Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 Cánh Diều Bài 4 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây

    Cho hàm số y = f\left( x ight) liên tục trên \mathbb{R} và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

    Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây

    Hỏi hàm số y = f\left( {2x - 1} ight) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \begin{matrix} f'\left( x ight) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 < x < 0} \\ {x > 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow y' = 2f'\left( {2x - 1} ight) > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1 < 2x - 1 < 0} \\ {2x - 1 > 1} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 < x < \dfrac{1}{2}} \\ {x > 1} \end{array}} ight. \hfill \\ \end{matrix}

    Từ đó hàm số y = f\left( {2x - 1} ight) đồng biến trên khoảng \left( {\frac{1}{4};\frac{1}{3}} ight)

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Xác định tất cả giá trị nguyên tham số m thỏa mãn điều kiện

    Cho hàm số f(x) = x^{3} + x + 2. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f\left( \sqrt[3]{f^{3}(x) + f(x) + m} \right) = - x^{3} - x + 2 có nghiệm x \in \lbrack - 1;2\rbrack?

    Hướng dẫn:

    Xét hàm số f(t) = t^{3} + t + 2, ta có f'(t) = 3t^{2} + 1 > 0,\forall t\mathbb{\in R}.

    Do đó hàm số f đồng biến trên \mathbb{R}.

    Ta có f\left( \sqrt[3]{f^{3}(x) + f(x) + m} ight) = f( - x)

    \Leftrightarrow - x = \sqrt[3]{f^{3}(x) + f(x) + m} \Leftrightarrow f^{3}(x) + f(x) + x^{3} + m = 0\ \ \ \ \ \ (1)

    Xét h(x) = f^{3}(x) + f(x) + x^{3} + m trên đoạn \lbrack - 1;2brack.

    Ta có h'(x) = 3f'(x) \cdot f^{2}(x) + f'(x) + 3x^{2}

    = f'(x)\left\lbrack 3f^{2}(x) + 1 ightbrack + 3x^{2}.

    Ta có f'(x) = 3x^{2} + 1 > 0,\forall x \in \lbrack - 1;2brack \Rightarrow h'(x) > 0,\forall x \in \lbrack - 1;2brack.

    Hàm số h(x) đồng biến trên \lbrack - 1;2brack nên \min_{\lbrack - 1;2brack}h(x) = h( - 1) = m - 1,\max_{\lbrack - 1;2brack}h(x) = h(2) = m +1748.

    Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi

    \begin{matrix} \mathop {\min }\limits_{[ - 1;2]} h\left( x ight) \cdot \mathop {\max }\limits_{[ - 1;2]} h\left( x ight) \leqslant 0 \Leftrightarrow h\left( { - 1} ight) \cdot h\left( 2 ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} ight)\left( {1748 + m} ight) \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow - 1748 \leqslant m \leqslant 1. \hfill \\ \end{matrix}

    Do m nguyên nên tập các giá trị m thỏa mãn là S = \{ - 1748; - 1747;\ldots;0;1\}.

    Vậy có tất cả 1750 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Xác định số nghiệm của phương trình

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình f(x) = \frac{1}{2} là

    Hướng dẫn:

    Số nghiệm thực của phương trình f(x) = \frac{1}{2} bằng số giao điểm của đường thẳng y = \frac{1}{2} và có đồ thị hàm số y = f(x).

    Ta thấy đường thẳng y = \frac{1}{2} cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm nên phương trình f(x) = \frac{1}{2} có 4 nghiệm.

  • Câu 4: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị của hàm số y = \frac{x}{1 - x} cắt đường thẳng y = x - m tại hai điểm phân biệt A,B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng 60^{0}( với O là gốc tọa độ)?

    Hướng dẫn:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm

    \frac{x}{1 - x} = x - m \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 1 \\ x^{2} - mx + m = 0\ \ \ \ \ \ (*) \\ \end{matrix} ight.

    Để có hia điểm phân biệt A,B thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1

    \left\{ \begin{matrix} 1 - m + m eq 0 \\ m^{2} - 4m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 4 \\ m < 0 \\ \end{matrix} ight.

    Khi đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biết x_{1},x_{2} thỏa mãn:

    \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1}x_{2} = m \\ \end{matrix} ight.

    Giả sử A\left( x_{1};x_{1} - m ight),B\left( x_{2};x_{2} - m ight), suy ra: \overrightarrow{OA}\left( x_{1};x_{1} - m ight),\overrightarrow{OB}\left( x_{2};x_{2} - m ight)

    Theo giả thiết góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng 60^{0} suy ra:

    \cos\left( \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ight) = cos60^{0}

    \Leftrightarrow \frac{\left| x_{1}x_{2} + \left( x_{1} - m ight)\left( x_{2} - m ight) ight|}{\sqrt{x_{1}^{2} + \left( x_{1} - m ight)^{2}}\sqrt{x_{2}^{2} + \left( x_{2} - m ight)^{2}}} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{\left| 2x_{1}x_{2}- m\left( x_{1} + x_{2} ight) + m^{2}ight|}{\sqrt{x_{1}^{2}x_{2}^{2} + \left( x_{1}x_{2} - mx_{2}ight)^2 + x_{1}^{2}\left( x_{1}x_{2} - m ight)^{2} + \left\lbrack\left( x_{1} - m ight)\left( x_{2} - m ight) ightbrack^{2}}} =\frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{\left| 2m - m^{2} + m^{2} ight|}{\sqrt{m^{2} + \left( m - mx_{2} ight)^{2} + \left( m - mx_{1} ight)^{2} + \left\lbrack x_{1}x_{2} - m\left( x_{1} + x_{2} ight) + m^{2} ightbrack^{2}}} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{|2m|}{\sqrt{m^{2} + \left( m - mx_{2} ight)^{2} + \left( m - mx_{1} ight)^{2} + \left\lbrack m - m^{2} + m^{2} ightbrack^{2}}} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{2 + \left( 1 - x_{2} ight)^{2} + \left( 1 - x_{1} ight)^{2}}} = \frac{1}{2}

    \Leftrightarrow 2 + \left( 1 - x_{2} ight)^{2} + \left( 1 - x_{1} ight)^{2} = 16

    \Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 2x_{1}x_{2} - 2\left( x_{1} + x_{2} ight) = 12

    \Leftrightarrow m^{2} - 4m - 12 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 6 \\ m = - 2 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Chọn đáp án thích hợp

    Đồ thị hàm số y = x^{3} - 3x + 2 là hình nào trong 4 hình dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có: y = x^{3} - 3x + 2 \Rightarrow y' = 3x^{2} - 3

    Khi đó \mathbf{y' =}\mathbf{0}\mathbf{\Leftrightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} \mathbf{x = -}\mathbf{1} \\ \mathbf{x =}\mathbf{1} \\ \end{matrix} ight.\ \mathbf{\Rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} \mathbf{y}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1)}\mathbf{=}\mathbf{4} \\ \mathbf{y}\mathbf{(1)}\mathbf{=}\mathbf{0} \\ \end{matrix} ight..

    Do đó, chọn đáp án là: Hình 2

  • Câu 6: Thông hiểu
    Xác định hàm số

    Đường cong trong hình bên là của đồ thị hàm số nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Đồ thị hàm số trên là đồ thị hàm trùng phương có 3 cực trị và có a < 0.

    Chọn đáp án y = - x^{4} + 2x^{2} + 2

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = x^{4} - 2x^{2} có đồ thị (C), có bao nhiêu đường thẳng dcó đúng 3 điểm chung với đồ thị (C) và các điểm chung có hoành độ x_{1},x_{2},x_{3} thỏa mãn\ {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} + {x_{3}}^{3} = - 1.

    Hướng dẫn:

    Vì đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C) tại 3 điểm phân biệt nên đường thẳng dlà đường thẳng có hệ số góc dạng y = ax + b.

    Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: x^{4} - 2x^{2} = ax + b.

    Mà phương trình là phương trình bậc 4 nên phương trình muốn có 3 nghiệm phân biệt thì trong đó sẽ có 1 nghiệm kép gọi là x_{1}, hai nghiệm còn lại là x_{2},x_{3}.

    Suy ra đường thẳng dlà tiếp tuyến của đồ thị (C), không mất tính tổng quát giả sử đường thẳng dtiếp xúc với đồ thị hàm số (C)tại x_{1}.

    Gọi dlà tiếp tuyến của (C)tại điểm có hoành độ x_{1}, d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x_{2},x_{3}( eq x_{1}) thỏa mãn {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} + {x_{3}}^{3} = - 1.

    Ta có: d:y = (4{x_{1}}^{3} - 4x_{1})(x - x_{1}) + {x_{1}}^{4} - 2{x_{1}}^{2}.

    Phương trình hoành độ giao điểm của dvà (C)là:

    x^{4} - 2x^{2} = (4{x_{1}}^{3} - 4x_{1})(x - x_{1}) + {x_{1}}^{4} - 2{x_{1}}^{2}(1)

    Yêu cầu bài toán \Leftrightarrow (1) có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} + {x_{3}}^{3} = - 1.

    (1) \Leftrightarrow (x - x_{1})^{2}(x^{2} + 2x_{1}x + 3{x_{1}}^{2} - 2) = 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = x_{1} \\ f(x) = x^{2} + 2x_{1}x + 3{x_{1}}^{2} - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} + {x_{3}}^{3} = - 1thì phương trình f(x) = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt x_{2},x_{3} khác x_{1}và thỏa mãn định lí Vi – ét:

    \left\{ \begin{matrix} x_{2} + x_{3} = - 2x_{1} \\ x_{2}.x_{3} = 3{x_{1}}^{2} - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \Delta' = {x_{1}}^{2} - 3{x_{1}}^{2} + 2 > 0 \\ {x_{1}}^{2} + 2{x_{1}}^{2} + 3{x_{1}}^{2} - 2 eq 0 \\ {x_{1}}^{3} + (x_{2} + x_{3})^{3} - 3x_{2}x_{3}(x_{2} + x_{3}) = - 1 \\ \end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < x_{1} < 1 \\ 3{x_{1}}^{2} - 1 eq 0 \\ {x_{1}}^{3} + ( - 2x_{1})^{3} - 3(3{x_{1}}^{2} - 2).( - 2x_{1}) = - 1 \\ \end{matrix} ight.

     

    \Leftrightarrow x_{1} = \frac{- 11 + \sqrt{165}}{22}.

    Vậy có đúng 1 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Bất phương trình chưa tham số m nghiệm đúng

    Cho hàm số y = f(x). Biết rằng hàm số y = f’(x) liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ:

    Bất phương trình chưa tham số m nghiệm đúng

    Bất phương trình f\left( {\sqrt {x + 1} } ight) < \sqrt {x + 1} + m (với m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x \in \left( { - 1;3} ight) khi và chỉ khi:

    Hướng dẫn:

    Đặt u = \sqrt {x + 1}

    Vì x \in \left( { - 1;3} ight) \Rightarrow u \in \left( {0;2} ight)

    => f\left( u ight) < u + m \Rightarrow f\left( u ight) - u < m

    Xét hàm số g\left( u ight) = f\left( u ight) - u;{\text{ }}u \in \left( {0;2} ight)

    Ta có: g'\left( u ight) = f'\left( u ight) - 1

    Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: u \in \left[ {0;2} ight] thì f'\left( u ight) < 1;\forall u \in \left[ {0;2} ight]

    => g(u) nghịch biến trên (0; 2)

    Vậy để f\left( {\sqrt {x + 1} } ight) < \sqrt {x + 1} + m nghiệm đúng với mọi x \in \left( { - 1;3} ight) thì

    \begin{matrix} f\left( u ight) - u < m;\forall u \in \left( {0;2} ight) \hfill \\ \Rightarrow m \geqslant \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} ight]} g\left( u ight) = g\left( 0 ight) = f\left( 0 ight) \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 9: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng:

    Gọi M và N là giao điểm của đường cong y = \frac{7x+6}{x-2} và đường thẳng y = x + 2. Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn MN bằng:

  • Câu 10: Vận dụng
    Phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt

    Cho hàm số y = f\left( x ight) có đồ thị như hình vẽ:

    Phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt

    Hỏi phương trình \left| {f\left( {x - 2} ight) - 2} ight| = 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc khoảng \left( {0; + \infty } ight)?

    Hướng dẫn:

    Đặt t= x - 2;\left( {t > - 2} ight)

    Phương trình \left| {f\left( {x - 2} ight) - 2} ight| = 1 tương đương

    \left| {f\left( t ight) - 2} ight| = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( t ight) = 3} \\ {f\left( t ight) = 1} \end{array}} ight.

    Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có 6 nghiệm phân biệt t \in \left( { - 2; + \infty } ight)

    => Phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thuộc khoảng \left( {0; + \infty } ight)

  • Câu 11: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Biết hàm số y = (x - 1)(x + 1)\left(x^{2} - 7 ight) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là x_{1};x_{2};x_{3};x_{4}. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để \frac{1}{1 - x_{1}} + \frac{1}{1 - x_{2}} +\frac{1}{1 - x_{3}} + \frac{1}{1 - x_{4}} > 1?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Biết hàm số y = (x - 1)(x + 1)\left(x^{2} - 7 ight) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là x_{1};x_{2};x_{3};x_{4}. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để \frac{1}{1 - x_{1}} + \frac{1}{1 - x_{2}} +\frac{1}{1 - x_{3}} + \frac{1}{1 - x_{4}} > 1?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 12: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Cho hàm số y = x^{3} - 2x^{2} -1 có đồ thị (C), đường thẳng (d):y = mx - 1 và điểm K(4;11). Biết rằng (C);(d) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A;B;C trong đó A(0; - 1) còn trọng tâm tam giác KBC nằm trên đường thẳng y = 2x + 1. Tìm giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Cho hàm số y = x^{3} - 2x^{2} -1 có đồ thị (C), đường thẳng (d):y = mx - 1 và điểm K(4;11). Biết rằng (C);(d) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A;B;C trong đó A(0; - 1) còn trọng tâm tam giác KBC nằm trên đường thẳng y = 2x + 1. Tìm giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 13: Vận dụng cao
    Tìm số giá trị nguyên của tham số m

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f^{2}\left( \cos x \right) + (m - 2022)f\left( \cos x \right) + m - 2023 = 0 có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn \lbrack 0;2\pi\rbrack là

    Hướng dẫn:

    Ta có f^{2}\left( \cos x ight) + (m - 2022)f\left( \cos x ight) + m - 2023 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f\left( \cos x ight) = - 1 \\ f\left( \cos x ight) = 2023 - m \\ \end{matrix} ight. (1)

    * Với f\left( \cos x ight) = - 1

    Dựa vào đồ thị ta có f\left( \cos x ight) = - 1

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos x = 0 \\ \cos x = x_{1};\left( x_{1} > 1 ight)(VN) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi

    Vì x \in \lbrack 0;2\pibrack \Rightarrow x \in \left\{ \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} ight\}

    * Với f\left( \cos x ight) = 2023 - m

    Đặt t = \cos x\ \ \left( t \in \lbrack - 1;1brack ight)

    Với t \in ( - 1;1brack thì phương trình t = \cos x có hai nghiệm phân biệt thuộc \lbrack 0;2\pibrack.

    Với t = - 1 thì phương trình t = \cos x có một nghiệm thuộc \lbrack 0;2\pibrack

    Phương trình trở thành f(t) = 2023 - m

    Để phương trình (1) có tất cả 6 nghiệm phân biệt thì phương trình f\left( \cos x ight) = 2023 - m có 4 nghiệm phân biệt, hay phương trình f(t) = 2023 - m có hai nghiệm t \in ( - 1;1brack

    Dựa vào đồ thị ta có để phương trình f(t) = 2023 - m có hai nghiệm t \in ( - 1;1brack thì - 1 < 2023 - m \leq 1 \Leftrightarrow 2022 \leq m < 2024

    Vì m nguyên nên m \in \left\{ 2022;2023 ight\}

    Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức

    Cho hàm số y = x^{4} + 2mx^{2} + m (với mlà tham số thực). Tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y = - 3 tại bốn điểm phân biệt, trong đó có một điểm có hoành độ lớn hơn 2 còn ba điểm kia có hoành độ nhỏ hơn 1, là khoảng (a;b) (với a,b\mathbb{\in Q}, a,b là phân số tối giản). Khi đó, 15ab nhận giá trị nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Xét phương trình hoành độ giao điểm x^{4} + 2mx^{2} + m = - 3.

    Đặt x^{2} = t, t \geq 0. Khi đó phương trình trở thành t^{2} + 2mt + m + 3 = 0 (1)

    và đặt f(t) = t^{2} + 2mt + m + 3.

    Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = - 3 tại 4 điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn 0 < t_{1} < t_{2} và khi đó hoành độ bốn giao điểm là - \sqrt{t_{2}} < - \sqrt{t_{1}} < \sqrt{t_{1}} < \sqrt{t_{2}}.

    Do đó, từ điều kiện của bài toán suy ra \left\{ \begin{matrix} \sqrt{t_{2}} > 2 \\ \sqrt{t_{1}} < 1 \\ \end{matrix} ight. hay 0 < t_{1} < 1 < 4 < t_{2}.

    Điều này xảy ra khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} f(0) > 0 \\ f(1) < 0 \\ f(4) < 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m + 3 > 0 \\ 3m + 4 < 0 \\ 9m + 19 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 3 < m < - \frac{19}{9}.

    Vậy a = - 3, b = - \frac{19}{9} nên 15ab = 95.

  • Câu 15: Vận dụng
    Tính giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu

    Cho hàm số y = \frac{x + 3}{x + 1} có đồ thị (C) và đường thẳng d:y = x - m, với m là tham số thực. Biết rằng đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho điểm G(2; - 2) là trọng tâm của tam giác OAB (O là gốc toạ độ). Giá trị của m bằng

    Hướng dẫn:

    Hàm số y = \frac{x + 3}{x + 1} có y' = \frac{- 2}{(x + 1)^{2}} < 0, \forall x \in D và đường thẳng d:y = x - m có hệ số a = 1 > 0 nên d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A\left( x_{A};\ y_{A} ight) và B\left( x_{B};\ y_{B} ight) với mọi giá trị của tham số m.

    Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: \frac{x + 3}{x + 1} = x - m

    \Leftrightarrow x^{2} - mx - m - 3 = 0\ \ \ \ (x eq - 1).

    Suy ra x_{A}, x_{B} là 2 nghiệm của phương trình x^{2} - mx - m - 3 = 0.

    Theo định lí Viet, ta có x_{A} + x_{B} = m.

    Mặt khác, G(2; - 2) là trọng tâm của tam giác OAB nên x_{A} + x_{B} + x_{O} = 3x_{G}

    \Leftrightarrow x_{A} + x_{B} = 6 \Leftrightarrow m = 6.

    Vậy m = 6 thoả mãn yêu cầu đề bài.

  • Câu 16: Vận dụng
    Tính độ dài ngắn nhất của AB

    Gọi A và B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số y = \frac{x}{x - 2}. Khi đó độ dài đoạn AB ngắn nhất bằng

    Hướng dẫn:

    Hàm số y = \frac{x}{x - 2} có đồ thị (C) như hình vẽ.

    Gọi A\left( a;\frac{a}{a - 2} ight) và B\left( b;\frac{b}{b - 2} ight) là hai điểm thuộc hai nhánh của (C) (a < 2 < b).

    Ta có: \overrightarrow{AB} = \left( b - a;\frac{b}{b - 2} - \frac{a}{a - 2} ight) = \left( b - a;\frac{b - a}{(b - 2)(2 - a)} ight).

    Áp dụng BĐT Côsi ta có: (b - 2)(2 - a)\leq \frac{(b - a)^{2}}{4}.

    Suy ra: AB^{2} = (b - a)^{2} + \frac{(b - a)^{2}}{\left\lbrack (b - 2)(2 - a) ightbrack^{2}} \geq (b - a)^{2} + \frac{64}{(b - a)^{2}} \geq 16

    \Rightarrow AB \geq 4. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 2 - \sqrt{2} và b = 2 + \sqrt{2}.

    Vậy AB_{\min} = 4.

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Tính giá trị f(0)

    Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị đi qua điểm A(1;1),B(2;4),C(3;9). Các đường thẳng AB,AC,BC lại cắt đồ thị lần lượt tại các điểm M,N,P (M khác A và B, N khác A và C, P khác B và C. Biết rằng tổng các hoành độ của M,N,P bằng 5, giá trị của f(0) là

    Hướng dẫn:

    Từ giả thuyết bài toán ta giả sử

    f(x) = a(x - 1)(x - 2)(x - 3) + x^{2} (a eq 0)

    Ta có: AB:y = 3x - 2, AC:y = 4x - 3, BC:y = 5x - 6.

    Khi đó:

    Hoành độ của M là nghiệm của phương trình:

    a\left( x_{M} - 1 ight)\left( x_{M} - 2 ight)\left( x_{M} - 3 ight) + {x_{M}}^{2} = 3x_{M} - 2

    \Leftrightarrow a\left( x_{M} - 1 ight)\left( x_{M} - 2 ight)\left( x_{M} - 3 ight) + \left( x_{M} - 1 ight)\left( x_{M} - 2 ight) = 0

    \Leftrightarrow a\left( x_{M} - 3 ight) + 1 = 0 \Leftrightarrow x_{M} = 3 - \frac{1}{a}.

    Hoành độ của N là nghiệm của phương trình:

    a\left( x_{N} - 1 ight)\left( x_{N} - 2 ight)\left( x_{N} - 3 ight) + {x_{N}}^{2} = 4x_{N} - 3

    \Leftrightarrow a\left( x_{N} - 1 ight)\left( x_{N} - 2 ight)\left( x_{N} - 3 ight) + \left( x_{N} - 1 ight)\left( x_{N} - 3 ight) = 0

    \Leftrightarrow a\left( x_{N} - 2 ight) + 1 = 0 \Leftrightarrow x_{N} = 2 - \frac{1}{a}.

    Hoành độ của P là nghiệm của phương trình:

    a\left( x_{P} - 1 ight)\left( x_{P} - 2 ight)\left( x_{P} - 3 ight) + {x_{P}}^{2} = 5x_{P} - 6

    \Leftrightarrow a\left( x_{P} - 1 ight)\left( x_{P} - 2 ight)\left( x_{P} - 3 ight) + \left( x_{P} - 2 ight)\left( x_{P} - 3 ight) = 0

    \Leftrightarrow a\left( x_{P} - 1 ight) + 1 = 0 \Leftrightarrow x_{P} = 1 - \frac{1}{a}.

    Từ giả thuyết ta có; x_{M} + x_{N} + x_{P} = 5 \Leftrightarrow 6 - \frac{3}{a} = 5 \Leftrightarrow a = 3.

    Do đó: f(x) = 3(x - 1)(x - 2)(x - 3) + x^{2}

    f(0) = - 18.

  • Câu 18: Vận dụng
    Tìm tập hợp tham số m thỏa mãn điều kiện

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f\left( \sin x \right) = m có nghiệm thuộc khoảng (0;\pi) là

    Hướng dẫn:

    Đặt t = \sin x \Rightarrow \forall x \in (0;\pi) \Rightarrow t \in (0;1brack

    Vậy phương trình trở thành f(t) = m.

    Dựa và đồ thị hàm số suy ra m \in \lbrack - 1;1).

  • Câu 19: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Trong hệ trục toạ độ (Oxy), cho đồ thị hàm số (C):y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} với x > - 1 mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển. Một trạm phát sóng đặt tại điểm I( - 1; - 1), biết hoành độ điểm M thuộc đồ thị (C) mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là x_{0} = \frac{1}{\sqrt[n]{a}} - b (loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính giá trị biểu thức P = a.n + b ?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Trong hệ trục toạ độ (Oxy), cho đồ thị hàm số (C):y = \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} với x > - 1 mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển. Một trạm phát sóng đặt tại điểm I( - 1; - 1), biết hoành độ điểm M thuộc đồ thị (C) mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là x_{0} = \frac{1}{\sqrt[n]{a}} - b (loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính giá trị biểu thức P = a.n + b ?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 20: Vận dụng
    Tìm m để AB đạt giá trị nhỏ nhất

    Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y = \frac{x + 3}{x + 1} tại hai điểm A,\ B sao cho độ dài AB là nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Gọi hàm số y = \frac{x + 3}{x + 1} có đồ thị là (C) và đường thẳng y = 2x + m có đồ thị là (d).

    Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): \frac{x + 3}{x + 1} = 2x + m,\ \ \forall x eq - 1.

    \Leftrightarrow x + 3 = 2x^{2} + 2x + mx + m\ \ \ \Leftrightarrow 2x^{2} + (m + 1)x + m - 3 = 0,\ \ \forall x eq 1\ \ \ \ (1)

    Để (d) cắt (C) tại hai điểm A,B\ \ \LeftrightarrowPhương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác - 1

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ g( - 1) eq 0 \\ \end{matrix} ight. với g(x) = 2x^{2} + (m + 1)x + m - 3

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (m + 1)^{2} - 4.2.(m - 3) > 0 \\ - 2 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m^{2} - 6m + 25 > 0,\ \ \forall m.

    Giả sử hoành độ giao điểm của (C) và (d) là x_{1},x_{2}.

    Khi đó A\left( x_{1};2x_{1} + m ight)B\left( x_{2};2x_{2} + m ight).

    Theo hệ thức Vi-ét ta có x_{1} + x_{2} = - \frac{m + 1}{2};\ \ \ x_{1}x_{2} = \frac{m - 3}{2}

    Ta có AB = \sqrt{\left( x_{2} - x_{1} ight)^{2} + \left( 2x_{2} - 2x_{1} ight)^{2}}= \sqrt{5\left( x_{1} - x_{2} ight)^{2}} = \sqrt{5\left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 20x_{1}x_{2}}

    AB = \sqrt{5.\left( \frac{m + 1}{2} ight)^{2} - 20.\frac{m - 3}{2}}

    = \sqrt{\frac{5m^{2} + 10m + 5 - 40m + 120}{4}}

    = \frac{\sqrt{5(m - 3)^{2} + 80}}{2} \geq 2\sqrt{5}.

    Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi m = 3.

    Vậy m = 3 thì độ dài AB đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2\sqrt{5}.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
1
15 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Lớp 12
Xem thêm