frac{\left( x_{2} - x_{3} ight) - \left( x_{1} - x_{3} ight) + \left( x_{1} - x_{2} ight)}{\left( x_{1} - x_{2} ight)\left( x_{1} - x_{3} ight)\left( x_{2} - x_{3} ight)} = 0.

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Chọn phương án thích hợp

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm trên khoảng ( - \pi;4\pi) của phương trình f\left( 2|cos2x| \right) = 1 là

    Hướng dẫn:

    Đặt t = 2|cos2x|.

    Vì x \in ( - \pi;4\pi) nên t \in \lbrack 0;2brack

    Phương trình trở thành: f(t) = 1.

    Từ đồ thị hàm số ta suy ra phương trình f(t) = 1 có các nghiệm thuộc \lbrack 0;2brack là \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \\ t = 2 \\ \end{matrix} ight..

    Với t = 1 \Leftrightarrow |cos2x| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} cos2x = \frac{1}{2} \\ cos2x = \frac{- 1}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pm \pi}{6} + k\pi \\ x = \frac{\pm \pi}{3} + k\pi \\ \end{matrix} ight.

    Vì x \in ( - \pi;2\pi) \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - \pi < \frac{\pi}{6} + k\pi < 4\pi \\ - \pi < \frac{- \pi}{6} + k\pi < 4\pi \\ - \pi < \frac{\pi}{3} + k\pi < 4\pi \\ - \pi < \frac{- \pi}{3} + k\pi < 4\pi \\ \end{matrix} ight. \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \frac{- 7}{6} < k < \frac{23}{6} \\ \frac{- 5}{6} < k < \frac{25}{6} \\ \frac{- 4}{3} < k < \frac{11}{3} \\ \frac{- 2}{3} < k < \frac{13}{3} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrowphương trình có 20 nghiệm thuộc khoảng ( - \pi;4\pi).

    Với t = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} cos2x = 1 \\ cos2x = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = k\pi \\ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \\ \end{matrix} ight.

    Vì x \in ( - \pi;2\pi) \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - \pi < k\pi < 4\pi \\ - \pi < \frac{\pi}{2} + k\pi < 4\pi \\ \end{matrix} ight. \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 < k < 4 \\ \frac{- 3}{2} < k < \frac{7}{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrowphương trình có 9nghiệm thuộc khoảng ( - \pi;4\pi).

    Vậy phương trình đã cho có tất cả 29 nghiệm.

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Tìm m để phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt

    Cho hàm số f(x) = log_{3}x + 3^{x} - 3^{\frac{1}{x}}. Tổng bình phương các giá trị của tham số m để phương trình f\left( \frac{1}{4|x - m| + 3} \right) + f\left( x^{2} - 4x + 7 \right) = 0 có đúng 3 nghiệm thực phân biệt bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có f'(x) = \frac{1}{xln3} + 3^{x} \cdot ln3 + \frac{1}{x^{2}} \cdot 3^{\frac{1}{x}} \cdot ln3 > 0,\forall x > 0

    \Rightarrow Hàm số y = f(x) đồng biến trên (0; + \infty)(1).

    Mặt khác f\left( \frac{1}{x} ight) = log_{3}\frac{1}{x} + 3^{\frac{1}{x}} - 3^{x} = - \left( log_{3}x - 3^{\frac{1}{x}} + 3^{x} ight) = - f(x), khi đó

    f\left( \frac{1}{4|x - m| + 3} ight) + f\left( x^{2} - 4x + 7 ight) = 0

    \Leftrightarrow - f(4|x - m| + 3) + f\left( x^{2} - 4x + 7 ight) = 0

    \Leftrightarrow f\left( 4|x - m| + 3 ight) = f\left( x^{2} - 4x + 7 ight)\ \ (2).

    Từ (1),(2) \Rightarrow 4|x - m| + 3 = x^{2} - 4x + 7

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 4m = - x^{2} + 8x - 4 \\ 4m = x^{2} + 4 \\ \end{matrix} ight..

    Ta có đồ thị sau:

    Theo yêu cầu bài toán tương đương \left\lbrack \begin{matrix} 4m = 4 \\ 4m = 8 \\ 4m = 12 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 2 \\ m = 3 \\ \end{matrix} ight.\ ight.. Vậy 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} = 14.

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Chọn đáp án chính xác

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ.

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f\left( \left| \frac{3sinx - \cos x - 1}{2cosx - \sin x + 4} \right| + 2 \right) = f\left( \sqrt{(m + 2)^{2} + 4} \right) có nghiệm?

    Hướng dẫn:

    Ta có: - 1 \leq \sin x \leq 1,\ \ - 1 \leq \cos x \leq 1 nên suy ra 2cosx - \sin x + 4 > 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R}.

    Đặt t = \frac{3sinx - \cos x - 1}{2cosx - \sin x + 4} \Rightarrow t(2cosx - \sin x + 4) = 3sinx - \cos x - 1

    \Leftrightarrow (2t + 1)cosx - (t + 3)sinx = - (4t + 1).

    Phương trình trên có nghiệm khi

    (2t + 1)^{2} + (t + 3)^{2} \geq (4t + 1)^{2}

    \Leftrightarrow \frac{- 9}{11} \leq t \leq 1 \Rightarrow 2 \leq |t| + 2 \leq 3.

    Nhìn vào hình trên ta thấy hàm số f(x) luôn đồng biến trên \lbrack 2\ ;\ 3brack nên phương trình f\left( \left| \frac{3sinx - \cos x - 1}{2cosx - \sin x + 4} ight| + 2 ight) = f\left( \sqrt{(m + 2)^{2} + 4} ight) hay phương trình f\left( |t| + 2 ight) = f\left( \sqrt{(m + 2)^{2} + 4} ight) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình |t| + 2 = \sqrt{(m + 2)^{2} + 4} có nghiệm t thỏa mãn điều kiện 2 \leq |t| + 2 \leq 3

    \Leftrightarrow 2 \leq \sqrt{(m + 2)^{2} + 4} \leq 3 \Rightarrow m^{2} + 4m - 1 \leq 0 \Leftrightarrow - 2 - \sqrt{5} \leq m \leq - 2 + \sqrt{5}

    Mà m\mathbb{\in Z} nên có tất cả 5 giá trị m thỏa mãn.

  • Câu 19: Thông hiểu
    Tìm hàm số theo yêu cầu

    Đường cong ở hình bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

    Hướng dẫn:

    Dựa vào đồ thị ta thấy đây là hình ảnh đồ thị của hàm số bậc ba nên loại đáp án \mathbf{y = -}\mathbf{x}^{\mathbf{4}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{1} và \mathbf{y =}\mathbf{x}^{\mathbf{4}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{1}

    Mặt khác dựa vào đồ thị ta có \lim_{x ightarrow + \infty}y = + \infty nên hệ số của x^{3} dương nên ta chọn đáp án y = x^{3} - 3x^{2} + 3

  • Câu 20: Thông hiểu
    Xác định tính đúng sai của từng phương án

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và có đồ thị như

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hàm số y = f(x) không có đạo hàm tại x = −2 và x = 2. Đúng||Sai

    b) Hàm số y = f(x) có ba điểm cực trị. Sai||Đúng

    c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) bằng −2 đạt được tại x = 0. Đúng||Sai

    d) Hàm số y = f(x) không có giá trị lớn nhất. Sai||Đúng

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và có đồ thị như

    Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hàm số y = f(x) không có đạo hàm tại x = −2 và x = 2. Đúng||Sai

    b) Hàm số y = f(x) có ba điểm cực trị. Sai||Đúng

    c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) bằng −2 đạt được tại x = 0. Đúng||Sai

    d) Hàm số y = f(x) không có giá trị lớn nhất. Sai||Đúng

    a) Đúng: Hàm số y = f(x) không có đạo hàm tại x = −2 và x = 2.

    b) Sai: Hàm số y = f(x) chỉ có một điểm cực trị là x = 0.

    c) Đúng: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) bằng −2 đạt được tại x = 0.

    d) Sai: Ta thấy f(x) \leq 2;\forall x\mathbb{\in R}, và có xảy ra dấu bằng nên hàm số y = f(x) có giá trị lớn nhất.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
52 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này