Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Bài tập trắc nghiệm Toán 12 Cánh Diều Bài 4 (Mức độ Khó)

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Biết hàm số y = (x - 1)(x + 1)\left(x^{2} - 7 ight) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là x_{1};x_{2};x_{3};x_{4}. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để \frac{1}{1 - x_{1}} + \frac{1}{1 - x_{2}} +\frac{1}{1 - x_{3}} + \frac{1}{1 - x_{4}} > 1?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
    Đáp án là:

    Biết hàm số y = (x - 1)(x + 1)\left(x^{2} - 7 ight) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là x_{1};x_{2};x_{3};x_{4}. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để \frac{1}{1 - x_{1}} + \frac{1}{1 - x_{2}} +\frac{1}{1 - x_{3}} + \frac{1}{1 - x_{4}} > 1?

    Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
  • Câu 2: Vận dụng cao
    Tìm số giá trị nguyên của tham số m

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f^{2}\left( \cos x \right) + (m - 2022)f\left( \cos x \right) + m - 2023 = 0 có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn \lbrack 0;2\pi\rbrack là

    Hướng dẫn:

    Ta có f^{2}\left( \cos x ight) + (m - 2022)f\left( \cos x ight) + m - 2023 = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f\left( \cos x ight) = - 1 \\ f\left( \cos x ight) = 2023 - m \\ \end{matrix} ight. (1)

    * Với f\left( \cos x ight) = - 1

    Dựa vào đồ thị ta có f\left( \cos x ight) = - 1

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos x = 0 \\ \cos x = x_{1};\left( x_{1} > 1 ight)(VN) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi

    Vì x \in \lbrack 0;2\pibrack \Rightarrow x \in \left\{ \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} ight\}

    * Với f\left( \cos x ight) = 2023 - m

    Đặt t = \cos x\ \ \left( t \in \lbrack - 1;1brack ight)

    Với t \in ( - 1;1brack thì phương trình t = \cos x có hai nghiệm phân biệt thuộc \lbrack 0;2\pibrack.

    Với t = - 1 thì phương trình t = \cos x có một nghiệm thuộc \lbrack 0;2\pibrack

    Phương trình trở thành f(t) = 2023 - m

    Để phương trình (1) có tất cả 6 nghiệm phân biệt thì phương trình f\left( \cos x ight) = 2023 - m có 4 nghiệm phân biệt, hay phương trình f(t) = 2023 - m có hai nghiệm t \in ( - 1;1brack

    Dựa vào đồ thị ta có để phương trình f(t) = 2023 - m có hai nghiệm t \in ( - 1;1brack thì - 1 < 2023 - m \leq 1 \Leftrightarrow 2022 \leq m < 2024

    Vì m nguyên nên m \in \left\{ 2022;2023 ight\}

    Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

  • Câu 3: Thông hiểu
    Tìm hàm số theo yêu cầu

    Đường cong ở hình bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

    Hướng dẫn:

    Dựa vào đồ thị ta thấy đây là hình ảnh đồ thị của hàm số bậc ba nên loại đáp án \mathbf{y = -}\mathbf{x}^{\mathbf{4}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{1} và \mathbf{y =}\mathbf{x}^{\mathbf{4}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{1}

    Mặt khác dựa vào đồ thị ta có \lim_{x ightarrow + \infty}y = + \infty nên hệ số của x^{3} dương nên ta chọn đáp án y = x^{3} - 3x^{2} + 3

  • Câu 4: Vận dụng
    Xác định số cặp điểm thỏa mãn yêu cầu

    Cho hàm số y = x^{3} + x^{2} - 4 có đồ thị (C). Hỏi có bao nhiêu cặp điểm A;B \in (C) sao cho ba điểm O;A;B thẳng hàng và OA - 2OB = 0 với O là gốc tọa độ?

    Hướng dẫn:

    Gọi d là đường thẳng đi qua ba điểm O, A, B khi đó d có phương trình y = k.x

    Khi đó hoành độ của O, A, B là nghiệm của phương trình x^{3} + x^{2} - 4 = kx

    Giả sử A\left( x_{1};kx_{1} ight),B\left( x_{2};kx_{2} ight) khi đó ta có: \left\{ \begin{matrix} {x_{1}}^{3} + {x_{1}}^{2} - 4 = kx_{1} \\ {x_{2}}^{3} + {x_{2}}^{2} - 4 = kx_{2} \\ \end{matrix} ight.

    Do OA - 2OB = 0 nên \overrightarrow{OA} = \pm 2\overrightarrow{OB} \Rightarrow x_{1} = \pm 2kx_{2}

    TH1: x_{1} = 2kx_{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 8{x_{2}}^{3} + 4{x_{2}}^{2} - 4 = 2kx_{2} \\ {x_{2}}^{3} + {x_{2}}^{2} - 4 = kx_{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow 6{x_{2}}^{3} + 2{x_{2}}^{2} + 4 = 0 \Rightarrow x_{2} = - 1

    Khi đó A( - 2; - 8),B( - 1; - 4).

    TH2: x_{1} = - 2kx_{2} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} - 8{x_{2}}^{3} + 4{x_{2}}^{2} - 4 = - 2kx_{2} \\ {x_{2}}^{3} + {x_{2}}^{2} - 4 = kx_{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrow - 6{x_{2}}^{3} + 6{x_{2}}^{2} - 12 = 0 \Rightarrow x_{2} = - 1

    Khi đó A(2;8),B( - 1; - 4).

    Vậy có 2 cặp A; B thỏa mãn.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng:

    Cho hàm số y = x^{3} + 3^{2} -4 có đồ thị có đồ thị (C1) và hàm số y = -x^{3} +3x^{2} -4 có đồ thị có đồ thị (C2). Khẳng định nào sau đấy đúng?

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Định m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

    Cho hàm số f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình sau.

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2f\left( \sin x - 2 \right) - \frac{2sin^{3}x}{3} + \sin x > m + \frac{5cos2x}{4} nghiệm đúng với mọi x \in \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right).

    Hướng dẫn:

    Ta có

    2f\left( \sin x - 2 ight) - \frac{2sin^{3}x}{3} + \sin x > m + \frac{5cos2x}{4}

    \Leftrightarrow m < 2f\left( \sin x - 2 ight) - \frac{2sin^{3}x}{3} + \sin x - \frac{5\left( 1 - 2sin^{2}x ight)}{4}

    Đặt t = \sin x - 2 (với x \in \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight) thì t \in ( - 3; - 1)

    Khi đó bất phương trình được viết lại thành:

    m < 2f(t) - \frac{2(t + 2)^{3}}{3} + (t + 2) - \frac{5\left\lbrack 1 - 2(t + 2)^{2} ightbrack}{4}.

    Hay m < 2f(t) - \frac{2}{3}t^{3} - \frac{3}{2}t^{2} + 3t + \frac{65}{12}(*).

    Xét hàm số g(t) = 2f(t) - \frac{2}{3}t^{3} - \frac{3}{2}t^{2} + 3t + \frac{65}{12} trên đoạn \lbrack - 3; - 1brack.

    Ta có g'(t) = 2f'(t) - 2t^{2} - 3t + 3.

    Do đó g'(t) = 0 \Leftrightarrow f'(t) = t^{2} + \frac{3}{2}t - \frac{3}{2}.

    Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số y = f'(t) và parabol y = t^{2} + \frac{3}{2}t - \frac{3}{2} trên đoạn \lbrack - 3; - 1brack thì g'(t) = 0 \Leftrightarrow t \in \left\{ - 3; - 1 ight\}.

    Suy ra bảng biến thiên của hàm số g(t) trên đoạn \lbrack - 3; - 1brack như sau:

    Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x \in \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight) khi và chỉ khi bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi t \in ( - 3; - 1). Điều đó tương đương với m \leq g( - 1) = 2f( - 1) + \frac{19}{12} dựa vào tính liên tục của hàm số g(t).

  • Câu 7: Vận dụng
    Xác định tham số m theo yêu cầu

    Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x^{4} - 4x^{2} + 3 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt là

    Hướng dẫn:

    Ta có: x^{4} - 4x^{2} + 3 + m = 0 \Leftrightarrow - x^{4} + 4x^{2} - 3 = m.

    Xét hàm số y = - x^{4} + 4x^{2} - 3, khi đó:

    y' = - 4x^{3} + 8x;y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm \sqrt{2} \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight..

    Suy ra y_{CD} = 1;\ y_{CT} = - 3.

    Vậy để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì: - 3 < m < 1 \Rightarrow m \in ( - 3\ ;1).

  • Câu 8: Vận dụng
    Ghi đáp án vào ô trống

    Một máy bay bắt đầu hạ cánh, biết quỹ đạo đường bay của nó được mô hình hóa toán học trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy(với mỗi đơn vị trên mỗi trục có độ dài bằng 1 dặm) có dạng đồ thị của hàm bậc ba. Vị trí bắt đầu hạ cánh có tọa độ là ( - 4;1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay này tiếp đất tại vị trí gốc tọa độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất bao nhiêu dặm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

    Đáp án: 0,84 dặm

    Đáp án là:

    Một máy bay bắt đầu hạ cánh, biết quỹ đạo đường bay của nó được mô hình hóa toán học trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy(với mỗi đơn vị trên mỗi trục có độ dài bằng 1 dặm) có dạng đồ thị của hàm bậc ba. Vị trí bắt đầu hạ cánh có tọa độ là ( - 4;1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay này tiếp đất tại vị trí gốc tọa độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi máy bay cách vị trí hạ cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất bao nhiêu dặm (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

    Đáp án: 0,84 dặm

    Gọi hàm số mô phỏng đường bay của máy bay là y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d\ (a eq0).

    Đồ thị hàm số đi qua điểm O(0;0) nên ta có d = 0.

    Đồ thị hàm số đi qua điểm ( -4;1) nên ta có phương trình - 64a +16b - 4c = 1\ \ (1).

    Mặt khác, ta có ( - 4;1) và O(0;0) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nên ta có y'( - 4) = 0;\y'(0) = 0 tức là \left\{\begin{matrix}48a - 8b + c = 0 \\c = 0 \\\end{matrix} ight. (2).

    Từ (1) và (2) ta có a =\frac{1}{32};\ b = \frac{3}{16};\ c = 0.

    Suy ra y = \frac{1}{32}x^{3} +\frac{3}{16}x^{2}.

    Thay x = - 3 ta được y = \frac{27}{32} \approx 0,84.

    Vậy khi máy bay ha cánh theo phương ngang 3 dặm thì máy bay cách mặt đất khoảng 0,84 dặm.

  • Câu 9: Vận dụng
    Xác định các giá trị thực tham số m

    Cho hàm số y = x^{3} - 3mx^{2} + 2m. Có bao nhiêu giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng?

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm: x^{3} - 3mx^{2} + 2m = 0 (*)

    Phương trình ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0 có ba nghiệm lập thành cấp số cộng

    \overset{}{ightarrow} Phương trình có một nghiệm x_{0} = - \frac{b}{3a}.

    Suy ra phương trình (*) có một nghiệm x = m.

    Thay x = m vào phương trình (*), ta được m^{3} - 3m\ .\ m^{2} + 2m = 0 \Leftrightarrow - 2m^{3} + 2m = 0 \leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = \pm 1 \\ m = 0 \\ \end{matrix} ight..

    Thử lại:

    Với m = 1, ta được x^{3} - 3x^{2} + 2 = 0 \leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 - \sqrt{3} \\ x = 1 \\ x = 1 + \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight..

    Do đó m = 1 thỏa mãn.

    Với m = - 1, ta được x^{3} + 3x^{2} - 2 = 0 \leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 + \sqrt{3} \\ x = - 1 \\ x = - 1 - \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight..

    Do đó m = - 1 thỏa mãn.

    Với m = 0, ta được x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0.

    Do đó m = 0 không thỏa mãn.

    Vậy m = \pm 1 là hai giá trị cần tìm.

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Chọn phương án thích hợp

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm trên khoảng ( - \pi;4\pi) của phương trình f\left( 2|cos2x| \right) = 1 là

    Hướng dẫn:

    Đặt t = 2|cos2x|.

    Vì x \in ( - \pi;4\pi) nên t \in \lbrack 0;2brack

    Phương trình trở thành: f(t) = 1.

    Từ đồ thị hàm số ta suy ra phương trình f(t) = 1 có các nghiệm thuộc \lbrack 0;2brack là \left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \\ t = 2 \\ \end{matrix} ight..

    Với t = 1 \Leftrightarrow |cos2x| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} cos2x = \frac{1}{2} \\ cos2x = \frac{- 1}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pm \pi}{6} + k\pi \\ x = \frac{\pm \pi}{3} + k\pi \\ \end{matrix} ight.

    Vì x \in ( - \pi;2\pi) \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - \pi < \frac{\pi}{6} + k\pi < 4\pi \\ - \pi < \frac{- \pi}{6} + k\pi < 4\pi \\ - \pi < \frac{\pi}{3} + k\pi < 4\pi \\ - \pi < \frac{- \pi}{3} + k\pi < 4\pi \\ \end{matrix} ight. \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \frac{- 7}{6} < k < \frac{23}{6} \\ \frac{- 5}{6} < k < \frac{25}{6} \\ \frac{- 4}{3} < k < \frac{11}{3} \\ \frac{- 2}{3} < k < \frac{13}{3} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrowphương trình có 20 nghiệm thuộc khoảng ( - \pi;4\pi).

    Với t = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} cos2x = 1 \\ cos2x = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = k\pi \\ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \\ \end{matrix} ight.

    Vì x \in ( - \pi;2\pi) \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - \pi < k\pi < 4\pi \\ - \pi < \frac{\pi}{2} + k\pi < 4\pi \\ \end{matrix} ight. \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 < k < 4 \\ \frac{- 3}{2} < k < \frac{7}{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Rightarrowphương trình có 9nghiệm thuộc khoảng ( - \pi;4\pi).

    Vậy phương trình đã cho có tất cả 29 nghiệm.

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = x^{4} - 2x^{2} có đồ thị (C), có bao nhiêu đường thẳng dcó đúng 3 điểm chung với đồ thị (C) và các điểm chung có hoành độ x_{1},x_{2},x_{3} thỏa mãn\ {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} + {x_{3}}^{3} = - 1.

    Hướng dẫn:

    Vì đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C) tại 3 điểm phân biệt nên đường thẳng dlà đường thẳng có hệ số góc dạng y = ax + b.

    Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: x^{4} - 2x^{2} = ax + b.

    Mà phương trình là phương trình bậc 4 nên phương trình muốn có 3 nghiệm phân biệt thì trong đó sẽ có 1 nghiệm kép gọi là x_{1}, hai nghiệm còn lại là x_{2},x_{3}.

    Suy ra đường thẳng dlà tiếp tuyến của đồ thị (C), không mất tính tổng quát giả sử đường thẳng dtiếp xúc với đồ thị hàm số (C)tại x_{1}.

    Gọi dlà tiếp tuyến của (C)tại điểm có hoành độ x_{1}, d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x_{2},x_{3}( eq x_{1}) thỏa mãn {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} + {x_{3}}^{3} = - 1.

    Ta có: d:y = (4{x_{1}}^{3} - 4x_{1})(x - x_{1}) + {x_{1}}^{4} - 2{x_{1}}^{2}.

    Phương trình hoành độ giao điểm của dvà (C)là:

    x^{4} - 2x^{2} = (4{x_{1}}^{3} - 4x_{1})(x - x_{1}) + {x_{1}}^{4} - 2{x_{1}}^{2}(1)

    Yêu cầu bài toán \Leftrightarrow (1) có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} + {x_{3}}^{3} = - 1.

    (1) \Leftrightarrow (x - x_{1})^{2}(x^{2} + 2x_{1}x + 3{x_{1}}^{2} - 2) = 0\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = x_{1} \\ f(x) = x^{2} + 2x_{1}x + 3{x_{1}}^{2} - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.

    Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} + {x_{3}}^{3} = - 1thì phương trình f(x) = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt x_{2},x_{3} khác x_{1}và thỏa mãn định lí Vi – ét:

    \left\{ \begin{matrix} x_{2} + x_{3} = - 2x_{1} \\ x_{2}.x_{3} = 3{x_{1}}^{2} - 2 \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} \Delta' = {x_{1}}^{2} - 3{x_{1}}^{2} + 2 > 0 \\ {x_{1}}^{2} + 2{x_{1}}^{2} + 3{x_{1}}^{2} - 2 eq 0 \\ {x_{1}}^{3} + (x_{2} + x_{3})^{3} - 3x_{2}x_{3}(x_{2} + x_{3}) = - 1 \\ \end{matrix} ight.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < x_{1} < 1 \\ 3{x_{1}}^{2} - 1 eq 0 \\ {x_{1}}^{3} + ( - 2x_{1})^{3} - 3(3{x_{1}}^{2} - 2).( - 2x_{1}) = - 1 \\ \end{matrix} ight.

     

    \Leftrightarrow x_{1} = \frac{- 11 + \sqrt{165}}{22}.

    Vậy có đúng 1 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 12: Vận dụng
    Xác định tính đúng sai của từng phương án

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và hàm số y = f'(x) là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (−∞; -2). Sai||Đúng

    b) Hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị. Sai||Đúng

    c) f'(2) = 4. Sai||Đúng

    d) Hàm số g(x) = f(x) - \frac{1}{2}x^{2} + x + 2024 đồng biến trên khoảng \left( - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2} ight). Đúng||Sai

    Đáp án là:

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và hàm số y = f'(x) là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

    a) Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (−∞; -2). Sai||Đúng

    b) Hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị. Sai||Đúng

    c) f'(2) = 4. Sai||Đúng

    d) Hàm số g(x) = f(x) - \frac{1}{2}x^{2} + x + 2024 đồng biến trên khoảng \left( - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2} ight). Đúng||Sai

    a) Sai: Vì từ đồ thị của hàm số y = f'(x) ta thấy f'(x) \geq 0;\forall x \geq 1 nên hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).

    b) Sai: Vì từ đồ thị của hàm số y = f'(x) ta thấy f'(x) chỉ đổi dấu một lần qua x = 1 nên hàm số có một điểm cực trị.

    c) Sai: Từ đồ thị ta có hàm số f'(x) có dạng f'(x) = a(x + 2)^{2}(x - 1)

    Đồ thị hàm số y = f'(x) đi qua (0; - 4) nên - 4 = a(0 + 2)^{2}(0 - 1) \Leftrightarrow a = 1

    Vậy f'(x) = (x + 2)^{2}(x - 1) \Rightarrow f'(2) = 16

    d) Đúng: Ta có: g'(x) = f'(x) - x + 1

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = x - 1

    Vẽ đường thẳng y = x − 1 trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y = f'(x)

    Khi đó f'(x) = x - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 3 \\ x = - 1 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.

    Bảng biến thiên của hàm số g(x) như sau:

    Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (−3; -1) nên g(x) đồng biến trên khoảng \left( - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2} ight)

  • Câu 13: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = \sqrt{x^{4} - 4} + 5 và đường thẳng y = x?

    Hướng dẫn:

    Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm \sqrt{x^{4} - 4} + 5 = x \Leftrightarrow \sqrt{x^{4} - 4} = x - 5

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 5 \\ x^{4} - 4 = (x - 5)^{2} \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 5 \\ x^{4} - x^{2} + 10x - 29 = 0\ \ \ (*) \\ \end{matrix} ight.

    Do x \geq 5nên x^{4} - x^{2} = x^{2}(x^{2} - 1) > 0 và 10x - 29 > 0. Vì vậy (*) vô nghiệm

    Như vậy phương trình \sqrt{x^{4} - 4} + 5 = x vô nghiệm hay đồ thị hàm số y = \sqrt{x^{4} - 4} + 5 và đường thẳng y = x không có giao điểm nào.

    Cách 2:

    Phương trình hoành độ giao điểm \sqrt{x^{4} - 4} + 5 = x. Ta có điều kiện xác định \left\lbrack \begin{matrix} x \geq \sqrt{2} \\ x \leq - \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.

    Với điều kiện trên ta có \sqrt{x^{4} - 4} + 5 = x \Leftrightarrow \sqrt{x^{4} - 4} + 5 - x = 0

    Xét hàm số h(x) = \sqrt{x^{4} - 4} + 5 - x. Ta có h'(x) = \frac{2x^{3}}{\sqrt{x^{4} - 4}} - 1; h'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x^{3} = \sqrt{x^{4} - 4}

    Với x \geq \sqrt{2} ta có 2x^{3} > \sqrt{x^{4} - 4}. Với x \leq - \sqrt{2} ta có 2x^{3} < \sqrt{x^{4} - 4}

    Ta có Bảng biến thiên:

    Số nghiệm của phương trình\sqrt{x^{4} - 4} + 5 = x là số giao điểm của đồ thịy = h(x) = \sqrt{x^{4} - 4} + 5 - x và trục hoànhy = 0.

    Dựa vào BBT ta thấy phương trình \sqrt{x^{4} - 4} + 5 = x vô nghiệm hay đồ thị hàm số y = \sqrt{x^{4} - 4} + 5 và đường thẳng y = x không có giao điểm nào. 

  • Câu 14: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Cho hàm số và có bảng biến thiên như hình vẽ.

    Tính giá trị biểu thức

    Tính T = ab + bc + 2ca

    Hướng dẫn:

    Ta có: 

    \begin{matrix} y' = 4a{x^3} + 2bx \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y\left( 0 ight) = 3} \\ {y\left( 1 ight) = 2} \\ {y'\left( 1 ight) = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {c = 3} \\ {a + b + c = 2} \\ {4a + 2b = 0} \end{array}} ight. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {c = 3} \\ {a = 1} \\ {b = - 2} \end{array}} ight. \Rightarrow T = - 2 \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 15: Vận dụng
    Số nghiệm của phương trình

    Cho hàm số  y = f\left( x ight) có bảng biến thiên như sau:

    Số nghiệm của phương trình

    Số nghiệm của phương trình {f^2}\left( x ight) = 4 là:

    Hướng dẫn:

     

    Ta có: {f^2}\left( x ight) = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x ight) = 2\left( * ight)} \\ {f\left( x ight) = - 2\left( {**} ight)} \end{array}} ight.

    Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f\left( x ight) với đường thẳng y = 2;y = - 2

    Phương trình (*) có 1 nghiệm

    Phương trình (**) có 2 nghiệm

    => Số nghiệm của phương trình {f^2}\left( x ight) = 4 là 3 nghiệm

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng:

    Cho hàm số y = x^{4} -2(2m+1)x^{2} +4m^{2} (C). Các giá trị của tham số thực m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3, x4 thoả mãn x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2}=6 là:

  • Câu 17: Thông hiểu
    Tìm m thỏa mãn phương trình

    Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như sau:

    Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x) + 3m = 0 có ba nghiệm phân biệt là:

    Hướng dẫn:

    Số nghiệm của phương trình f(x) + 3m =0 là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = - 3m

    Suy ra để phương trình f(x) + 3m =0 có ba nghiệm phân biệt thì - 1< - 3m < 3 \Leftrightarrow - 1 < m <\frac{1}{3}

    Vì m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m =0

    Vậy có duy nhất một số nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Chọn kết luận đúng

    Đồ thị của hàm số y = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + 2m + 1 (với m là tham số) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Kết luận nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm y = x^{4} - 2(m + 1)x^{2} + 2m + 1 = 0\ \ (1)

    Đặt t = x^{2};t \geq 0. Phương trình trở thành t^{2} - 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0\ \ \ (2)

    Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt, nghĩa là \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (m + 1)^{2} - (2m + 1) > 0 \\ m + 1 > 0 \\ 2m + 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m eq 0 \\m > - 1 \\m > - \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m eq 0 \\m > - \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} ight.

    Gọi x_{1};x_{2};x_{3};x_{4};\left( x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} ight) là nghiệm cỉa phương trình (1) và t_{1};t_{2};\left( t_{1} < t_{2} ight) là nghiệm của phương trình (2)

    Theo giả thiết ta có:

    x_{4} - x_{3} = x_{3} - x_{2} = x_{2} - x_{1}

    \Leftrightarrow x_{4} - x_{3} = x_{3} - x_{2}

    \Leftrightarrow \sqrt{t_{2}} - \sqrt{t_{1}} = \sqrt{t_{1}} + \sqrt{t_{1}} \Leftrightarrow t_{2} = 9t_{1} > 0

    Ta có hệ:

    \left\{ \begin{matrix}t_{1} + t_{2} = 2(m + 1) \\t_{1}.t_{2} = 2m + 1 \\t_{1} = 9t_{2} \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}t_{1} = \dfrac{m}{5} + \dfrac{1}{5} \\t_{2} = \dfrac{9m}{5} + \dfrac{9}{5} \\t_{1}.t_{2} = 2m + 1 \\\end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left( \dfrac{m}{5} +\dfrac{1}{5} ight)\left( \dfrac{9m}{5} + \dfrac{9}{5} ight) = 2m + 1\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = 4 \\m = - \dfrac{4}{9} \\\end{matrix} ight.

    Vậy m \in (2;6)

  • Câu 19: Vận dụng
    Xác định các giá trị nguyên tham số m

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y = x^{4} - 4x^{3} + (m - 2)x^{2} + 8x + 4 cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1.

    Hướng dẫn:

    Phương trình hoành độ giao điểm x^{4} - 4x^{3} + (m - 2)x^{2} + 8x + 4 = 0(*)

    Đồ thị hàm số y = x^{4} - 4x^{3} + (m - 2)x^{2} + 8x + 4 cắt rục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1 \Leftrightarrow (*) có đúng hai nghiệm lớn hơn 1.

    (*) \Leftrightarrow x^{4} - 4x^{3} + 8x+ 4 = (2 - m)x^{2}

    \Leftrightarrow 2 - m = x^{2} - 4x + \frac{8}{x} + \frac{4}{x^{2}}

    Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C):y = x^{2} - 4x + \frac{8}{x} + \frac{4}{x^{2}}\ \ (x > 1) với đường thẳng y = 2 - m song song với trục hoành.

    Xét hàm số y = x^{2} - 4x + \frac{8}{x} + \frac{4}{x^{2}}\ \ (x > 1).

    y' = 2x - 4 - \frac{8}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}} = \frac{2x^{4} - 4x^{3} - 8x - 8}{x^{2}}.

    Cho y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 - \sqrt{3}\ \ (L) \\ x = 1 + \sqrt{3}\ \ (t/m) \\ \end{matrix} ight..

    Bảng biến thiên

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, ycbt\Leftrightarrow 0 < 2 - m < 9 \Leftrightarrow - 7 < m < 2.

    Vì m nguyên nên m \in \left\{ - 6,\ - 5,...,\ 1 ight\}.

    Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa bài toán.

  • Câu 20: Vận dụng
    Tính giá trị của biểu thức

    Cho đồ thị hàm số f(x) = x^{3} + bx^{2} + cx + d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3}. Tính giá trị của biểu thức P = \frac{1}{f'\left( x_{1} \right)} + \frac{1}{f'\left( x_{2} \right)} + \frac{1}{f'\left( x_{3} \right)}.

    Hướng dẫn:

    Vì x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3} là ba nghiệm của phương trình bậc ba f(x) = 0

    \Rightarrow f(x) = \left( x - x_{1} ight)\left( x - x_{2} ight)\left( x - x_{3} ight)

    Ta có f'(x) = \left( x - x_{1} ight)\left( x - x_{2} ight) + \left( x - x_{2} ight)\left( x - x_{3} ight) + \left( x - x_{1} ight)\left( x - x_{3} ight).

    Khi đó: \left\{ \begin{matrix} f'\left( x_{1} ight) = \left( x_{1} - x_{2} ight)\left( x_{1} - x_{3} ight) \\ f'\left( x_{2} ight) = \left( x_{2} - x_{3} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight) \\ f'\left( x_{3} ight) = \left( x_{3} - x_{1} ight)\left( x_{3} - x_{2} ight) \\ \end{matrix} ight.

    Suy ra P = \frac{1}{\left( x_{1} - x_{2} ight)\left( x_{1} - x_{3} ight)} + \frac{1}{\left( x_{2} - x_{3} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)} + \frac{1}{\left( x_{3} - x_{1} ight)\left( x_{3} - x_{2} ight)}.

    = \frac{\left( x_{2} - x_{3} ight) - \left( x_{1} - x_{3} ight) + \left( x_{1} - x_{2} ight)}{\left( x_{1} - x_{2} ight)\left( x_{1} - x_{3} ight)\left( x_{2} - x_{3} ight)} = 0.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (15%):
    2/3
  • Thông hiểu (55%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
55 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này